סדרת צמרת מותאם לכיתות הטרוגניות לפי תוכנית הלימודים החדשה מתמטיקה לכיתה ז׳ חלק א׳ אתי עוזרי יצחק שלו
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2026 © 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-83 : דאנאקוד ISBN: 978-965-93282-1-5 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
סדרת צמרת מותאם לכיתות הטרוגניות מתמטיקה לכיתה ז׳ חלק א׳ לפי תוכנית הלימודים החדשה
© כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים תוכן העניינים תחום מספרי ....................................................................................................... מערכת צירים ברביע הראשון א. נקודות במערכת צירים ........................................................................................ ב. קטעים במערכת צירים ......................................................................................... ג. היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות במערכת צירים ........................................... ד. גרף נקודות במערכת צירים ................................................................................... תשובות .................................................................................................................. הכרת המספרים השליליים א. מספרים חיוביים, שליליים ואפס בחיי היום יום ..................................................... ב. הצגת המספרים החיוביים, השלילים והאפס על ציר המספרים ................................. ג. יחס הסדר בין המספרים שעל ציר המספרים ............................................................ תשובות ................................................................................................................... מספרים נגדיים וערך מוחלט א. מספרים נגדיים ................................................................................................... ב. ערך מוחלט ......................................................................................................... תשובות .................................................................................................................. חיבור מספרים מכוונים א. חיבור מספר חיובי / שלילי למספר נתון ................................................................. ב. חוקי חיבור במספרים מכוונים .............................................................................. תשובות .................................................................................................................. חיסור מספרים מכוונים א. חיסור מספרים מכוונים ....................................................................................... ב. רישום מספרים מכוונים ללא סוגריים ................................................................... תשובות .................................................................................................................. הרחבת מערכת צירים א. נקודות במערכת צירים מורחבת ............................................................................ ב. היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות במערכת צירים מורחבת .............................. ג. גרף נקודות במערכת צירים מורחבת ....................................................................... תשובות ................................................................................................................... 1 2 11 17 23 27 31 34 39 47 50 54 59 61 73 81 83 86 97 99 106 112 118
© כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים כפל מספרים מכוונים ..................................................................................................... א. מכפלה של שני מספרים מכוונים ............................................................................ ב. מכפלה של יותר משני מספרים מכוונים .................................................................. תשובות ................................................................................................................... חילוק מספרים מכוונים .................................................................................................. תשובות .................................................................................................................. סדר פעולות החשבון עם מספרים מכוונים ........................................................................ תשובות .................................................................................................................. חזקות עם מספרים מכוונים א. חזקות עם בסיס שהוא מספר חיובי או אפס ........................................................... ב. חזקות עם בסיס שהוא מספר מכוון ....................................................................... תשובות .................................................................................................................. שורש ריבועי ................................................................................................................. תשובות .................................................................................................................. זוויות ....................................................................................................................... סימון זוויות, סוגי זוויות והשוואתן א. סימון זוויות ....................................................................................................... ב. סוגי זוויות .......................................................................................................... ג. השוואה בין זוויות ................................................................................................ תשובות .................................................................................................................. מדידה, סרטוט ואומדן של זוויות א. מדידה של זוויות בעזרת מד-זווית ......................................................................... ב. סרטוט של זוויות ................................................................................................. ג. אומדן של זוויות ................................................................................................... תשובות .................................................................................................................. חוצה זווית .................................................................................................................... תשובות .................................................................................................................. 121 122 132 135 137 145 147 157 158 168 176 179 187 189 190 196 201 205 207 215 218 221 223 229
© כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים סכום והפרש זוויות ........................................................................................................ תשובות .................................................................................................................. זוויות צמודות וזוויות קדקודיות א. זוויות צמודות ..................................................................................................... ב. זוויות קדקודיות .................................................................................................. תשובות .................................................................................................................. זוויות במשולש שווה- צלעות ושווה- שוקיים א. מיון משולשים לפי צלעות וזוויות .......................................................................... ב. זוויות במשולש שווה-צלעות .................................................................................. ג. זוויות במשולש שווה- שוקיים ................................................................................. תשובות .................................................................................................................. סכום זוויות במשולש ובמרובע א. סכום זוויות במשולש ........................................................................................... ב. סכום זוויות במרובע ............................................................................................ תשובות .................................................................................................................. 231 241 242 249 256 259 263 266 270 272 281 287 צורות חופפות וטרנספורמציות ................................................................. צורות חופפות ............................................................................................................... טרנספורמציות של צורה במישור א. הזזה .................................................................................................................. ב. סיבוב ................................................................................................................. ג. שיקוף שיקוף ביחס לישר ............................................................................................. צורות סימטריות .............................................................................................. תשובות .................................................................................................................. 289 290 293 299 305 311 317
© כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים שטחים - שטח מלבן (כולל ריבוע) ומשולש ....................................... א. שטח מלבן (כולל ריבוע) ומשולש שטח מלבן, ריבוע ומשולש ישר-זווית ............................................................... שטח משולש כללי ......................................................................................... ב. שטח צורה המורכבת ממשולשים ו/או מלבנים שטח צורה המורכבת ממשולשים ו/או מלבנים ................................................. שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה ......................................................... ריצופים ....................................................................................................... תשובות .................................................................................................................... תיבה וקובייה ..................................................................................................... א. פריסה של תיבה (כולל קובייה) . ............. .............................................................. ב. שטח פנים של תיבה (כולל קובייה) .............. ......................................................... ג. נפח של תיבה (כולל קובייה) . ...................... ......................................................... תשובות .................................................................................................................... תחום אלגברי ...................................................................................................... משתנים וביטויים אלגבריים א. משתנים וביטויים אלגבריים ............ ................................................................... ב. חוקיות - סדרות . ....................................... ......................................................... תשובות .................................................................................................................... הצבה בביטויים אלגבריים א. הצבה בביטוים אלגבריים שיש בהם משתנה אחד .................................................... ב. הצבה בביטוים אלגבריים שיש בהם יותר ממשתנה אחד ..................................... ....... תשובות .................................................................................................................. 320 321 331 335 342 346 352 355 356 361 366 377 380 381 390 395 397 414 419
1 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים תחום מספרי ביחידה זו נעסוק ב תחום המספרי ה מהווה פרק המשך לנלמד ב בית הספר היסודי , ונועד לשרת תחומים נלמדים נוספים. בתוך כל אחד מהנושאים המופיעים בתוכנית ישנו דגש על פיתוח כשירות מתמטית ומיומנויות מתמטיות שמהוות חלק ממנה. נ עסוק בפיתוח מדורג של מגוון מיומנויות שימושיות לצורך הבנ ה לעומק של בסיס הידע להמשך ה לימודים בבית ספר ובחיים הבו גרים, גם מחוץ לשימושים מתמטיים . ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושאים הבאים: • סדר פעולות החשבון במספרים חיוביים. • חוקי פעולות החשבון במספרים חיוביים. באולם הרצאות הכי סאות מסודרים בשורות ובטורים. כל טור ממוספר מ- 1 ועד 12 , כל שורה ממוספרת מ- 1 ועד .10 להרצאה מסוימת נקנו כרטיסים, שבהם צוין מקום הישיבה. התאימו בין המקום המופיע בכרטיס לבין האות המופיעה על הכיסא. א. 1( ) )3( 2( ) )4( ב. על הכרטיס שקנה איתמר מופיע המקום: על הכרטיס שקנה אורי מופיע המקום: האם נפלה טעות ושניהם קיבלו אותו כיסא? הסבירו. התשובה למשימת הפתיחה בעמ' .27 שורה טור 5 7 שורה טור 3 5 שורה טור 2 8 שורה טור 4 9 שורה טור 7 5 שורה טור 6 7
2 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים מערכת צירים ברביע ראשון בפרק זה נלמד על מערכת הצירים הקרטזית ותכונותיה . בשלב זה נתמקד ברביע הראשון שבמערכת הצירים. מה נלמד ? ✔ נקודות במערכת צירים. ✔ קטעים במערכת צירים. ✔ צורות גיאומטריות במערכת צירים. ✔ גרף נקודות במערכת צירים. התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' .30-27 א. נקודות במערכת צירים הסבר ודוגמה פתורה – נקודות במערכת צירים • נתבונן בסידור הכיסאות באולם ההרצאות שהוצג בשאלת הפתיחה. נניח רשת על הסרטוט, כך שאת מקומו של כל כיסא ניתן לתאר כנקודת מפגש של שני ישרים: ישר אופקי וישר אנכי. בסמוך למספרי השורות ולמספרי הטורים נוסיף לסרטוט שני צירים שמאונכים זה לזה: ציר אופקי וציר אנכי. 0 הידעתם ? ר נ ה ד קארט ( 1650–1596 ) היה פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי, ונחשב לאחד ההוגים החשובים והמשפיעים ביותר . דקארט עסק בעיקר ביכולת להגיע לידיעה ודאית וביחס בין גוף לנפש . המשפט המפורסם שטבע " אני חושב, משמע אני קיים " מבטא את הרעיון שמול החושים המתעתעים, החשיבה של האדם מעידה על קיומו . אף על פי שהיה מוכר בעיקר עקב הגותו פורצת הגבולות בפילוסופיה, הוא השיג פרסום רחב כממציא של מערכת הצירים הקרטזית "( קרטזית " מלשון "קרטזיוס" – שמו הלטיני של דקארט, שהוא רֶנַאטּוס קַרְטֶזְיּוס). באמצעות פיתוח מערכת הצירים הקרטזית הניח דקארט את היסודות למתמטיקה המודרנית .
3 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים • נמחק את הכיסאות ונשאיר את הרשת, הצירים והמספרים. ✓ הסרטוט שמופיע כעת נקרא מערכת צירים . ✓ הציר האופקי נקרא ציר ה- x , הציר האנכי נקרא ציר ה- y. ✓ נקודת המפגש של שני הצירים נקראת ראשית הצירים . נקודה זו מציינת את המספר אפס על כל אחד מצירים. מקובל לסמן נקודה זו באות הלטינית הגדולה O (א ). ֹו ✓ מסמנים את שמות הנקודות באמצעות אותיות לועזיות גדולות: ... C , B , A . ✓ על כל ציר מסומנים מספרים עוקבים שנמצאים במרחקים קבועים. המיקומים של המספרים על הצירים נקראים ֹו ש נ תת (ביחיד: שֶנֶת). ✓ לכל נקודה במערכת הצירים יש "כתובת" משלה, הקובעת את מקומה במישור. "כתובת " הנקודה מורכבת מזוג מספרים ( x , y ) שנקראים שיעורי הנקודה . דוגמה: נתונה נקודה ( )2 ,3 A . הזוג ( 2 ,3 ) נקרא שיעורי הנקודה A . המספר 2 נקרא שיעור ה- x של הנקודה. המספר 3 נקרא שיעור ה- y של הנקודה. חשוב מאוד! שימו לב לסדר המספרים בתוך הזוגות. הנקודה A(2 ,3) שונה מהנקודה ( )3 ,2 B , ולכן קוראים לשיעורי כל נקודה זוג סדור של מספרים . ✓ שיעור ה- x של כל הנקודות שנמצאות על ציר ה- y שווה ל- 0 . למשל הנקודה ( )0 ,7 T. ✓ שיעור ה- y של כל הנקודות שנמצאות על ציר ה- x שווה ל- .0 למשל הנקודה ( )9 ,0 P . ✓ שיעור ה- x ושיעור ה- y של ראשית הצירים שווים ל- )0 ,0( .0 O . מספר על הציר האנכי השיעור השני מספר על הציר האופקי השיעור הראשון 0
4 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים דוגמה א. התאימו את שיעורי הנקודות הבאות, לנקודות C , B , A , המסומנות במערכת הצירים. )1( 8 ,5( ( ) 0 ,2( )2 ( ) )4 ,0( )3 ב. רשמו את שיעורי הנקודות M ו- T המסומנות במערכת הצירים. פתרון: א. )1( בנקודה ששיעוריה ( ,)8 ,5 שיעור ה- x הוא 8 ושיעור ה- y הוא .5 נסמן אנכים מהערך 8 שעל ציר ה- x ומהערך 5 שעל ציר ה- y באופן הבא: שני האנכים נפגשים בנקודה C , ו לכן: ( )8 ,5 C . )2( בנקודה ששיעוריה ( ,)0 ,2 שיעור ה- x הוא 0 ו שיעור ה- y הוא .2 שיעור x השווה ל- 0 מציין שהנקודה נמצאת על ציר ה- y . שיעור ה- y השווה ל- 2 מציין ש מקום הנקודה על ציר ה- y הוא ב - .2 הנקודה המונחת על המספר 2 בצירה- y היא: ( )0 ,2 B. )3( בנקודה ששיעוריה ( ,)4 ,0 שיעור ה- x הוא 4 ו שיעור ה- y הוא .0 שיעור y השווה ל- 0 מציין שהנקודה נמצאת על ציר ה- x. שיעור ה- x השווה ל- 4 מציין שמקום הנקודה על ציר ה- x הוא ב - .4 הנקודה המונחת על המספר 4 בציר ה- x היא: ( )4 ,0 A . תשובה: ( )8 ,5 C )0 ,2( , B )4 ,0( , A . ב. נמצא את שיעורי הנקודה M על ידי סרטוט אנכים לצירים מנקודה זו. האנך לציר ה- x מגיע לנקודה 6 , והאנך לציר ה- y מגיע לנקודה 3 . לכן: ( )6 ,3 M . הנקודה T נמצאת על ציר ה- x , ולכן שיעור ה- y שלה הוא .0 היא מונחת על המספר 10 בציר ה- x . לכן: ( )10 ,0 T . תשובה: ( )6 ,3 M )10 ,0( , T. ביישומון שלפניכם תוכלו לתרגל מציאת שיעורי נקודות נתונות. ביישומון שלפניכם תוכלו לתרגל סימון שיעורי נקודות נתונות. 0 0 0
5 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .1 א. נתונה הנקודה ( )4 ,6 A. 1( ) שיעור ה- x של הנקודה A הוא ____. )2( שיעור ה- y של הנקודה A הוא ____. ב. שיעור ה- x של הנקודה B הוא 1 , ושיעור ה- y של הנקודה B הוא : 5 , ולכן )___ , ___( B . .2 א. ( 1 ) מהו שיעור ה- x של הנקודה M ? )2( מהו שיעור ה- y של הנקודה M? ב. שיעורי הנקודה M שבסרטוט הם: )1( )2 ,6( )2 ,2( )2( )6 ,6( )3( )6 ,2( )4( .3 שיעורי הנקודה A שבסרטוט הם: א. ( )3 ,5 ב. ( )3 ,3 ג. ( )5 ,3 ד. ( )5 ,5 .4 ב איזו מערכת צירים מסומנת הנקודה ( )4 ,3 P ? א. ב. ג. ד. .5 בכל סעיף זהו בסרטוט את הנקודה ששיעוריה נתונים. א. ( )0 ,3 ב. ( )4 ,0
6 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .6 א. אילו נקודות מבין הנקודות הבאות מונחות על ציר x , ואילו נקודות מונחות על ציר y? )0 ,5( )1( 0 ,8( )3( ) 1 ,0( )5( ) )0 ,0.5( )7( ,0( )2( 6 ) 0 ,0( )4( ) 3 ,0( )6( ) )2.5 ,0( )8( ב. העתיקו למחברתכם והשלימו: 1( ) כל הנקודות על ציר ה- x , שיעור ה- y שלהן הוא ____. 2( ) כל הנקודות על ציר ה- y , שיעור ה- x שלהן הוא ____. .7 השלימו את השיעורים החסרים בנקודות D , C , B , A , המסומנות במערכת הצירים. א. (7 ) __ , A ג. (__, )5 C ב. )7 ,__( B ד. ( )__ ,4 D .8 א. התאימו את שיעורי הנקודות הבאות, לנקודות D , C , B , A , המסומנות במערכת הצירים. )1( ,5( 4 ( ) )0 ,6( )3 )2( (7 , 6 ( ) )6 ,0( )4 ב. רשמו את שיעורי הנקודות M ו- T המסומנות במערכת הצירים. .9 בחניון סומנו החניות באמצעות מערכת צירים. א. שיעורי הנקודה שבה חונה המכונית האדומה הם: )5 ,5( )1( )5 ,2( )3( )2 ,5( )2( )0 ,5( )4( ב. ( 1 ) שיעור ה- x של הנקודה שבה חונה המכונית השחורה הוא: ____. 2( ) שיעור ה- y של הנקודה שבה חונה המכונית השחורה הוא: ____. ג. בעל המכונית הצהובה הגיע לכניסה לחניון (שנמצאת בנקודה ( ))0 ,0 ושכח היכן חנה. ר שמו לו הנחיות כיצד להגיע למכוניתו (הי עזרו בכיוונים צפון/דרום/מזרח/מערב). מהם שיעורי הנקודה שבה חונה המכונית הצהובה? 0 דרום צפון מזרח מערב
7 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .10 באולם שלפניכם יושבים דן , יהונתן, אבי שי ועידו. רשמו את שיעורי הנקודות של כל מקום ישיבה. א. דן יושב במקום המסומן ב- )___ , ___( A . ב. יהונתן יושב במקום המסומן ב- )___ , ___( B . ג. אבי שי יושב במקום המסומן ב- )___ , ___( C . ד. עידו יושב במקום המסומן ב- )___ , ___( D . ה. שני חברים הגיעו לאולם וישבו יחד. תנו דוגמה לשיעורי נקודות שיכולות לייצג את מקומות הישיבה שלהם. ו. חמישה חברים הגיעו לאולם וישבו זה לצד זה באותה השורה. תנו דוגמה לשיעורי נקודה המייצגת את מקום הישיבה של הראשון ול שיעורי הנקודה המייצגת את מקום הישיבה של האחרון. .11 בתמונה שלפניכם מופיע גג בית במבט על. א. רשמו את שיעורי הקדקודים D , C , B , A . ב. לאיזו נקודה מהנקודות D , C , B , A : )1( יש שיעור x הקטן ביותר? מהו? )2( יש שיעור y הגדול ביותר? מהו? ג. תנו דוגמה לשיעורי נקודה שעל הגג, שבה ניתן להתקין אנטנה. ד. תנו דוגמה לשיעורי נקודה שלא על הגג, שבה ניתן להתקין עמוד תאורה בגינה. ה. מתקינים מרזבים מסביב לגג. באחת מהנקודות על ההיקף מתקינים פתח ניקוז. האם פתח הניקוז יכול להיות בנקודה ( ?)3 ,4 .12 אגף גנים ונוף מעוניין לשפר את הגינה הציבורית שבמרכז היישוב. ה תכנית של ה גינה הונחה על מערכת צירים. העתיקו אותה למחברתכם וסמנו בה את ה פריטים הבאים: א. ברזייה בנקודה ( .)30 ,60 ב. פחים בנקודות ( 0 ,70 ) ו-( .)80 ,50 ג. עצים בנקודות ( 40 ,40 ) ו-( .)60 ,80 .13 סרטטו מערכת צירים, שבה כל משבצת היא יחידה אחת. סמנו במערכת זו את הנקודות הבאות : )1( )1 ,3( A ג. ( )5 ,3 C ה. ( ,0 2 1 2 )E ז. ( )0 ,0 O )2( )2 ,4( B ד. ( )2.5 ,5 D ו. ( 4 1 2 )0 , G ח. ( 1 2 , 1 2 )K 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 110 120
8 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .14 א. בכל אחד מהסעיפים תנו דוגמה לשיעורי נקודה וסמנו אותה במערכת צירים. )1( נקודה ששיעור ה- x שלה הוא )5( .2 נקודה שנמצאת על שני הצירים. )2( נקודה ששיעור ה- y שלה הוא 3 . )6( נקודה שיש לה שיעורי x ו- y שווים. )3( נקודה שנמצאת על ציר ה- x . )7( נקודה ששיעור ה- x שלה גדול ב- 3 משיעור ה- y שלה. )4( נקודה שנמצאת על ציר ה- y . )8( נקודה ששיעור ה- y שלה גדול פי 2 משיעור ה- x שלה. ב. הדס אמרה: בכל אחד מתתי הסעיפים שבסעיף א' יש אינסוף אפשרויות. האם היא צודקת? הסבירו. .15 במערכת הצירים שלפניכם מופיעה הנקודה ( 5 , 6 )K . א. מה יכולים להיות שיעורי הנקודה D? 3 ,5( )1( ) )7 ,6( )2( )3 ,6( )3( ב. מה יכולים להיות שיעורי הנקודה F? 3 ,7( )1( ) )7 ,3( )2( )7 ,5( )3( ג. הציעו שיעורים נוספים עבור הנקודה F . .16 א. מהם שיעורי הנקודה T? )1( (30,30) )2( (10,30) )3( (30,10) )4( (10,10) ב. מה שיעורי הנקודה G? )1( (10,10) )2( (5,5) )3( (5,10) )4( (10,5) הסבר לכל ציר קובעים בנפרד יחידת אורך, כלומר: ייתכן שלשני הצירים תהיה אותה יחידת אורך, וגם ייתכן שיחידות האורך של הצירים תהינה שונות. למשל: בדוגמה זו כל משבצת בשני הצירים היא יחידת אורך אחת. בדוגמה זו כל משבצת על ציר ה- x היא 2 יחידות אורך, וכל משבצת על ציר ה- y היא 5 יחידות אורך. בדוגמה זו כל שתי משבצות על ציר ה- x מהוות 1 יחידת אורך, וכל משבצת על ציר ה- y היא 3 יחידות אורך.
9 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .17 מה יכולים להיות שיעורי הנקודה T ? א. ( 4 , 2 ) ב. ( 2 , 5 ) ג. ( 3 , 4 ) ד. ( )5 ,3 .18 א. מה יכולים להיות שיעורי הנקודה P? )12 ,8( )1( )8 ,8( )2( )8 ,12( )3( )12 ,12( )4( ב. הציעו שיעורים אפשריים אחרים לנקודה P . .19 א. מהם שיעורי הנקודה L? ב. מה יכולים להיות שיעורי הנקודה R? )1( (30,15) )2( (25,15) )3( (25,18) )4( (12,18) ג. הציעו שיעורים אפשריים אחרים לנקודה R . .20 אגף הגנים מִיפָּה פארק בעזרת רשת, כל משבצת מייצגת ריבוע שאורך צלעו .' 10 מ כ ל נקודה מייצגת מיקום מתוכנן של עץ . א. התאימו את העצים הבאים לנקודות A,B,C,D המסומנות בתכנית הפארק . 1( ) עץ במיקום ( .)60 ,0 3( ) עץ במיקום ( .)0 ,60 2( ) עץ במיקום ( .)40 ,40 4( ) עץ במיקום ( .)70 ,60 ב. רשמו את מיקומי הנטיעה של העצים המסומנים ב- M ו- T בתכנית הפארק . ג. עובד הפארק המליץ לסלול שביל בין שני עצים, כך שיקביל לשביל סלול קיים המסומן כציר ה- x . בין אילו שני עצים יסללו את השביל?
10 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .21 מיכל רוצה לסרטט מרובע ששלושה מקדקודיו הן הנקודות המסומנות ב מערכת הצירים שלפניכם. א. איז ו נקודה מבין הנקודות הבאות לא תשלים את המרובע ? )3 ,2( )1( )9 ,2( )2( )5 ,8( )4( )4 ,6( )3( ב. הציעו 2 שיעורים אפשריים לנקודה שתשלים למרובע. .22 אביתר רוצה לס רטט מחומש שארבעה מקדקודיו הן הנקודות המסומנות ב מערכת הצירים שלפניכם. א. איז ו נקודה מבין הנקודות הבאות לא תשלים את המחומש ? )6 ,8( )1( )9 ,4( )2( )8 ,5( )4( )3 ,1( )3( ב. הציעו 2 שיעורים אפשריים לנקודה שתשלים למחומש. .23 במערכת הצירים שלפניכם מוצ ג מרובע ABCD . העתיקו את הסרטוט למחברתכם והאריכו את הצלעות AB ו- DC , כך שנוצר משולש . מהו שיעורי הקדקוד השלישי של המשולש שהתקבל? .24 א. סמנו במערכת הצירים , שבה כל משבצת היא יחידה אחת, נקודות לבחירתכם, כך שיתקבלו: 1( ) משולש 2( ) מלבן 3( ) ריבוע ב. רשמו את שיעורי הנקודות שבחרתם. תזכורת • מצולע – קו שבור סגור. • שם המצולע נקבע על פי מספר צלעותיו: • משולש - מצולע בעל 3 צלעות. • מרובע - מצולע בעל 4 צלעות. • מחומש - מצולע בעל 5 צלעות. מרובעים מיוחדים: • מלבן – מרובע שכל זוויותיו בנות 900 . ריבוע – מלבן שכל צלעותיו שוות. מקבילית – מרובע שבו 2 זוגות של צלעות נגדיות שוות.
11 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים ב. קטעים במערכת צירים בסעיף זה נלמד למצוא אורך קטע המקביל לציר (או מתלכד איתו). בנוסף נלמד למצוא את שיעורי נקודת הקצה של קטע המקביל לאחד הצירים בהינתן אחת מנקודות הקצה שלו ואורכו. הסבר ודוגמה פתורה – אורך קטע המקביל לציר (או מתלכד איתו) נתבונן בנקודות המסומנות במערכת הצירים הבאה. נקודות A ו- B : שיעור ה- y של שתי הנקודות הוא .7 מכאן ששתי הנקודות נמצאות במרחק של 7 יח' מציר ה- x , כלומר הקטע AB נמצא במרחק קבוע מציר ה- x , ולכן הקטע AB מקביל לציר ה- x . נמצא את אורך הקטע AB באופן הבא: − =10−2= ′ יח 8 נקודות C ו- D : שיעור ה- x של שתי הנקודות הוא 5 . מכאן ששתי הנקודות נמצאות במרחק של 5 יח' מציר ה- y , כלומר הקטע CD נמצא במרחק קבוע מציר ה- y , לכן הקטע CD מקביל לציר ה- y . נמצא את אורך הקטע CD באופן הבא: − =6−1= ′ יח 5 נסכם • אם לשתי נקודות יש אותו שיעור x , א זי הישר העובר דרכן מקביל לציר ה- y או מתלכד אתו . ולהפך: לנקודות, המונחות על ישר המקביל לציר ה- y( או על ציר ה- y,) יש אותו שיעור . בסרטוט: נקודות C ו- D . • אם לשתי נקודות יש אותו שיעור y, אזי הישר העובר דרכן מקביל לציר ה- x או מתלכד אתו . ולהפך: לנקודות, המונחות על ישר המקביל לציר ה- x( או על ציר ה- x,) יש אותו שיעור . בסרטוט: נקודות A ו- B . • אורך קטע הניצב לציר x או לציר y ✓ אורך הקטע AB , הניצב לציר y , הוא : − . (A - נקודה ימנית, B - נקודה שמאלית.) ✓ אורך הקטע CD , הניצב לציר x , הוא : − . (C - נקודה עליונה, D - נקודה תחתונה.)
12 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים דוגמה במערכת הצירים נתונות הנקודות הבאות: )8 ,5( A )8 ,1( , B )1 ,6( , C )7 ,6( , D . א. הסבירו מדוע הקטע AB מקביל לציר ה- y . ב. הסבירו מדוע הקטע CD מקביל לציר ה- x . ג. מצאו את אורכי הקטעים AB ו- CD . ד. הנקודה K נמצאת משמאל לנקודה B . הקטע BK מקביל לציר ה- x ואורכו 3 יחידות. מצאו את שיעורי הנקודה K . פתרון: א. לנקודות A ו- B יש אותו שיעור x : = =8 . שתי הנקודות נמצאות באותו המרחק מציר ה- y 8( יחידות). לכן הקטע AB מקביל לציר ה- y . ב. לנקודות C ו- D יש אותו שיעור y : = =6 . שתי הנקודות נמצאות באותו המרחק מציר ה- x( 6 יחידות). לכן הקטע CD מקביל לציר ה- x. ג. נמצא את אורך הקטע AB : − =5−1= ′ יח 4 . נמצא את אורך הקטע CD : − =7−1= ′ יח 6 . תשובה : אורך הקטע AB הוא 4 יחידות, ואורך הקטע CD הוא 6 יחידות. ד. הקטע BK מקביל לציר ה- x , לכן שיעור ה- y של הנקודה K הוא : 1 , כי = =1 . שיעור ה- x של B הוא 8 , והנקודה K נמצאת משמאל לנקודה B . לכן שיעור ה- x של הנקודה K קטן ב- 3 יח' משיעור ה- x של הנקודה B , והוא: = −3=8−3=5 . תשובה: ( )5 ,1 K הערות : • יחידות המידה במערכת הצירים הן " יחידות " או " יחידות אורך " (ובכתיב מקוצר: יח') ולא ס"מ, מטרים וכו'. • בחישוב אורכי קטעים יש להקפיד לחסר את הערכים בסדר הנכון . • חישוב אורכו של קטע, המונח על אחד הצירים, מתבצע בדיוק באותה הדרך . • בהינתן קטע המקביל לאחד הצירים או מתלכד עם אחד הצירים ונתון אורכו ושיעורי אחד הקצוות שלו, נוכל למצוא את שיעו רי הקצה השני על ידי פעולת ה חיבור (אם הנקודה החסרה נמצאת מימין או מעל לקצה הנתון) או על ידי פעולת ה חיסור (אם הנקודה החסרה נמצאת משמאל או מתחת לקצה הנתון) .
13 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .25 במערכת הצירים שלפניכם מסומן הקטע TP , המקביל לציר ה- x . א. רשמו את שיעורי הנקודות T ו- P . ב. מה המשותף לשיעורי הנקודות T ו- P? ג. אילו מהנקודות הבאות נמצאות על הקטע TP : )6 ,4( )1( )1,1( )2( ,4( )3( 2 ) ( )4( 7 , 7 ) ד. מהו אורך הקטע TP ? .26 במערכת הצירים שלפניכם מסומן הקטע TP , המקביל לציר ה- y . א. רשמו את שיעורי הנקודות T ו- P . ב. מה המשותף לשיעורי הנקודות T ו- P? ג. ציינו שיעורים של 3 נקודות שנמצאות על הקטע TP . ד. מהו אורך הקטע TP ? .27 ב מערכות הצירים שלפניכם נתונות 2 נקודות. הקטע המחבר אותן מקביל לציר ה- x . בכל מערכת צירים, מצאו את שיעור ה- y החסר, ומצאו את אורך הקטע AB . א. ב. ג. .28 במערכות הצירים שלפניכם נתונות 2 נקודות. הקטע המחבר אותן מקביל לציר ה- y . בכל מערכת צירים, מצאו את שיעור ה- x החסר, ומצאו את אורך הקטע AB . א. ב. ג.
14 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .29 גנן מִיפָּה מערכת השקיה בעזרת מערכת צירים שבה כל יחידה מייצגת קטע באורך .' 1 מ הנקודות בסרטוט מייצגות חיבורים במערכת ההשקיה, והקטעים הצבעוניים מייצגים צינורות שיש להחליף . הגנן מעוניין ל הזמין צינורות חדשים באורך המתאים לו. א. מצאו את אורכם של הצינורות הבאים : SN , MG , PL ו- RT . ב. מה אורכו של צינור ההשקיה הארוך ביותר? .30 במערכת הצירים מסומנת הנקודה ( )6 ,4 T . א. הנקודה E נמצאת משמאל לנקודה T. הקטע ET מקביל לציר ה- x ואורכו 3 יחידות. מצאו את שיעורי הנקודה E . ב. הנקודה G נמצאת מימין לנקודה T. הקטע TG מקביל לציר ה- x ואורכו 4 יחידות. מצאו את שיעורי הנקודה G . ג. רשמו שיעורי 2 נקודות שלא נמצאות על הקטע EG . .31 במערכת הצירים מסומנת הנקודה ( )5 ,4 L . א. הנקודה A נמצאת מעל לנקודה L. הקטע LA מקביל לציר ה- y ואורכו 4 יחידות. מצאו את שיעורי הנקודה A . ב. הנקודה M נמצאת מתחת לנקודה L. הקטע ML מקביל לציר ה- y ואורכו 2 יחידות. מצאו את שיעורי הנקודה M . ג. מהו אורך הקטע AM ? הציעו 2 דרכים למציאת אורכו.
15 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .32 במערכות הצירים שלפניכם הקטעים AB ו- BC מקבילים לצירים. א. בכל אחד מהסעיפים מצאו את שיעורי הנקודה B ואת אורכי הקטעים AB ו- BC . )1( )2( )3( )4( ב. תנו דוגמה לשיעורי נקודות A , B ו- C , כך שיתקיים BC = AB . .33 א. מצאו את שיעורי הנקודות A ו- C במלבנים הבאים , שצלעותיהם מקבילות לצירים או מתלכדות עם הצירים . )1( )2( )3( )4( ב. רשמו דוגמה לשיעורי קדקודים נגדיים של מלבן אחר, שממדיו שווים לממדי מלבן ( .)4 .34 א. מצאו את שיעורי הנקודה הנמצאת מימין לראשית הצירים ובמרחק של 7 יחידות ממנה. ב. מצאו את שיעורי הנקודה הנמצאת מעל לראשית הצירים ובמרחק של 5 יחידות ממנה. ג. רשמו שיעורים של 2 נקודות שונות שהמרחק של כל אחת מהן מראשית הצירים: )1( גדול מ- 8 יחידות. 2( ) קטן מיחידה אחת. .35 נתונה הנקודה ( )8 ,6 A . א. הקטע AB מקביל לציר ה- x ואורכו 5 יחידות. מצאו את שתי האפשרויות ל שיעורי הנקודה B. ב. הקטע AC מקביל לציר ה- y ואורכו 3 יחידות. מצאו את שתי האפשרויות ל שיעורי הנקודה C . ג. הקטע AP מקביל לאחד הצירים ואורכו 2 יחידות. כמה אפשרויות יש לנקודה P ? מצאו את כולן. A 0
16 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .36 חיפושית מטיילת על סורג המורכב מקווים מקבילים היוצרים ריבועים, שאורך צלעם הוא . 1 יחידה היא מתחילה את המסלול (מסומן באדום) בנקודה ששיעוריה ( ,)1 ,1 ו מסיימת אותו בנקודה ששיעוריה ( .)7 ,3 א. מצאו את אורך המסלול של החיפושית. ב. הציעו מסלול אחר שאורכו שווה לאורך המסלול של החיפושית. ג. מה אורכו של המסלול הקצר ביותר האפשרי מהנקודה ( 1 ,1 ) לנקודה ( ?)7 ,3 האם יש יותר ממסלול אחד כזה? .37 לפניכם מבט על של השכונה של רועי הבנויה משטחים ריבועיים, המסומנים על- ידי קווים מקווקוים לבנים, שאורך צלעם ,' 10 מ וביניהם עוברים כבישים מקבילים. גבי נוסע מהצומת שבנקודה ( )0 ,0 לצומת שבנקודה ( .)60 ,30 א. ביום א' הוא נסע במסלול התכלת. מה אורכו של המסלול התכלת? ב. ביום ב' הוא נסע במסלול הצהוב. מה אורכו של המסלול הצהוב? ג. מצאו מסלול נוסף מהנקודה ( 0 ,0 ) לנקודה ( )60 ,30 (אם יש מסלול כזה – סרטטו, אם אין – הסבירו מדוע). 1( ) שאורכו שווה לאורך המסלול הצהוב. )2( שארוך מהמסלול הצהוב. )3( שקצר מהמסלול הצהוב.
17 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים ג. היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות במערכת צירים בסעיף זה נעסוק בצורות גיאומטריות במערכת צירים, ובחישוב היקפן ושטחן. הסבר ו דוגמה פתורה – שטח מלבן שטח המלבן PQRS הוא . 18 יח"ר א. מצאו את שיעור ה- x של הנקודות R,Q . ב. מה היקף המלבן? פתרון: • לנקודות P ו- S יש אותו שיעור x : = =10 . שתי הנקודות נמצאות באותו המרחק מציר ה- y 10( יחידות). לכן הצלע SP מקבילה לציר ה- y . נמצא את אורך הצלע SP : − =6−3= ′ יח 3 . • נתון ששטח המלבן PQRS הוא 18 יח"ר, ומצאנו שאורך אחת הצלעות הוא .' 3 יח שטח מלבן הוא מכפלת שתי צלעות סמוכות . לכן אורך הצלע הסמוכה לה הוא: = = 18 3 = ′ יח 6 . א. תזכורת – היקף ושטח מלבן וריבוע • בלימודי המתמטיקה בבית הספר היסודי השתמשו בסימן " × " לפעולת הכפל. כעת נשתמש בסימן " ∙ " במקום הסימן " × ." • מלבן היקף מלבן – סכום אורכי כל צלעותיו. 6+4+6+4= מ"ס 20 שטח מלבן – מכפלת אורכי צלעותיו הסמוכות. 6×4=6 ∙ 4= ר"סמ 24 • ריבוע היקף ריבוע – סכום אורכי כל צלעותיו. 5+5+5+5=4×5=4∙5= מ"ס 20 שטח מלבן – מכפלת אורכי צלעותיו הסמוכות. 5×5=5 ∙ 5= ר"סמ 25 הערה: במערכת הצירים ה יקף צורה יוצג ב " יחידות" או ב " יחידות אורך " (ובכתיב מקוצר: יח'), ול א ס"מ, מטרים וכו'. שטח צורה במערכת צירים יוצג ב " יחידו ת ריבועיות " או ב " יחידות שטח " (ובכתיב מקוצר: יח"ר או יח"ש), ולא סמ"ר, מ"ר וכו'.
18 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים • אורכה של הצלע RS הוא 6 יח' והיא מקבילה לציר ה- x . שיעור ה- x של הנקודה S הוא ,10 והנקודה R נמצאת משמאל לנקודה S . לכן שיעור ה- x של הנקודה R קטן ב- 6 יח' משיעור ה- x של הנקודה S והוא: = −6=10−6=4 . • הצלע RQ מקבילה לציר ה- y , ולכן לנקודות R ו- Q יש אותו שיעור x שהוא .4 ניתן גם למצוא את שיעור ה- x של הנקודה Q על ידי הפחתה של 6 יח' משיעור ה- x של הנקודה P . תשובה: ( )4 ,6 R )4 ,3( , Q . ב. מצאנו שאורכי צלעות המלבן הן 6 יח' ו- .' 3 יח היקף מלבן הוא סכום אורכי הצלעות. לכן היקף המלבן הוא: 6+3+6+3= ′ יח 18 . תשובה : היקף המלבן PQRS הוא .' 18 יח הערה: בחלק מהשאלות תופיע רשת במערכת הצירים, אם היא נדרשת לפתרון השאלה. כאשר משתמשים במערכת צירים לצורך ייצוג של צורות גיאומטריות, חשוב להשתמש באותן יחידות אורך על שני הצירים (אחרת יי תכנו עיוותים בס רטוט של הצורות) . דוגמה יעל ותמר התבקשו לס רטט במערכת צירים ריבוע שקדקודיו הם : A(2,8), B(6,8), C(6,4), D(2,4) . לפניכם הסרטוטים של שתי הבנות : הסרטוט של יעל הסרטוט של תמר אנו רואים שבסרטוט של יעל יש אותן יחידות אורך בשני הצירים, ולכן המרובע ABCD נראה ריבוע . לעומת זאת, בסרטוט של תמר אין אותן יחידות אורך בשני הצירים, ולכן המרובע ABCD נראה מלבן ולא ריבוע .
19 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .38 לפניכם מערכות צירים שבהם מסורטטים מלבנים שצלעותיהם מקבילות לצירים ו/ או מונחות על הצירים. לגבי כל מלבן: מצאו את אורכי צלעותיו, היקפו ושטחו. א. ג. ב. ד. .39 לפניכם מערכות צירים שבהם מסורטטים מלבנים שצלעותיהם מקבילות לצירים ו/ או מונחות על הצירים. לגבי כל מלבן: מצאו את אורכי צלעותיו, היקפו ושטחו. א. ב. ג. ד. ה. ו. .40 קדקודיו של מלבן הם: ( 5 )8 , A )8 ,2( , B ( , 2 , 1 )C )1 ,5( , D . א. מצאו את אורכי הצלעות AB ו- BC . ב. מצאו את שטח המלבן ABCD . ג. האם הנקודה ששיעוריה ( 7 ,4 ) נמצאת בתוך המלבן / מחוץ למלבן / על אחת מצלעות המלבן? ד. רשמו שיעורי נקודה שהיא: 1( ) מחוץ למלבן. 2( ) על אחת מצלעות המלבן.
20 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .41 קדקודיו של משולש הם: ( 3 , 9)A ( , 3 , 1 )B ,7( , 1)C . א. הסבירו מדוע הצלע BC מקבילה לציר ה- y . ב. הסבירו מדוע הצלע BA מקבילה לציר ה- x. ג. מצאו את אורכי הצלעות AB ו- CB . ד. איזו נקודה מבין הנקודות הבאות תשלים את המשולש למלבן? )9 ,7( )1( )8 ,7( )2( )9 ,1( )3( )9 ,3( )4( ה. מצאו בשתי דרכים שונות את ההיקף והשטח של המלבן שהתקבל. .42 שטח המלבן PQRS הוא . 15 יח"ר א. מצאו את שיעור ה- x של הנקודות Q ו- R . ב. מה היקף המלבן? .43 בסרטוט שני ריבועים זהים . א . מהם שיעורי הנקודה B ? )0 ,30( )1( )60 ,0( )2( )30 ,0( )3( ב . מהם שיעורי הנקודה C ? ג. תלמיד התבקש למצוא את היקף המלבן המורכב משני הריבועים. הוא חישב את היקף אחד הריבועים וכפל ב- 2 . האם הוא צודק? הסבירו. .44 בסרטוט שני ריבועים זהים . א . מהם שיעורי הנקודות B ו- C . ב. גבי אמר: ניתן לחשב את שטח המלבן שהתקבל מבלי למצוא את שיעורי הנקודה B . האם הוא צודק? ג. מסרטטים ריבוע נוסף מעל שני הריבועים. מה היקף המלבן המורכב משלושת הריבועים? .45 במערכת הצירים שלפניכם התחילו לצייר מלבן ABCD . שתי הצלעות הסמוכות מסורטטות. א. רשמו את שיעוריהם של שלושת הקדקודים הנתונים של המלבן. ב. רשמו את שיעורי הקדקוד D , כך שיתקבל מלבן. ג. מצא ו את שטח המלבן. ד. לפניכם שיעורי נקודות. לגבי כל נקודה ציינו אם היא נמצאת בתוך המלבן / מחוץ למלבן / על אחת מצלעות המלבן. )1( )6 ,2( )4 ,6( )2( ,4( )3( )8 )9 ,3( )4(
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=