אשכול מדעים וחברה יח״ל 3 רמת 4609 מספר אישור: 22.8.24 אושר בתאריך:
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2024 © 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-69 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-87-1 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול מדעים וחברה 4609 מספר אישור: 22.8.24 אושר בתאריך: יח״ל 3 רמת
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה הספר "מתמטיקה לכיתה י״א – חלק א' – אשכול מדעים וחברה" מתאים לתכנית הלימודים החדשה ברמת יח"ל. 3 ספר זה הוא הראשון מתוך שלושה ספרים, ועוסק בתכנים מתמטיים בהקשרים של תופעות מתחומי המדעים והחברה. העקרונות, שלפיהם נכתב הספר, הם: בסיס אורייני - מתמטי ורלוונטיות לחיי היום יום; הבנה ועיבוד של מידע; תובנה מספרית, מילולית, גרפית וגיאומטרית ועוד. מה מיוחד בספר? • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • בסוף הספר יש חמישה נספחים בנושאים שנלמדו בחטיבת הביניים ובכיתה י׳, והנדרשים לצורך לימוד הנושאים בספר זה. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו ורתם פרוידנברג, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. באתרנו, ובקובץ הדיגיטלי של הספר. סריקת הקוד מקשרת ליישומון, סרטון QR שאלה, שבה מופיע קוד או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע, הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול.
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1................................................................................................. אשכול מדעים וחברה – פתיח 2......................................................................... יחידה ראשונה – גדילה ודעיכה מעריכיות 3............................................................................................. זיהוי תהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה . א 4 ���������������������������������������������������������������������������������������� המידע מוצג באמצעות תיאור מילולי . ב 5 ��������������������������������������������������������������������������������������� המידע מוצג באמצעות תיאור ויזואלי תהליכים מעריכיים – ללא שימוש בנוסחה . א 10 ���������������������������������������������������������������������������������������� זיהוי הערכים בתהליכים מעריכיים . ב 13 ���������������������������������������������������������������������������� מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן . ג 17 ������������������������������������������� מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן עוקבות תהליכים מעריכיים – באמצעות נוסחה . א 22 ���������������������������������������������������������������������������� מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן . ב 28 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת הכמות ההתחלתית . ג 33 ������������������������������������������������������������������������������������������� axn = b פתרון משוואות מהצורה . ד 34 ���������������������) מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן (שאינן בהכרח עוקבות . ה 40 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת מספר יחידות הזמן תהליכים מעריכיים – תיאורים ויזואליים . א 45 ���������������������������������������������������������������������������������������� זיהוי הערכים בתיאורים ויזואליים . ב 49 ������������������������������������������������������� מציאת הכמויות, מקדם גדילה/דעיכה ומספר יחידות הזמן השוואה בין תהליכים . א 55 ��������������������������������������������������������������������������������������������� השוואה בין תהליכים מעריכיים . ב 64 ���������������������������������������������������������������������������� השוואה בין תהליך מעריכי לתהליך ליניארי 70. ........................................................................................................................ תרגול משולב ומסכם 75. .......................................................................................................................................... תשובות
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 81.................... שימוש בכלים סטטיסטיים לעיבוד מידע סטיית תקן - יחידה שנייה - 82............................................................................................. המשמעות של מדד הפיזור – סטיית התקן חישוב סטיית התקן . א 89 ����������������������������������������������������������� שימוש בנוסחה לחישוב סטיית התקן וחישובה במחשבון . ב 100 ���������������������������������������������������������������������������� חישוב סטיית התקן, כולל שימוש בנעלמים . ג 107 ������������������������������������������������������������� לחישוב סטיית התקן - הרחבה Excel שימוש בתוכנת 114.............................................................................) סטיית התקן – שינוי בערכי המשתנה (אחד או יותר 121..................................................................................) תוספת או הורדה של ערך משתנה (אחד או יותר 125.......................................................................................................................................... תשובות 131................................................................................................. יחידה שלישית – הסתברות 132................................................................................... זיהוי מאורעות בלתי-תלויים ומאורעות תלויים חישוב הסתברויות של מאורעות בלתי-תלויים ושל מאורעות תלויים . א 136 ������������������������������������������������������������������ חישוב הסתברויות של שני מאורעות בלתי-תלויים . ב 141 ������������������������������������������������������������� חישוב הסתברויות של שלושה מאורעות בלתי-תלויים . ג 146 �������������������������������������������������������������������������� חישוב הסתברויות של שני מאורעות תלויים 149................................................................................................ חישוב הסתברות – ייצוג בעזרת טבלה 154....................................................................................... חישוב הסתברות – ייצוג בעזרת דיאגרמת עץ 178............................................................................................................... הסתברות – קבלת החלטות 184...................................................................................................... הסתברות – תרגול משולב ומסכם 191.......................................................................................................................................... תשובות נספחים 199........................................................................................................................... נספח א׳ - אחוזים 203....................................................................................... ) נספח ב׳ - מדדי מרכז (ממוצע, חציון ושכיח 207......................................................................................................................... נספח ג׳ - הסתברות 212................................................................................................................... נספח ד׳ - המרת יחידות 214......................................................................................................................... נספח ה׳ - נוסחאות
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה גדילה ודעיכה מעריכיות מטרת היחידה היא להציג מודל גדילה ודעיכה מעריכיות ולהכיר את המצבים, שבהם נעשה שימוש במודל של גדילה ודעיכה מעריכיות בהקשר של חברה ומדע. השאלות בגדילה ודעיכה עוסקות בתופעות מחיי היום יום המשתנות באופן מעריכי, כגון: תופעות ביולוגיות, פיזיקליות, חברתיות ועוד. ניתן לתאר את התופעות באופן מילולי, גרפי, אלגברי ובטבלה. .נספח א'ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושא אחוזים, שנלמד בחטיבת הביניים ובכיתה י' – ראו ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושאים הבאים: • פתרון משוואות ממעלה ראשונה. • פתרון משוואות מעריכיות. • שינוי נושא נוסחה. • המרת יחידות. מה הקשר בין נגיף הקורונה לגדילה מעריכית? החלה ההתפרצות של נגיף הקורונה בעיר ווהאן שבסין. 2019 בסוף שנת ההתפשטות המהירה והנרחבת של הנגיף הובילה את ארגון הבריאות העולמי להכריז על המחלה כמגפה בסדר גודל עולמי (פנדמיה). הכרזה זו אינה קשורה במאפייני המחלה, אלא קשורה ליכולת ההדבקה המהירה של הנגיף. לפני החלת ההגבלות בישראל (מסכות, איסור התקהלות ועוד) מספר הנבדקים, שתוצאת בדיקתם היתה חיובית, הוכפל כל שלושה ימים. מגפת הקורונה גרמה לכך שצמד המילים ״גדילה מעריכית (אקספוננציאלית)״ נשמע בתקשורת שוב ושוב. ביחידה זו נעסוק בתהליכים מעריכיים. משימת פתיחה חבצלות מים, הגדלות באגם, מכפילות את הכמות שלהן בכל יום. יום הן מכסות את כל האגם, 20 אם בתוך כמה ימים דרושים להן כדי לכסות רק מחצית מהאגם? .75 התשובה למשימת הפתיחה - בעמ׳
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © זיהוי תהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה בפרק זה נלמד לזהות תהליך מעריכי/ליניארי לפי ההגדרה שתילמד, ונזהה תהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה. נגדיר: • מספר קבוע של ב מספר קבוע" או "פיתהליך מעריכי הוא תהליך, שבו הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת " ."אחוזים • .יחידותמספר קבוע של בתהליך ליניארי (קווי) הוא תהליך, שבו הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת המידע בפרק מוצג באמצעות תיאור מילולי או ויזואלי, ומתאר מצבים בחיי היום יום בהקשר מדעי וחברתי. כדי להמחיש את ההבדל בין תהליך מעריכי לתהליך ליניארי נתבונן בדוגמה הבאה: הן המנהלות של שתי חנויות מתחרות.נופר ודנה לקוחות 200 במועד מסוים יצאו שתיהן בקמפיינים פרסומיים. במועד זה היו רשומים בכל אחת מהחנויות. יצאה בקמפיין מקומי וזול יחסית, שצפוי להגדיל את מספר הלקוחות בחנות דנה לקוחות בחודש. 125 שלה ב- יצאה בקמפיין יקר במיוחד, שצפוי להגדיל את מספר הלקוחות בחנות שלהנופר בחודש. 1.5 פי בחודשיים הראשונים כמעט לא היה הבדל בין מספר הלקוחות בשתי החנויות. בעקבות זאת חשבה נופר לבטל את הקמפיין היקר, אך שימו לב למה שקרה בחודשים הבאים! המשיך לגדול בקצב קבוע. לעומת זאתדנהמספר הלקוחות בחנות של גדל מחודש לחודש באופן משמעותי.נופרמספר הלקוחות בחנות של ✔ – מספר הלקוחות של נופר היה גדול ממספר חודשים 4 לאחר הלקוחות של דנה, שהרי: (200 + 125 + 125 + 125 + 125) לקוחות 700 :דנה (200 ∙ 1.5 ∙ 1.5 ∙ 1.5 ∙ 1.5 = 1012.5) לקוחות 1013 : כ- נופר ההפרש בין מספר הלקוחות בשתי החנויות ילך ויגדל באופן משמעותי ככל שיעברו החודשים. • ) בכל חודש, ולכן לפי ההגדרה מדובר 125 מספר קבוע של לקוחות (ב-ב גדל דנהמספר הלקוחות בחנות של .בתהליך ליניארי (קווי) • )50% קבוע שהוא באחוז גדל = 1.5 מספר קבוע של לקוחות (פי פי גדל נופרמספר הלקוחות בחנות של .בתהליך מעריכיבכל חודש, ולכן לפי ההגדרה מדובר 500 600 200 900 1000 0 1 2 3 4 5 700 800 100 1100 1200 1300 1400 1500 1600 300 400 החודש דנה נופר מספר הלקוחות
13 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 24 . קילומטרים. 2 אורי הצטרף לחוג ריצה חדש. באימון הראשון הוא רץ למרחק של בכל שבוע. 15% את המרחק שרץ ב- הגדילכדי להיכנס לכושר באופן הדרגתי הוא קילומטרים. 3.04 שבועות הוא רץ למרחק של 3 לאחר 25 . בחנות למכירת פירות טריים, מגיעים הפירות בבוקר, והמכירות מתבצעות במהלך היום. בעקבות המכירות וההתייבשות של הפירות, .8% בכל שעה ב- קטֵןהמשקל הכולל של הפירות קילוגרם. 600 בבוקר היה משקל הפירות הטריים 6:00 בשעה קילוגרם. 158.04 היה משקל הפירות הטריים 22:00 בשעה 26 . בחברת אופנה הוצעו הטבות ללקוחות חדשים שיצטרפו למועדון הלקוחות, ולכן מספר חברי המועדון שלה חברי מועדון. 1000 חודשים. במועד מסוים היו לחברת האופנה 3 בכל 5% בצורה מעריכית ב- גדֵל חברי מועדון. 1216 לאחר שנה היו לחברה 27 . את מספר העובדים לצמצם עובדים. החברה נכנסה לתהליך של התייעלות, ובו הוחלט 8000 בחברה מועסקים עובדים. 4695 שנים הגיע מספר העובדים בחברה ל- 3 בכל חצי שנה. לאחר 8.5% ב- .ב מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן בסעיף זה נציג תיאור מילולי של תהליך גדילה/דעיכה, שבו נתונים שלושה מהערכים בתהליך, ועל פיהם יש לחשב (ללא נוסחה) את הערך החסר. נתייחס למקרים מגוונים, שבהם יש לחשב את הכמות אחרי/לפני מספר יחידות הזמן. דוגמאות פתורות דוגמה א' - תהליך גדילה מעריכית חיידקים. 60,000 היו בתרבית 3.1.2024 בכל יום. בתאריך 2 פי גדֵלהתרבית חיידקים . א זַהּו את הערכים הנתונים: הכמות ההתחלתית, יחידת הזמן ומקדם הגדילה/דעיכה. . ב ?6.1.2024 כמה חיידקים היו בתרבית בתאריך . ג ?1.1.2024 כמה חיידקים היו בתרבית בתאריך פתרון: . א .2 חיידקים, יחידת הזמן היא יום, ומקדם הגדילה הוא 60,000 הכמות ההתחלתית היא . ב , כלומר הכמות גדֵלה 2 ימים. מקדם הגדילה הוא 3 חולפים 6.1.2024 ועד לתאריך 3.1.2024 מתאריך , ולכן מתקיים: 2 כל יום פי 3.1.2024 4.1.2024 5.1.2024 6.1.2024 60,000 120,000 240,000 480,000 לאחר יום אחד ∙2 לאחר יומיים ∙2 לאחר ימים 3 ∙2 חיידקים. 480,000 ימים, היו בתרבית 3 , כלומר לאחר 6.1.2024 תשובה: בתאריך
14 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ג ), ביצענו פעולות כפל 3.1.2024 לחישוב הכמויות בתאריכים שלאחר התאריך, שבו נתונה הכמות ההתחלתית ( לחישוב הכמויות תוך התקדמות מיום ליום לאורך ציר הזמן. הוא תאריך מוקדם יותר מהתאריך שבו נתונה הכמות ההתחלתית. 1.1.2024 התאריך , נבצע פעולת חילוק כדי לסגת לימים מוקדמים יותר: 1.1.2024 לחישוב כמות החיידקים בתאריך 1.1.2024 2.1.2024 3.1.2024 4.1.2024 5.1.2024 6.1.2024 15,000 30,000 60,000 120,000 240,000 480,000 לפני יומיים :2 לאחר יום אחד ∙2 ההתחלה לפני יום אחד :2 לאחר יומיים ∙2 לאחר ימים 3 ∙2 חיידקים. 15,000 היו בתרבית 1.1.2024 תשובה: בתאריך דוגמה ב' - תהליך דעיכה מעריכית גרם. במהלך השנים החומר מתפרק ומשחרר 126 משקלו של חומר רדיואקטיבי מסוים הוא .20.63% שנים ב- 10 בכל קטֵןאנרגיה וחלקיקים, ולכן משקלו . א זַהּו את הערכים הנתונים: הכמות ההתחלתית, יחידת הזמן ומקדם הגדילה/דעיכה. . ב שנים? 30 מה יהיה משקל החומר בעוד . ג שנים? 20 מה היה משקל החומר לפני פתרון: . א שנים. נחשב את מקדם הדעיכה: 10 גרם. יחידת הזמן היא 126 הכמות ההתחלתית היא .) 100 100 7937 100 2063 07937 − = = . . . ( 0.7937 , שקולה להכפלה ב- 20.63% הקטנה ב- . לא נעגל את המספר ולא נקצר אותו, כך שיהיו פחות ספרות מימין 0.7937 מקדם הדעיכה הוא לנקודה העשרונית. . ב 3 "קפיצות", כלומר יש 3 שנים נצטרך 30 שנים. לכן לצורך חישוב משקל החומר בעוד 10 יחידת הזמן היא יחידות זמן: 126 100 79.37 63 בעוד שנים 10 ∙0.7937 בעוד שנים 20 ∙0.7937 בעוד שנים 30 ∙0.7937 גרם. 63 גרם הכמות קטנה לכ- 126 הכמות דועכת, וכך מכמות של גרם. 63 שנים משקל החומר הרדיואקטיבי יהיה כ- 30 תשובה: בעוד . ג "קפיצות" לכיוון הנגדי, 2 שנים נצטרך 20 שנים. לכן לצורך חישוב משקל החומר לפני 10 יחידת הזמן היא יחידות זמן לכיוון הנגדי. נבצע פעולת חילוק כדי לסגת לזמן מוקדם יותר: 2 כלומר 200.01 158.75 126 100 79.37 63 לפני שנים 10 :0.7937 לפני שנים 20 :0.7937 ההתחלה בעוד שנים 10 ∙0.7937 בעוד שנים 20 ∙0.7937 בעוד שנים 30 ∙0.7937 גרם). במשך הזמן 200.01 יחידות זמן) היתה גדולה יותר ( 2 הכמות דועכת, וכך כמות החומר בעבר (לפני גרם). 126 הכמות דעכה, והתקבלה כמות קטנה יותר ( גרם. 200.01 שנים משקל החומר הרדיואקטיבי היה 20 תשובה: לפני
22 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תהליכים מעריכיים - באמצעות נוסחה בפרק זה נתמקד במציאת הכמויות ומקדם הגדילה/דעיכה בתהליכים מעריכיים באמצעות שימוש בנוסחה. נזהה את הנתונים ואת מה שמבוקש – תוך שיוכם למושגים המתאימים. לצורך החישוב נעשה שימוש בטכניקה של שינוי , ומתאר תהליכים מעריכיים בחיי יום יום בהקשר תיאור מילולינושא הנוסחה. המידע בפרק זה מוצג באמצעות מדעי וחברתי . מה נלמד? ✔ מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. ✔ מציאת הכמות ההתחלתית. ✔ .axn = b פתרון משוואות מהצורה ✔ מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן שאינן בהכרח עוקבות. ✔ מציאת מספר יחידות הזמן. .77-76 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן בסעיף זה נציג תיאור מילולי של תהליך גדילה/דעיכה, שבו נתונים הכמות ההתחלתית ופי כמה או בכמה אחוזים גדֵלה/קטֵנה הכמות ביחידת זמן אחת. נחשב את הכמות אחרי/לפני מספר יחידות הזמן בעזרת הצבה בנוסחה, וכן נחשב בכמה אחוזים גדֵלה/קטֵנה הכמות על פני מספר יחידות הזמן. הסבר ודוגמה פתורה - מציאת הכמות אחרי מספר יחידות זמן הנוסחה לגדילה / דעיכה מעריכית (מופיעה בדף הנוסחאות) At = A0 ∙ qt – מקדם הגדילה / דעיכה. q – הכמות ההתחלתית. A0 – הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. At – מספר יחידות הזמן. t בדוגמה הבאה נמחיש את השימוש בנוסחה, ונראה את המעבר מפתרון ללא שימוש בנוסחה לפתרון באמצעות שימוש בנוסחה.
23 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה בבריכת דגים שיפרו את איכות המים וסיפקו מזון בשפע. . 1.08 בכל חודש פי גדֵללכן משקל הדגים בה ק"ג. 800 במועד מסוים משקל הדגים בבריכה היה חודשים? 3 מה יהיה משקלם לאחר פתרון: דרך א' – ללא שימוש בנוסחה .1.08 ק"ג, ומקדם הגדילה הוא 800 המשקל ההתחלתי הוא בפרק הקודם למדנו לפתור בלי להשתמש בנוסחה באופן הבא: 800 864 933.12 1007.77 ∙ 1.08 ∙ 1.08 ∙ 1.08 ק"ג) במקדם הגדילה 800 חודשים, כפלנו את המשקל ההתחלתי של הדגים ( 3 כדי להגיע למשקל הדגים לאחר , שלוש פעמים. נחשב על-ידי שימוש בחזקות, ונקבל: 1.08 800 ∙ 1.08 ∙ 1.08 ∙ 1.08 = 800 ∙1.083 = ק״ג 1007.77 דרך ב' – שימוש בנוסחה 20 חישובים כדי להגיע לתשובה המבוקשת. אילו התבקשנו לחשב את משקל הדגים לאחר 3 בדרך א' ביצענו חודשים, אזי החישוב בדרך א' היה מסורבל ולא נוח. לכן נציג את הפתרון באמצעות הנוסחה. נזהה את הערכים הבאים: ק"ג דגים. 800 – במקרה זה הכמות ההתחלתית – A0 .3 – יחידת הזמן היא חודש, ומספר יחידות הזמן הוא מספר יחידות הזמן – t .1.08 – מקדם הגדילה/הדעיכה – q ? – חודשים t הכמות לאחר – A t נציב את הנתונים בנוסחה, ונקבל: At = A0 ∙ qt A3 = 800 ∙ 1.083 A3 = ק״ג 1007.77 ק"ג. 1007.77 חודשים יהיה 3 תשובה: משקל הדגים בבריכה לאחר
45 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תהליכים מעריכיים - תיאורים ויזואליים בפרק זה נתמקד בתהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה, המוצגים באמצעות תיאורים ויזואליים, המתארים מצבים בחיי היום יום בהקשר מדעי וחברתי . מה נלמד? ✔ זיהוי הערכים בתיאורים ויזואליים. ✔ מציאת הכמויות, מקדם גדילה/דעיכה ומספר יחידות הזמן. .78-77 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א זיהוי הערכים בתיאורים ויזואליים בסעיף זה נציג מידע לגבי תהליך גדילה/דעיכה באמצעות תיאור ויזואלי (גרף נקודות, גרף רציף ודיאגרמת עמודות). מתוכו נלמד לזהות מה מייצגים: הכמות ההתחלתית, מקדם גדילה/דעיכה, יחידת הזמן והכמות אחרי מספר יחידות זמן. הסבר ודוגמאות פתורות כפי שלמדנו, בתהליך המעריכי משתתפים ארבעה ערכים: • .)A0 הכמות ההתחלתית ( • .)t הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן ( • .)q מקדם הגדילה/הדעיכה ( • .)At הכמות אחרי מספר יחידות זמן ( בדוגמאות הבאות נזהה את הערכים הללו מתוך התיאור הוויזואלי. דוגמה א' - גרף נקודות בעיר מסוימת הוקמו שכונות חדשות, ובהן רבי-קומות. בגרף הנקודות שלפניכם מוצג תהליך מעריכי של גידול במספר התושבים בעיר. בינואר בכל שנה מִפְקַד אוכלוסין: 1 עורכים בעיר ב- 2020 משנת אוספים את המידע לגבי מספר התושבים בכל שנה, רושמים מידע זה כזוגות סדורים, ומציגים אותם כנקודות במערכת הצירים. . א האם בגרף הנקודות מתואר תהליך גדילה או תהליך דעיכה? . ב מה מתארים כל אחד משני הצירים? . ג מהו מספר התושבים שנספר במִפְקָד האוכלוסין הראשון? . ד רשמו את הערכים החסרים בשנתות שעל הציר האופקי. (1) ( 2) מהי יחידת הזמן? כמה יחידות זמן עברו מהמפקד , עד המפקד האחרון שבגרף הנקודות? 1.1.2020 ההתחלתי, שנערך ב- התאריך מספר התושבים 124,416 50,000
46 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ( 3) יחידות זמן? 5 מהו מספר התושבים, המייצג את הכמות אחרי פתרון: . א גרף הנקודות המוצג הוא גרף עולה, ולכן מדובר בתהליך של גדילה מעריכית. . ב הציר האופקי מתאר את תאריכי המִפְקָדים, והציר האנכי מתאר את מספר התושבים. . ג הנקודה הראשונה של גרף הנקודות נמצאת על הציר האנכי, לפיה במִפְקַד האוכלוסין הראשון נספרו .A0 = 50,000 תושבים, כלומר 50,000 . ד התאריך 1.1.2020 1.1.2021 1.1.2022 1.1.2023 1.1.2024 1.1.2025 (1) ( 2) , למפקד האחרון המוצג בגרף הנקודות, 1.1.2020 יחידת הזמן היא שנה אחת. בין המפקד, שנערך ב- .t = 5 "קפיצות"), כלומר 5 שנים ( 5 עוברות ( 3) תושבים, 124,416 יחידות זמן, והוא 5 הנקודה הימנית ביותר מציגה את מספר התושבים במפקד אחרי .At = A5 = 124,416 כלומר דוגמה ב' - גרף רציף במעבדה התבצע ניסוי בחומר מסוים. במסגרת הניסוי הקפידו שתהליך הקירור יהיה מעריכי. בגרף הרציף שלפניכם מתוארת הטמפרטורה של החומר במשך מספר הדקות שבהן נערך הניסוי. . א האם מוצג בגרף תהליך גדילה או תהליך דעיכה? . ב מהי יחידת הזמן? כמה יחידות זמן עברו מתחילת הניסוי ועד סופו? . ג העתיקו למחברתכם והשלימו: ( 1) בתחילת הניסוי טמפרטורת החומר היתה _______. ( 2) A0 = _____ ( 3) A = 30° ( 4) .A4 = _____ דקות, כלומר 4 הטמפרטורה של החומר הגיעה ל ______ אחרי ( 5) .A = _____ בתום הניסוי טמפרטורת החומר היתה _______, כלומר פתרון: . א הגרף שבסרטוט הוא גרף יורד, ולכן מוצג בו תהליך של דעיכה מעריכית. . ב .t = 8 "קפיצות"), כלומר 8 דקות ( 8 יחידת הזמן היא דקה אחת. מתחילת הניסוי ועד סופו עוברות . ג . מיוצג בגרף על ידי הנקודה בצבע תכלת. 90° בתחילת הניסוי טמפרטורת החומר היתה (1) ( 2) , הנקודה בצבע תכלת). y , מיוצג בגרף על ידי נקודת החיתוך שלו עם הציר האנכי (ציר ה- A0 = 90° ( 3) , מיוצג בגרף על ידי הנקודה הכתומה. A4 = 30° ( 4) דקות. מיוצג בגרף על ידי הנקודה הכתומה, 4 אחרי 30° הטמפרטורה של החומר הגיעה ל .A4 = 30° כלומר ( 5) .A8 = 10° . מיוצג בגרף על ידי הנקודה הירוקה, כלומר 10° בתום הניסוי טמפרטורת החומר היתה 0 הזמן (בדקות) (°C)הטמפרטורה 1 2 3 4 5 6 7 8 10° 30° 90°
54 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 108 . תערוכה אטרקטיבית לילדים נפתחה לקהל הרחב במהלך חופשת הקיץ. משפחות רבות הגיעו לתערוכה, מדי שבוע באופן מעריכי.גדֵלולכן מספר המבקרים בה שבועות. 6 הגרף הבא מתאר את מספר המבקרים בתערוכה במשך . א מה היה מספר המבקרים בשבוע הראשון? (1) ( 2) מה היה מספר המבקרים בשבוע החמישי? . ב בכמה אחוזים גדל מספר המבקרים בכל שבוע? . ג . מהי משמעות הנקודה? A מצאו את שיעורי הנקודה . ד . מהי משמעות הנקודה? B מצאו את שיעורי הנקודה . ה כעבור כמה שבועות שלמים מפתיחת התערוכה יעלה ממספרם ההתחלתי? 1.4 מספר המבקרים, בפעם הראשונה, ליותר מפי 109 . חברה להשכרת רכב החלה במהלך עסקי של החלפת כלי הרכב בחברה לכלי רכב חשמליים. בכל שנה בצורה מעריכית.קטֵןלכן מספר כלי הרכב הלא-חשמליים שנשארו בחברה בדיאגרמת העמודות שלפניכם מוצג מספר כלי הרכב הלא-חשמליים .2023 – 2019 שנשארו בחברה בשנים . א ?2020 כמה כלי רכב לא חשמליים היו ב- . ב ?2023 כמה כלי רכב לא חשמליים היו ב- . ג מהו מקדם הדעיכה של מספר הרכבים הלא חשמליים בכל שנה? . ד רשמו את הנתונים החסרים בדיאגרמה (המשבצות הריקות), ועגלו למספרים שלמים. . ה מהו המספר הממוצע לשנה של כלי הרכב הלא חשמליים בחברה? 110 . במדינה מסוימת גילו מִר ְּבצֵי נפט חדשים, ולכן כמות הנפט בכל שנה באופן מעריכי.גדֵלההמופקת במדינה זו הדיאגרמה הבאה מתארת את כמות הנפט (במיליון טון) . 2022 – 2018 המופקת במדינה זו בשנים . א בכמה אחוזים גדֵלה הפקת הנפט בשנה אחת? . ב השלימו את הנתונים החסרים בדיאגרמה (המשבצות הריקות). . ג ?2016 בהנחה שקצב הגידול נשאר ללא שינוי, מה היתה כמות הפקת הנפט במדינה בתחילת שנת . ד ?2022 עד שנת 2018 מהי כמות הנפט הממוצעת לשנה שהופקה במדינה זו משנת השבוע מספר המבקרים 1 2 3 4 5 6 A B 2274 3800 0 השנה מספר כלי הרכב הלא-חשמליים 2019 2021 2020 2022 2023 50 130 השנה כמות הנפט (מיליון טון) 2018 2020 2019 2021 2022 630 694.58
67 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 123 . לפניכם שלושה תהליכים: תושבים חדשים. 20 קיבוץ מסוים קולט בכל שנה תהליך ראשון – .10% שנים ב- 3 בשל עליית מחירי הדיור בעיר מסוימת מספר התושבים בה קטן בכל תהליך שני – שנים. 10 בכל 1.2 בעקבות הגירה חיובית ליישוב מסוים מספר התושבים בו גדֵל פי תהליך שלישי – . א לגבי כל אחד משלושת התהליכים ציינו אם הוא תהליך מעריכי או תהליך ליניארי. נמקו. . ב גרפים. התאימו כל תהליך לגרף המתאים לו. נמקו. 4 לפניכם ( 1) 䱀 덐 משרד התחבורה יצא במהלך של שיפור תשתיות באזור מסוים, ובדק את מספר כלי הרכב הנוסעים בשני כבישים ששודרגו באותו המועד. התברר שבאחד הכבישים הגידול השנתי במספר כלי הרכב הוא ליניארי, ובכביש האחר הוא מעריכי. לפניכם שני גרפים, המתארים את מספר כלי הרכב הנוסעים בשני הכבישים הללו במשך מספר שנים. . א איזה גרף מתאר תהליך של גדילה מעריכית? ואיזה גרף מתאר תהליך של גדילה ליניארית? כלי רכב לפני שדרוגו. 20,000 נסעו בכביש הראשון .25% בכל שנה ב-גדֵלמספר כלי הרכב הנוסעים בכביש הראשון כלי רכב לפני שדרוגו. 40,000 נסעו בכביש השני כלי רכב. 4000 בכל שנה ב-גדֵלמספר כלי הרכב הנוסעים בכביש השני . ב איזה גרף מתאר את גידול מספר כלי הרכב הנוסעים בכביש הראשון? ואיזה גרף מתאר את גידול מספר כלי הרכב הנוסעים בכביש השני? . ג כמה כלי רכב נסעו בכל אחד מהכבישים שנה לאחר השדרוג? . ד שנים לאחר השדרוג, מספר כלי הרכב, 5 בהנחה שקצב הגידול של מספר כלי הרכב נשאר ללא שינוי, האם שנסעו בכביש הראשון, יהיה גדול יותר ממספר כלי הרכב, שנסעו בכביש השני? הזמן (בשנים) מספר התושבים הזמן (בשנים) מספר התושבים הזמן (בשנים) מספר התושבים הזמן (בשנים) מספר התושבים השנה מספר כלי הרכב I II
81 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה שנייה סטיית תקן שימוש בכלים סטטיסטיים לעיבוד מידע תיאור ההתפלגות על-ידי ערכים מרכזיים לא ממוצע, חציון ושכיח. של ההתפלגות: במדדי מרכזבכיתה י' עסקנו נותן תמונה מלאה לגבי ההתפלגות. , כמצביע על מידת ההטרוגניות או ההומוגניות של התפלגות במדד הפיזור - סטיית תקןביחידה זו נעסוק הנתונים (האחידות או חוסר האחידות שלהם). ביחידה זו ייעשה שימוש בנושאים, שנלמדו בחטיבת הביניים ובכיתה י', והם: • .נספח ב'מדדי מרכז: ממוצע, חציון, שכיח - ראו • ייצוגים סטטיסטיים שונים: ייצוג מספרי (רשימה, טבלת שכיחויות, טבלת שכיחויות מצטברת), ייצוג ויזואלי (דיאגרמת עמודות, דיאגרמת עיגול). • .נספח א'אחוזים - ראו רקע היסטורי - סטיית תקן הוא הקים בלונדון את המחלקה 1911 נחשב למייסד תחום הסטטיסטיקה המתמטית. בשנת קרל פירסון ,)Standard Deviation( סטיית תקןהאוניברסיטאית לסטטיסטיקה הראשונה בעולם. ביחידה זו נכיר את המושג . לקרל פירסון מיוחסים מושגים רבים בתחום הסטטיסטיקה, לרבות 1894 שהוטבע על-ידי קרל פירסון בשנת השימוש הראשון במושג היסטוגרמה (דיאגרמת עמודות). משערים שהשם שהגה נובע מהמילה היוונית היסטוס, , פורסם ״The Grammar of Science״ שמשמעותה תורן, כי עמודות הדיאגרמה זקופות כתורן. ספרו של פירסון, , בו הוא תיאר רעיונות, שנתנו השראה למדענים רבים, ובין השאר לתורת היחסות של איינשטיין. 1892 בשנת משימת פתיחה ק"ג. 5 ק"ג ל- 4 משקל תקין של חתול בוגר נע בין חתולים בוגרים שמשקלם הממוצע 10 ביום מסוים הגיעו לטיפול וטרינרי ק"ג. האם מידע זה מספיק כדי לקבוע שכל חתול שהגיע לטיפול ביום זה, 4.5 היה משקלו היה תקין? .125 התשובה למשימת הפתיחה - בעמ׳
84 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה פתורה - הצגה באמצעות טבלת שכיחויות שחקנים (כולל מחליפים): 10 לפניכם התפלגות מידות הנעליים של השחקנים בשתי קבוצות כדורעף, שבהן מידות הנעליים 44 45 46 47 48 קבוצה א' – מספר השחקנים 2 1 4 1 2 קבוצה ב' – מספר השחקנים 1 8 1 . א מצאו את מידת הנעליים הממוצעת של השחקנים בכל קבוצה. . ב באיזו קבוצה פיזור מידות הנעליים סביב הממוצע (סטיית התקן) הוא קטן יותר? מה המשמעות של פיזור קטן יותר? פתרון: . א x= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 442 451 464 471 482 10 46 ממוצע מידות הנעליים של השחקנים בקבוצה א': x= = ⋅ + ⋅ + ⋅ 45 1 46 8 47 1 10 46 ממוצע מידות הנעליים של השחקנים בקבוצה ב': .46 תשובה: מידת הנעליים הממוצעת של השחקנים בכל אחת מהקבוצות היא . ב , ניתן לראות שהתפלגות מידות הנעליים בשתי 46 למרות שמידת הנעליים הממוצעת בשתי הקבוצות היא הקבוצות שונה, וקיים הבדל בפיזור מידות הנעליים של השחקנים סביב הממוצע. בקבוצה א' קיימים הבדלים בין מידות הנעליים של השחקנים כמתואר בטבלה והן רחוקות מהממוצע, בעוד בקבוצה ב' מידות הנעליים של , כלומר קרובות לממוצע. 46 או מאוד קרובות ל- 46 השחקנים הן תשובה: בקבוצה ב' הפיזור של מידות הנעליים סביב הממוצע (סטיית התקן) הוא קטן יותר. המשמעות של פיזור קטן יותר היא, שמידות הנעליים של השחקנים קרובות יותר למידה הממוצעת של הנעליים או שוות לה. 4 . תלמידים, נערך מבחן במתמטיקה. 30 בשתי כיתות, שבכל אחת מהן יש התפלגות הציונים היתה: 1 בכיתה י״א הציון 70 80 90 מספר התלמידים 5 20 5 התפלגות הציונים היתה: 2 בכיתה י״א הציון 60 70 80 90 100 מספר התלמידים 8 5 4 5 8 . א מצאו את הציון הממוצע בכל אחת מהכיתות. . ב באיזו כיתה פיזור הציונים קטן יותר ביחס לממוצע (סטיית התקן קטנה יותר)? נמקו.
85 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 5 . ספרים כל אחת. 10 נועה והילה קראו בחופשת הקיץ לפניכם התפלגות מספר הימים, שבהם קראו כל אחד מעשרת הספרים. מספר הימים לספר 3 4 5 6 7 נועה - מספר הספרים 1 3 2 3 1 הילה – מספר הספרים 2 6 2 . א מצאו את מספר הימים הממוצע לקריאת ספר של כל בת. . ב אצל איזו בת הפיזור של מספר הימים סביב הממוצע (סטיית התקן) הוא גדול יותר? נמקו. 6 . לפניכם שתי דיאגרמות עמודות, המציגות את מספר הרכבים שהושכרו ואת מספר ימי ההשכרה לרכב בשני סניפים של חברת השכרה. . א העבירו את המידע, המופיע בדיאגרמות העמודות, לטבלה הבאה (העתיקו למחברתכם והשלימו). מספר ימי ההשכרה לרכב 4 5 6 7 8 9 10 סניף דרום – מספר הרכבים סניף צפון – מספר הרכבים . ב כמה עסקאות להשכרת רכבים מוצגות בדיאגרמה של כל סניף? . ג מצאו בכל סניף את הממוצע. . ד באיזה סניף פיזור מספר ימי ההשכרה לרכב סביב הממוצע הוא קטן יותר? נמקו. . ה מצאו בכל סניף את השכיח והחציון. (הדרכה: תזכורת לגבי מציאת שכיח וחציון, המוצגים בעזרת טבלת שכיחויות ודיאגרמת עמודות - בנספח ב'.) 9 10 8 7 6 5 4 מספר הרכבים סניף דרום מספר ימי ההשכרה לרכב 1 3 0 2 9 10 8 7 6 5 4 מספר הרכבים סניף צפון מספר ימי ההשכרה לרכב 1 3 0 2
88 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 9 . שתי דיאגרמות העיגול שלפניכם מציגות את ההתפלגות של מספר השעות השבועיות, שלומדים תלמידים בשתי כיתות י"א. 25% 25% 20% 20% 10% 40 41 42 39 38 1 י״א 10% 10% 5%5% 70% 40 41 42 39 38 2 י״א . א ? אם כן, מצאו את מספר 1 שעות שבועיות בכיתה י"א 39 האם ניתן לדעת כמה תלמידים לומדים התלמידים. אם לא, נמקו. . ב מצאו את מספר השעות השבועיות הממוצע בכל אחת מהכיתות. . ג באיזו כיתה סטיית התקן של מספר השעות השבועיות גדולה יותר? נמקו. . ד מצאו את השכיח והחציון בכל אחת מהכיתות. (הדרכה: תזכורת לגבי מציאת שכיח וחציון, המוצגים בעזרת דיאגרמת עיגול - בנספח ב'.) 10 . שתי דיאגרמות העיגול שלפניכם מציגות את ההתפלגות של נפח בקבוקי המים המינרליים (בליטרים) שנמכרו בשתי חברות. 2 1.5 0.75 0.5 10% 10% 40% חברה א׳ 2 1.5 1 0.75 0.5 20% 20% 20% 20% חברה ב׳ . א ליטר שנמכרו בשתי החברות. 2 מצאו את אחוז בקבוקי המים בנפח . ב מצאו את הנפח החציוני של בקבוקי המים המינרליים בכל אחת מהחברות. . ג מצאו את הנפח הממוצע של בקבוקי המים המינרליים בכל אחת מהחברות. . ד באיזו חברה סטיית התקן גדולה יותר? נמקו.
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=