אשכול התמצאות במישור ובמרחב - כיתה י"א

אשכול התמצאות במישור ובמרחב יח״ל 3 רמת 4609 מספר אישור: 11.12.24 אושר בתאריך:

אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2024 © 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-70 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-88-8 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס

כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י"א- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול התמצאות במישור ובמרחב 4609 מספר אישור: 11.12.24 אושר בתאריך: יח״ל 3 רמת

כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י"א- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה הספר "מתמטיקה לכיתה י״א – חלק ב' – אשכול התמצאות במישור ובמרחב" מתאים לתכנית הלימודים יח"ל. 3 החדשה ברמת ספר זה הוא השני מתוך שלושה ספרים. השאלות באשכול זה ממחישות יישומיות רחבה של גיאומטריה בחיי היום יום. העקרונות, שלפיהם נכתב הספר, הם: בסיס אורייני - מתמטי ורלוונטיות לחיי היום יום; הבנה ועיבוד של מידע; תובנה מספרית, מילולית וגיאומטרית ועוד. מה מיוחד בספר? • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • בסוף הספר יש שלושה נספחים א׳, ב׳ ו-ג׳ בנושאים, שנלמדו בחטיבת הביניים ובכיתה י׳, והנדרשים לצורך לימוד הנושאים בספר זה. • בסוף הספר יש נספח ד׳ - תרגול נוסף בנושאים המופיעים ביחידות שבספר. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו ורתם פרוידנברג, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי

כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י"א- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. באתרנו, ובקובץ הדיגיטלי של הספר. סריקת הקוד מקשרת ליישומון, QR שאלה, שבה מופיע קוד סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול.

כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י"א- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1........................................................................ אשכול התמצאות במישור ובמרחב – פתיח 2.................................................................. יחידה ראשונה – יחס, פרופורציה וקנה מידה 3................................................................................................................................................... יחס 20. ....................................................................................................................................... פרופורציה 32. ........................................................................................................................................ קנה מידה 44. .......................................................................................................................................... תשובות 48. ......................................................................................... יחידה שנייה – דמיון משולשים 50. ................................................................................................................................... צורות דומות משולשים דומים . א 54 �� הגדרת משולשים דומים . ב 64 �� משפט דמיון משולשים קטעים, זוויות, היקפים ושטחים במשולשים דומים . א 70 �� מציאת אורכי קטעים וגודלי זוויות במשולשים דומים . ב 85 �� היקפים ושטחים במשולשים דומים 101.......................................................................................................................................... תשובות

כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י"א- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 111........................................................................................ יחידה שלישית – טריגונומטריה פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית . א 113 �� פונקציית הטנגנס במשולש ישר-זווית . ב 118 �� פונקציית הסינוס במשולש ישר-זווית . ג 122 �� פונקציית הקוסינוס במשולש ישר-זווית . ד 125 �� תרגול משולב 133............................................................... פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית – בחיי היום יום זווית גובה וזווית עומק . א 144 �� זווית גובה . ב 150 �� זווית עומק . ג 154 �� תרגול משולב – זווית ראייה צורות המתפרקות למשולשים ישרי-זווית . א 158 �� צורות משולשות שמתפרקות למשולשים ישרי-זווית . ב 167 �� צורות מרובעות שמתפרקות למשולשים ישרי-זווית 180.......................................................................................................................................... תשובות נספחים 185........................................ נספח א' – ההגדרות, התכונות, ההיקפים והשטחים של הצורות הגיאומטריות 192.................................................................................................................. נספח ב' – המרת יחידות 194.............................................................................................................. נספח ג' – תכונות של זוויות 195...................................................................................................................... נספח ד׳ – תרגול נוסף

2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה יחס, פרופורציה וקנה מידה , ולהראות את היישומים שלהם: בהקשר של קנה מידה יחס ופרופורציהמטרת היחידה היא להציג את המושגים (ביחידה הבאה). יחידה זו מהווה מבוא לפרק של דמיון משולשים.דמיון משולשים(ביחידה זו) ובהקשר של נושאים אלו נלמדו בחלקם בחטיבת הביניים. ביחידה זו נחזור עליהם בהקשר אורייני ונעמיק בהם. ביחידה זו ייעשה שימוש בנושאים הבאים: • תכונות, היקף ושטח של הצורות הגיאומטריות הבאות: ✔ משולשים – משולש כללי, משולש שווה-שוקיים (כולל שווה-צלעות), משולש ישר-זווית. ✔ מרובעים – מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז (כולל טרפז שווה-שוקיים) ודלתון. ✔ מעגל ועיגול. נספח א׳.ראו • .נספח ב'המרת יחידות – ראו • פתרון משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה. משימת פתיחה הם:במציאותבחנות מוצעות סדרת מסגרות לתמונות שממדיהן 2 0 ס״מ ס״מ 40 2 5 ס״מ ס״מ 50 3 0 ס״מ ס״מ 60 . א על סמך התבוננות באורכי הצלעות הסמוכות של כל אחת משלוש המסגרות הנ"ל, קבעו מהי התכונה המשותפת לכל אחת מהמסגרות. בסדרת המסגרות שבחנות יש מסגרות נוספות בעלות אותה התכונה. . ב ס"מ. מהו אורך הצלע הארוכה במסגרת זו? 27 אורך הצלע הקצרה של אחת המסגרות הוא . ג ס"מ, תתאים לסדרת המסגרות הנ"ל? נמקו. 60 ס"מ ו- 35 האם מסגרת, שממדיה .44 התשובה למשימת הפתיחה - בעמ׳

3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחס בפרק זה יוצגו מצבים מחיי היום יום, בהם נעשה שימוש ביחס. נעסוק בהבנת המשמעות של היחס במצבים שונים, וכן נציג את היחס בהקשר האורייני - כולל מעבר מייצוג יחס באופן מילולי לייצוגו באופן סימבולי, או להפך. בחלק מהמקרים תידרש המרת יחידות. .45-44 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' תזכורת • הוא המנה (תוצאת החילוק) של שני מספרים (גדלים או כמויות) חיוביים, ומשמש להשוואה יחס בין שני הגדלים. • ניתן להציג את היחס בשני אופנים: בקו שבר או בסימן החילוק. למשל: .4:6 או בסימן חילוק 4 6 בקו שבר 6 ל- 4 ניתן להציג את היחס בין המספרים .2:3 או 4 6 2 3 = :כשבר מצומצםאם אפשר, מקובל לרשום את היחס • ."3 ל- 2 קוראים משמאל לימין: " 2:3 יחס קוראים משמאל לימין. למשל: את היחס דוגמה פתורה – יחס בין מספרים ק"מ מהכביש עברו שיפוץ. 50 ק"מ. 200 אורך כביש הוא . א מהו היחס בין החלק ששופץ בכביש לחלק שלא שופץ? . ב .1:2 בכביש אחר היחס בין החלק ששופץ לחלק שלא שופץ הוא באיזה כביש היחס בין החלק ששופץ לחלק שלא שופץ גדול יותר? פתרון: . א .(200 – 50 = 150) ק"מ לא שופצו 150 ק"מ מהכביש עברו שיפוץ. לכן 50 ק"מ, 200 אורך הכביש הוא . 1 3 , ולאחר צמצום 50 150 ק"מ) הוא 150 ק"מ) לחלק שלא שופץ ( 50 היחס בין החלק ששופץ ( .1:3 ניתן לרשום את היחס גם בסימן חילוק .1:3 תשובה: היחס בין החלק ששופץ בכביש לחלק שלא שופץ הוא . ב כדי להשוות יחסים יש להעביר אותם לכתיב בקו שבר או בשבר עשרוני. . 1 2 , בכביש השני היחס הוא 1 3 בכביש הראשון היחס בין החלק ששופץ לחלק שלא שופץ הוא

15 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 23 .1:2:3 היחס בין זוויותיו של משולש הצללה מבד הוא . א מצאו את זוויות המשולש. . ב מהו הסוג של המשולש שהתקבל? . 24 .4:5:6 ס"מ. היחס בין אורכי צלעותיה הוא 30 היקפה של פרוסת עוגה משולשת הוא מצאו את אורכי הצלעות של פרוסת העוגה. . 25 .7:24:25 ס"מ. היחס בין אורכי צלעותיו הוא 336 היקפו של חלון בצורת משולש הוא . א מצאו את אורכי הצלעות של החלון. . ב הסבירו מדוע החלון הוא בצורת משולש ישר-זווית. מהו אורך הצלע המונחת מול הזווית הישרה? . ג מצאו את שטח החלון. . 26 הילה צבעה פינה בחדרה באופן המתואר בסרטוט, ומתקיים היחס הבא: .AD:BD:DC = 1:2:3 . א את השטח של כל אחד x , ובטאו באמצעות AD = x סמנו מהמשולשים. מ"ר. 9 השטח הכולל של שני המשולשים הוא . ב .(BD) מצאו את גובה החדר מהפנל ועד לתקרה B A C D

20 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פרופורציה , בהבנת המשמעות שלה ובשימוש בה למציאת נתונים חסרים.פרופורציהבפרק זה נתמקד בזיהוי יוצגו מצבים מחיי היום יום, בהם נעשה שימוש בפרופורציה. .47-46 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' דוגמה פתורה - מציאת גודל חסר נגדיר: – שוויון בין יחסים.פרופורציה , a b c d = יוצרים פרופורציה, אם מתקיים שוויון בין יחסי המספרים, כלומר: a , b , c , d המספרים החיוביים . 9 13 18 26 = למשל: דוגמה .2:3 בתמונה מלבנית היחס בין צלע אחת לצלע השנייה הוא ס"מ. מה אורך הצלע השנייה? 50 אורכה של אחת מצלעות התמונה הוא פתרון: ס"מ, אך לא נתון אם מדובר בצלע הארוכה או בצלע הקצרה. 50 נתון שאורכה של אחת מצלעות המלבן הוא לכן נבחין בין שני המקרים. ס"מ. 50 מקרה א' – אורך הצלע הארוכה הוא . 2 3 50 = x ס״מ את אורך הצלע הקצרה, ונרשום את הפרופורציה (השוויון בין היחסים): x נסמן בנפתור את המשוואה בשתי דרכים: דרך א' ,(3 ∙ 50 = 150) 150 המכנה המשותף במשוואה הוא ולכן: ⋅ ⋅ = 50 3 2 3 50 / / x 100 = 3x /:3 x = ס"מ 33 1 3 דרך ב' רשומים על "אלכסון" אחד 50 וה- 2 במשוואה זו ה- רשומים על ה"אלכסון" x וה- 3 (האדום), ואילו ה- השני (הכחול): 2 3 50 = x , יש לכפול את המספרים על x כדי למצוא את הנעלם אינו נמצא, ולחלק את המכפלה x האלכסון, שבו הבמספר המופיע באלכסון של הנעלם x= ⋅2 50 3 = ס"מ 33 1 3

21 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ס"מ. 50 מקרה ב' – אורך הצלע הקצרה הוא . 2 3 50 = a את אורך הצלע הארוכה, ונרשום את הפרופורציה: a נסמן בגם כאן ניתן לפתור את המשוואה בשתי דרכים: דרך א' , לכן: 3a המכנה המשותף במשוואה הוא ⋅ ⋅ = a a / / 2 3 50 3 2a = 150 /:2 a = ס"מ 75 דרך ב' 2 3 50 = a a= ⋅3 50 2 = ס"מ 75 ס"מ. 33 1 3 ס"מ, אזי אורך הצלע הקצרה הוא 50 תשובה: ייתכנו שני מקרים: אם אורך הצלע הארוכה הוא ס"מ. 75 ס"מ, אזי אורך הצלע הארוכה הוא 50 אם אורך הצלע הקצרה הוא . 34 מצאו את ערך המספר הלא-ידוע בפרופורציות הבאות. . א x 3 4 6 = . ב x 2 5 4 = . ג 6 4 x 8 = . ד 2 5 x 60 = . ה 4 7 14 = x ו . 7 4 12 = x . ז 3 5 12 = x . ח 2 3 20 = x . 35 אורך מסלול הליכה מורכב מדרך כורכר ומדרך עפר. .3:4 היחס בין אורך דרך הכורכר לאורך דרך העפר הוא ק"מ. 8 אורך דרך העפר הוא רשמו פרופורציה מתאימה, ומצאו את אורך דרך הכורכר. . 36 לפניכם אולם שהרצפה בו בצורת טרפז. .5:3 היחס בין הבסיס התחתון לבסיס העליון בטרפז הוא מ'. 20 אורך הבסיס התחתון הוא רשמו פרופורציה מתאימה, ומצאו את אורך הבסיס העליון של הטרפז. כורכר עפר

23 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 40 משפחת דוד קנתה שלושה עציצים בגדלים שונים. .1:0.6 בכל עציץ היחס בין גובה העציץ לקוטר בסיסו הוא . א ס"מ. מה גובה העציץ? 12 קוטר הבסיס של העציץ הראשון הוא . ב ס"מ. מה גובה העציץ? 9 רדיוס הבסיס של העציץ השני הוא . ג ס"מ. מה קוטר בסיסו? 60 גובהו של העציץ השלישי הוא . ד כתבו מידות של עציץ נוסף, שבו היחס בין גובה העציץ לקוטר בסיסו הוא בדומה לעציצים שקנתה משפחת דוד. . 41 בובות מַטרִיֹושקָה (בעברית הן מכּונות בטעות גם בשם ּב ָּבּושקָה) הן סדרה של בובות חלולות שעשויות מעץ, ואשר נמצאות זו בתוך זו. לייצור בובת .2.2:1 מטריושקה דרוש שהיחס בין גובה הבובה לבין קוטר בסיסה יהיה . א .11:5 אומן ייצר בובה, שהיחס בין גובה הבובה לבין קוטר בסיסה הוא האם היא מתאימה ליחס הדרוש? . ב ס"מ, מתאימה ליחס הדרוש? 10 ס"מ וקוטר בסיסה 24 האם בובה, שגובהה . ג מ"מ. מה צריך להיות הרדיוס של בסיס הבובה? 33 אומן מעוניין לייצר בובה שגובהה . ד ס"מ. מה צריך להיות גובה הבובה? 9 אומן אחר מעוניין לייצר בובה, שרדיוס בסיסה הוא . 42 לנועה יש שולחן מלבני ישן, שבו היחס בין צלע אחת של השולחן לצלע הסמוכה .4:5 לה הוא . א ס"מ. מה אורך הצלע השנייה? 100 אורכה של אחת מצלעות המלבן הוא (הבחינו בין שני מקרים.) ס"מ. 100 בשולחן הישן של נועה אורך הצלע הארוכה הוא נועה החליטה לרכוש שולחן מלבני חדש, השומר על אותו יחס בין צלעותיו הסמוכות, כך שאורך הצלע מ'. 1.2 הארוכה שלו יהיה . ב פי כמה גדול אורך הצלע הארוכה בשולחן החדש מאורך הצלע הארוכה בשולחן הישן? . ג מה היחס בין אורך הצלע הארוכה בשולחן הישן לאורך הצלע הארוכה בשולחן החדש? . ד מה אורך הצלע הקצרה בשולחן החדש (בס״מ)?

29 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 51 בחנות מוצעים שעונים בשלושה גדלים. .6:4:5 היחס בין הקְטָרִים שלהם הוא ס"מ. 30 קוטרו של השעון הגדול הוא מהם הקטרים של שני השעונים האחרים? . 52 מתחת למדרגות הותקן ארון שצורתו משולש ישר-זווית. .3:4:5 היחס בין צלעותיו הוא ס"מ. 210 אורך הניצב הקטן במשולש הוא מצאו את אורכי שתי הצלעות האחרות של הארון. . 53 .2:3:3 דניאל הכין מאפים בצורת משולש. הוא ציין שהיחס בין אורכי צלעות המאפים הוא . א לפי היחס הנתון ניתן לדעת שהמאפים הם בצורת משולש :גבי אמר שווה-שוקיים. לא ניתן לדעת מהו סוג המשולש, כי לא נתונים אורכי הצלעות. :דניאל אמר מי צודק? . ב ס"מ? 8 מה אורכי הצלעות של כל מאפה, אם אורך הצלע הקצרה הוא . ג מה יהיה היחס בין אורכי צלעותיו של מאפה, שצורתו משולש שווה-צלעות? מה היחס בין גודלי זוויותיו? נמקו. . 54 במפעל אורזים את המוצרים בקופסאות קרטון, שבהן היחס הדרוש בין אורך .3:2:1 הקופסה לרוחבה ולגובהה הוא: . א ס"מ? 20 , שגובהה S מהם ממדיה של קופסה בגודל . ב ס"מ? 60 , שרוחבה L מהם ממדיה של קופסה בגודל . ג ס"מ, מתאימה ליחס 25 ס"מ, וגובהה 50 ס"מ, רוחבה 100 האם קופסה, שאורכה הדרוש לאריזת המוצרים במפעל?

32 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © קנה מידה לצורך חישובים של גדלים במציאות על פי בקנה מידהבפרק זה יוצגו מצבים מחיי היום יום, שבהם נעשה שימוש גודלם בסרטוט / במפה / בתמונה ולהפך. במהלך החישוב ייתכן שימוש בהמרת יחידות ובאומדן. .47 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' דוגמה פתורה – הממדים המציאותיים הוקטנו נגדיר: הוא היחס בין גודל בסרטוט / בדגם / בתמונה לבין גודל במציאות.קנה מידה דוגמה (הנתון בס"מ) - יחידת האורך 1:500 אדריכלית הגישה סרטוטים בקנה מידה ס"מ. 1 בסרטוט היא . א מהי המשמעות של קנה המידה? . ב ס"מ. מהו גובה הבניין 26 גובה הבניין בסרטוט שהגישה האדריכלית הוא (במטרים)?במציאות . ג מ'. 40 ליד בניין זה תכננה האדריכלית בניין משרדים, שגובהו במציאות הוא (בס״מ)?בסרטוט מה גובהו של בניין המשרדים פתרון: . א היא: 1:500 המשמעות של קנה המידה ס"מ במציאות. 500 ס"מ בסרטוט מתאימים 1 ל- ס"מ במציאות. 1000 ס"מ בסרטוט מתאימים 2 ל- ס"מ במציאות וכו'. 1500 ס"מ בסרטוט מתאימים 3 ל- .500 היא שהמידות במציאות הוקטנו פי 1:500 תשובה: המשמעות של קנה המידה . ב ס"מ. נמצא את גובהו במציאות בשתי דרכים. 26 גובה הבניין בסרטוט הוא דרך א' כדי לקבל את הגובה של 500 פי 26 ניעזר במשמעות של קנה המידה שהוצגה בסעיף א'. יש להגדיל את מ׳. 130 , שהם 26 · 500 = ס"מ 13000 :הבניין במציאות. כלומר גובה הבניין במציאות הוא

33 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דרך ב' – שימוש בפרופורציה 1 500 26 = x :x נסמן את גובהו של הבניין במציאות במידה בסרטוט מידה במציאות x x / / 1 500 26 500 = , ולכן: 500x המכנה המשותף הוא x ∙ 1 = 26 ∙ 500 x = ס"מ 13000 = מ' 130 מ'. 130 ס"מ, שהם 13000 תשובה: גובה הבניין במציאות הוא . ג מ' לס"מ, ולכן גובהו של בניין המשרדים 40 מ'. נמיר את 40 גובהו במציאות של בניין המשרדים הוא . נמצא את גובהו בסרטוט בשתי דרכים. 40 · 100 = ס"מ 4000 במציאות הוא: דרך א' כדי לקבל את 500 ס"מ פי 4000 ניעזר במשמעות של קנה המידה שהוצגה בסעיף א'. כעת יש להקטין את הגובה של בניין המשרדים בסרטוט. .4000 : 500 = ס"מ 8 ס"מ, אך בסרטוט גובהו הוא: 4000 גובה בניין המשרדים במציאות הוא דרך ב' – שימוש בפרופורציה 1 500 4000 = a :a נסמן את גובהו של הבניין בסרטוט ב- 8 1 1 500 4000 / / = a , ולכן: 4000 המכנה המשותף הוא 8 ∙ 1 = a a = ס"מ 8 ס"מ. 8 תשובה: גובה הבניין בסרטוט הוא הערות: • .(a > 1) 1:a בהקטנה יש לרשום את קנה המידה על-ידי יחס, שצורתו .a הוקטנו פי משמעותו היא שהממדים המציאותיים • יש להשתמש באותה יחידת מידה לשני המספרים המופיעים באותו קנה המידה (בסרטוט ובמציאות). • קוראים את קנה המידה (כמו יחס) משמאל לימין. . 59 בטבלה שלפניכם רשומים גובהו של פריט מסוים במציאות, גובהו בתמונה וקנה המידה. העתיקו למחברתכם והשלימו את הטבלה הבאה. מ') 1000 = ק"מ 1 ס"מ, 100 = ' מ 1 (הדרכה: הגובה במציאות הגובה בתמונה קנה המידה א ס"מ 8 1:10 ב ס"מ 30 1:6 ג מ' 6 1:25 ד ס"מ 21 1:3 מידה בסרטוט מידה במציאות

48 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה שנייה דמיון משולשים . נעסוק בתכונות של בדמיון משולשים תוך התמקדות דמיון צורותמטרת היחידה היא להציג את הנושא המשולשים הדומים, בקשר בין היקפיהם ובקשר בין שטחיהם. נושא זה נלמד בחטיבת הביניים. ביחידה זו נחזור עליו בהקשר אורייני ונעמיק בו. ביחידה זו ייעשה שימוש בנושאים הבאים: • יחס ופרופורציה. • משפט פיתגורס. • זוויות: זוויות קדקודיות, זוויות צמודות, זוויות הנוצרות בין ישרים מקבילים (מתאימות, מתחלפות, נספח ג'.חד צדדיות) – ראו • נספח ג'. – ראו 180° סכום זוויות במשולש • נספח א'.תכונות משולשים מיוחדים: משולש ישר-זווית, משולש שווה-שוקיים, משולש שווה-צלעות – ראו • תכונות מרובעים: מקביליות (כולל מקביליות מיוחדות), דלתון, טרפז (כולל טרפזים מיוחדים) – נספח א'.ראו • נספח ב'.המרת יחידות – ראו • פתרון משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה. רקע היסטורי לפנה"ס). הוא נחשב לאחד משבעת חכמי יוון 6 איש מילֵטוס היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני (המאה ה-תָאלֵס ולעיקרי שבהם. תאלס עסק באסטרונומיה (מדע החוקר את גרמי השמיים), בגיאומטריה ובקוסמולוגיה (מדע החוקר את ההיווצרות וההתפתחות של היקום). בנעוריו ביקר תאלס במצרים, ושם למד גיאומטריה המבוססת על מדידה. תאלס ניסח את החוקים המצריים למשפטים גיאומטריים כלליים. הוא גילה כי ניתן למדוד את גובה הפירמידות בעזרת הצללים שהטילו. תאלס פיתח משפט גיאומטרי, העוסק בדמיון משולשים, ונקרא ״משפט תאלס״. בנוסף, הוא הוכיח שזוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות זו לזו.

49 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © משימת פתיחה אוהד התחיל לבנות דגם של סירת המפרש שבצילום. 1 3 5 6 2 4 הוא גזר שישה משולשים מבד כתום. להערכתכם, איזה משולש יכול להתאים כמפרש לדגם, כך שיהיה דומה ככל שניתן למפרש הסירה שבצילום? .101 התשובה למשימת הפתיחה - בעמ׳

50 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © צורות דומות בפרק זה יוצגו מצבים מחיי היום יום, שבהם נתונות צורות דומות. נעסוק בהבנה אינטואיטיבית ובמשמעות של דמיון של שתי צורות גיאומטריות, כולל מציאת גורם ההגדלה/ההקטנה. .101 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' הסבר ודוגמה פתורה נגדיר: – צורות, שבהן צורה אחת היא הגדלה או הקטנה של הצורה השנייה באופן פרופורציוני.צורות דומות לדוגמה צורת המקש הריבועי שבמקלדת גדֵלה כאשר מתבוננים בה מבעד לזכוכית מגדלת. לכן צורת המקש הריבועי במציאות דומה לצורת המקש הריבועי המוגדלת. צורות דומות מתקבלות, למשל, בהגדלה/הקטנה של תמונה, צילום תמונה במצלמה, סרטוט אדריכלי, התבוננות דרך זכוכית מגדלת ועוד. בין אורכי יחס קבוע לזוויות במצולע האחר, וקיים שוות בהתאמה - הזוויות במצולע האחד במצולעים דומים כל זוג של צלעות מתאימות בשני המצולעים. לדוגמה חלת דבש בנויה מתָאים שצורתם משושה. אם נצלם בהגדלה את אחד המשושים, נקבל משושה דומה למשושה המקורי. • לכל זווית במשושה המוגדל שבתמונה יש זווית מתאימה, ששווה לה במשושה המקורי. • קיים יחס קבוע בין אורכי כל זוג של צלעות מתאימות במשושה המוגדל שבתמונה ובמשושה המקורי.

51 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה ס"מ, צולמה לשלט חוצות. 18 × ס"מ 30 מעטפה מלבנית, שממדיה ס"מ. 90 × ס"מ 150 ממדיה בצילום המוגדל הם: הסבירו מדוע המעטפות המלבניות דומות ורשמו את גורם ההגדלה. פתרון: לפי ההגדרה של מצולעים דומים צריכים להתקיים שני תנאים: ( 1) הזוויות שוות בהתאמה. ( 2) קיים יחס קבוע בין אורכי כל זוג של צלעות מתאימות. • במלבנים כל הזוויות ישרות, כלומר הזוויות בשני המלבנים שוות בהתאמה. • המעטפה המלבנית שבשלט החוצות היא הגדלה של המעטפה שבמציאות. ✔ ס"מ, ואורך הצלע הקצרה של 90 אורך הצלע הקצרה של המעטפה המלבנית בשלט החוצות הוא .90 : 18 = 5 ס"מ. היחס בין אורכי הצלעות הוא: 18 המעטפה המלבנית במציאות הוא ✔ ס"מ, ואורך הצלע הארוכה של 150 אורך הצלע הארוכה של המעטפה המלבנית בשלט החוצות הוא .150 : 30 = 5 ס"מ. היחס בין אורכי הצלעות הוא: 30 המעטפה המלבנית במציאות הוא תשובה: הזוויות שוות בהתאמה וקיים יחס קבוע בין אורכי הצלעות המתאימות. לכן המלבנים דומים וגורם .5 ההגדלה הוא הערות: • בין הצלעות המתאימות.פרופורציהכאשר הצורות דומות, נאמר שקיימת • היחס בין אורך הצלע בצורה לאחר ההגדלה/הקטנה לבין אורך הצלע המתאימה בצורה המקורית נקרא .גורם ההגדלה/ההקטנה ✔ .גורם ההגדלה, אזי הוא נקרא 1 אם היחס גדול מ- ✔ .גורם ההקטנה, אזי הוא נקרא 1 ל- 0 אם היחס הוא בין • יש לדאוג ליחידות אחידות, כלומר להמיר לאותן יחידות מידה. ס״מ 30 ס״מ 18 ס״מ 150 ס״מ 90

54 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © משולשים דומים בפרק זה נתמקד בקביעה אם משולשים הם דומים לפי ההגדרה ולפי משפט דמיון משולשים. נושא זה נלמד בחטיבת הביניים, ובפרק זה נחזור עליו ונקשר למצבים מחיי היום יום. ובהמרת יחידות אורך שבנספח ג', בתכונות הזוויות שבנספח א'בשאלות ייעשה שימוש בתכונות המשולשים .שבנספח ב' מה נלמד? ✔ הגדרת משולשים דומים. ✔ משפט דמיון משולשים. .105-101 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א הגדרת משולשים דומים בסעיף זה יוצגו שני משולשים, ויהיה צורך לקבוע אם הם דומים. הקביעה תיעשה כאשר נתונות כל הצלעות וכל הזוויות של שני המשולשים. בחלק מהמקרים תידרש המרת יחידות. הסבר ודוגמה פתורה נגדיר: - שני משולשים, שבהם לכל זווית במשולש האחד יש זווית השווה לה במשולש האחר, וקיים יחס משולשים דומים קבוע בין אורכי שלושת זוגות הצלעות המתאימות (הצלעות המתאימות נמצאות מול הזוויות השוות). הגדרה מקוצרת: - שני משולשים, ששלוש זוויותיהם שוות בהתאמה, וקיים יחס קבוע בין אורכי הצלעות משולשים דומים המתאימות. • ". רושמים את שמות המשולשים הדומים לפי סדר ~ לצורך סימון משולשים דומים משתמשים בסימן " הדמיון, כלומר תוך הקפדה על סדר האותיות של קדקודי הזוויות השוות. למשל: .∢A = ∢D , ∢B = ∢E , ∢C = ∢K נתונים שני משולשים דומים שבהם: D K E ⇒ A C B

55 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ✔ יש להקפיד על התאמת הקדקודים. ניעזר בשוויון הזוויות: דמיון המשולשיםברישום ∆ABC ~ ∆DEK ✔ ניעזר בהתאמת הקדקודים: היחס בין הצלעות המתאימותברישום ∆ABC ~ ∆DEK ∆ABC ∆DEK AB DE BC EK AC DK = = ✔ .יחס הדמיוןהיחס הקבוע בין אורכי הצלעות המתאימות נקרא (עד כה הוא נקרא ״גורם ההגדלה/ההקטנה״.) באתרנו יש יישומון, שבו מוצגים שני משולשים דומים, ומתחתם מוצג היחס בין הצלעות המתאימות. ( 1) גררו את אחד הקדקודים שבמשולש השמאלי, ותוכלו לראות כיצד שינוי אורכי הצלעות אינו משנה את היחס בין אורכי הצלעות המתאימות במשולשים הדומים. ( 2) שנו את יחס הדמיון על ידי הזזת נקודת ״היחס״. שינוי זה משנה את גודל המשולש הימני, ובהתאם היחס בין הצלעות המתאימות משתנה. דוגמה פתורה – שימוש בסכום זוויות במשולש לפניכם שני משולשים, שבהם הנתונים מופיעים בסרטוט (אורכי הצלעות נתונים בס"מ). . א .∆ABC במשולש ∢C מצאו את גודל . ב הסבירו מדוע המשולשים דומים. . ג רשמו את: ( 1) דמיון המשולשים תוך הקפדה על התאמת הקדקודים. ( 2) היחס בין הצלעות המתאימות. ( 3) יחס הדמיון. פתרון: . א לכן:.180° סכום הזוויות במשולש הוא ∢A + ∢B + ∢C = 180° 30° + 90° + ∢C = 180° ⇒ 120° + ∢C = 180° ⇒ ∢C = 60° .60° בת ∢C תשובה: הזווית A B 5 C 8.66 10 30° P T L 15 25.98 30 30° 60°

56 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ב אם שלוש זוויותיהם שוות בהתאמה, וקיים יחס קבוע בין אורכי שני משולשים הם דומים,לפי ההגדרה הצלעות המתאימות. • .)90° ,60° ,30° נבדוק תחילה את שוויון הזוויות. שלוש הזוויות שוות בהתאמה ( • נבדוק אם מתקיים יחס קבוע בין אורכי הצלעות: .)∆ABC מאורך היתר במשולש הקטן ( 3 ) גדול פי ∆PLT אורך היתר במשולש הגדול ( ובין אורכי הניצבים הארוכים (5 ∙ 3 = 15) יחס זה קיים גם בין אורכי הניצבים הקצרים .(8.66 ∙ 3 = 25.98) תשובה: שני המשולשים דומים, כי שלוש זוויותיהם שוות בהתאמה, וקיים יחס קבוע בין אורכי הצלעות .)3:1 או 1:3 המתאימות ( . ג דמיון המשולשים (1) ∆ABC ~ ∆PLT תוך הקפדה על התאמת הקדקודים. ( 2) ∆ABC ∆PLT AB PL BC LT AC PT = = היחס בין הצלעות המתאימות. ( 3) 866 2598 5 15 10 30 1 3 . . = = → יחס הדמיון. לבין ∆PLT , ויחס הדמיון בין המשולש 1:3 הוא ∆PLT לבין המשולש ∆ABC הערה: יחס הדמיון בין המשולש .3:1 הוא ∆ABC המשולש הערות: • כפי שלמדנו בפרק יחס, את יחס הדמיון ניתן להציג בקו שבר או בסימן חילוק. • כדי למצוא את יחס הדמיון במשולשים דומים, די באורכן של זוג צלעות מתאימות. • .1 יחס הדמיון בין משולש "גדול" למשולש "קטן" הוא גדול מ- • .1 ל- 0 יחס הדמיון בין משולש "קטן" למשולש "גדול" הוא בין

63 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 22 צדדיו 2 במשטח עץ ריק, המיועד להובלת סחורה, יש משני משולשים ישרי-זווית שנבנו לצורך חיזוקו. BC מקביל ל- ED מוט החיזוק (אורכי הצלעות נתונים בס״מ). . א .∢C = ∢EDA ו- ∢B = ∢DEA הסבירו מדוע: . ב מצאו את אורכי הצלעות החסרים. . ג קבעו אם המשולשים שבסרטוט דומים. נמקו. אם המשולשים דומים, רשמו את דמיון המשולשים, את היחס בין הצלעות המתאימות ואת יחס הדמיון. . 23 לפניכם תמונה של קרש גיהוץ, שרגליו יוצרות שני משולשים. קרש הגיהוץ מקביל לרצפה. . א הסבירו מדוע שלוש הזוויות של המשולשים שוות בהתאמה. נתון: שני המשולשים הם שווי-צלעות. . ב הסבירו מדוע שני המשולשים דומים. תזכורת - משולשים חופפים • , אם ניתן להניח משולש אחד על האחר באופן שיכסה אותו בדיוק.חופפיםשני משולשים נקראים • במשולשים חופפים שוות בהתאמה (אחת לאחת) שלוש הצלעות ושלוש הזוויות. • .∆ABC ≅ ∆KEM ורושמים באופן הבא: ≅ לצורך הרישום של חפיפה משתמשים בסימן . 24 המוטות התומכים ברגלי הכיסא שלפניכם יוצרים שני ,(MD = CD , AB = MB) משולשים שווי-שוקיים כמתואר בצילום ובסרטוט. . א הסבירו מדוע שלוש זוויות המשולשים שוות בהתאמה. נתון: שני המשולשים הם חופפים. . ב הסבירו מדוע המשולשים דומים. B E A D C 85 80 150 75 E B A D C B C A E M K B A M D C 70° 70°

69 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 36 לפניכם צילום של עששית, ובה דוגמה של משולשים. .ED ∥ BA נתון: . א .∆ABC ~ ∆EDC הוכיחו: . ב רשמו את היחס בין הצלעות המתאימות. .BA = 2 ∙ ED נתון: . ג מהו יחס הדמיון? . 37 לפניכם צילום של משולש שנועד לתמיכה בגג רעפים. הוא ישר-זווית ∆ABC המשולש .AC ⊥ BD , (∢ABC = 90°) . א .∆ABC ~ ∆ADB הוכיחו: . ב רשמו את היחס בין הצלעות המתאימות, ואת יחס הדמיון. . 38 בצילום שלפניכם יוצרות קורות הגג את המבנה .DE || BC המופיע בסרטוט. נתון: . א .∆ABC ~ ∆ADE הוכיחו: . ב רשמו את היחס בין הצלעות המתאימות ואת יחס הדמיון. . 39 מעקה מעוצב כך שנוצרים בו משולשים ישרי-זווית, כמתואר בסרטוט. .DE || BC , ∢B = ∢C נתון: . א מצאו את גודלן של כל זוויות המשולשים. נמקו. . ב .∆ABC ~ ∆ADE הוכיחו: .EC = ס"מ 15 ,AC = ס"מ 60 נתון: . ג .AE מצאו את אורך הצלע . ד רשמו את היחס בין הצלעות המתאימות ואת יחס הדמיון. A B C E D B A C D ס״מ 168 ס״מ 210 E A C B D מ׳ 4 מ׳ 4 E A B C D

83 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 60 מ', מותקנת תאורת אזהרה למטוסים. 60 לפי התקן על כל גג בניין, שגובהו מעל ,AB , שעל גגו מותקן עמוד CE בסרטוט שלפניכם מופיע בניין שגובהו (הסרטוט לא מדויק). B ובקצהו הותקנה תאורת אזהרה .AC || ED נתון: . א .∆BAC דומה למשולש ∆CED הסבירו מדוע משולש מ', 1.5 ) הוא AC מרחקו של העמוד מקצה הבניין ( מ'. 52.5 ) הוא ED מבסיס הבניין ( D ומרחקה של הנקודה מ'. 90 הוא BD אורך הקטע . ב , ומצאו את ערכו. BC מ' את אורך הקטע x סמנו ב- . ג מצאו את גובה העמוד. . 61 לביא צילם את השתקפותו של מגדל אייפל במים. מ', 324 ) הוא TB הגובה של מגדל אייפל ( ס"מ (הסרטוט לא מדויק). 180 ) הוא MC והגובה של לביא ( C A T M לביא מים B . א .∆TAB דומה למשולש ∆MAC הסבירו מדוע משולש )∢MAC = ∢TAB (שימו לב! שבסרטוט). BC מ' ממגדל אייפל (קטע 724 בזמן הצילום היה לביא במרחק של . ב ) בזמן הצילום. A מ' את מרחקו של לביא מנקודת ההשתקפות ( x סמנו ב- .x מצאו את ס"מ) 100 = מ' 1 (הדרכה: . ג ?A (קצה המגדל) לבין נקודת ההשתקפות T ) בין נקודה TA מהו המרחק ( A C B D E עמוד

99 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 90 בסרטוט שלפניכם מתוארת סירה, ובה שני מפרשים בצורת משולשים .(∢B = ∢E = 90°) ישרי-זווית .∢G = ∢C נתון: A B C D E G . א ) הם משולשים דומים. ∆DEG ) והמפרש הקטן ( ∆ABC הוכיחו שהמפרש הגדול ( .4:3 הוא ∆DEG ובין המשולש ∆ABC יחס הדמיון בין המשולש מטרים. 16 הוא BC נתון: אורך הצלע . ב .EG מצאו את אורך הצלע מטרים. 15 הוא DG נתון: אורך הצלע . ג .DE מצאו את אורך הצלע . ד מצאו את השטח הכולל של שני המפרשים. שקלים. 420 מחיר מטר רבוע (מ"ר) של בד למפרש הוא יצרן של סירות מפרש רכש בד בגודל, המתאים למפרשים של סירה אחת מן הסוג המתואר בשאלה. מן המחיר המקורי. 30% הוא קיבל הנחה של . ה מצאו כמה שילם יצרן הסירות עבור הבד שרכש.

www.mathstar.co.il

Made with FlippingBook

RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=