אשכול פיננסי כלכלי יח״ל 3 רמת 4609 מספר אישור: 26.3.25 אושר בתאריך:
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2025 © 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-71 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-89-5 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול פיננסי כלכלי 4609 מספר אישור: 26.3.25 אושר בתאריך: יח״ל 3 רמת
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה הספר "מתמטיקה לכיתה י״א – חלק ג' – אשכול פיננסי כלכלי" מתאים לתכנית הלימודים החדשה ברמת יח"ל. 3 ספר זה הוא השלישי מתוך שלושה ספרים, ועוסק בתכנים מתמטיים בהקשרים של תופעות מתחום הפיננסי כלכלי. העקרונות, שלפיהם נכתב הספר, הם: בסיס אורייני - מתמטי ורלוונטיות לחיי היום יום; הבנה ועיבוד של מידע; תובנה מספרית, מילולית, גרפית וגיאומטרית ועוד. מה מיוחד בספר? • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • בסוף הספר יש שלושה נספחים בנושאים שנלמדו בחטיבת הביניים ובכיתה י׳, והנדרשים לצורך לימוד יחידות לימוד. 3 הנושאים בספר זה. בנוסף מצורף נוסחאון מתמטיקה - מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו ורתם פרוידנברג, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. , יש להוריד לטלפון אפליקציה לקריאת הקוד. סריקת הקוד מקשרת QR שאלה, שבה מופיע קוד ליישומון, סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע, הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול. יחידות 3 שאלה אוריינית, שמבוססת על שאלה המופיעה בקובץ שאלות ומשימות אורייניות לתלמידי לימוד שבאתר משרד החינוך.
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1.................................................................................................. אשכול פיננסי כלכלי – פתיח 2......................................................................... יחידה ראשונה – גדילה ודעיכה מעריכיות 3............................................................................................. זיהוי תהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה . א 4 ���������������������������������������������������������������������������������������� המידע מוצג באמצעות תיאור מילולי . ב 6 ��������������������������������������������������������������������������������������� המידע מוצג באמצעות תיאור ויזואלי תהליכים מעריכיים – ללא שימוש בנוסחה . א 11 ���������������������������������������������������������������������������������������� זיהוי הערכים בתהליכים מעריכיים . ב 14 ���������������������������������������������������������������������������� מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן . ג 19 ������������������������������������������� מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן עוקבות תהליכים מעריכיים – באמצעות נוסחה . א 24 ���������������������������������������������������������������������������� מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן . ב 30 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת הכמות ההתחלתית . ג 35 ���������������������) מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן (שאינן בהכרח עוקבות . ד 42 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת מספר יחידות הזמן תהליכים מעריכיים – תיאורים ויזואליים . א 46 ���������������������������������������������������������������������������������������� זיהוי הערכים בתיאורים ויזואליים . ב 50 ������������������������������������������������������� מציאת הכמויות, מקדם גדילה/דעיכה ומספר יחידות הזמן השוואה בין תהליכים . א 57 ��������������������������������������������������������������������������������������������� השוואה בין תהליכים מעריכיים . ב 66 ���������������������������������������������������������������������������� השוואה בין תהליך מעריכי לתהליך ליניארי 72. ........................................................................................................................ תרגול משולב ומסכם 76. .......................................................................................................................................... תשובות
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 82...... שימוש בכלים סטטיסטיים לעיבוד מידערבעונים, עשירונים וסטיית תקן - יחידה שנייה - המשמעות של מדדי המיקום היחסי . א 83 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ רבעונים . ב 90 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� עשירונים חישוב מדדי המיקום היחסי . א 95 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� חישוב רבעונים . ב 99 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� חישוב עשירונים . ג 102 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� תרגול משולב 107............................................................................................ המשמעות של מדד הפיזור - סטיית התקן חישוב סטיית התקן . א 112 ��������������������������������������������������������� שימוש בנוסחה לחישוב סטיית התקן וחישובה במחשבון . ב 123 ��������������������������������������������������� חישוב סטיית התקן - מציאת נעלמים בשאלות סטטיסטיקה . ג 129 ������������������������������������������������������������� לחישוב סטיית התקן - הרחבה Excel שימוש בתוכנת 136.............................................................................) סטיית התקן – שינוי בערכי המשתנה (אחד או יותר 144..................................................................................) תוספת או הורדה של ערך משתנה (אחד או יותר 150.......................................................................................................................................... תשובות 159.......................................................................................................................... מבחני מתכונת 256.......................................................................................................................................... תשובות 267................................................................................................ מיון השאלות במתכונות לפי הנושאים 268...................................................................................................... שאלות אורייניות נוספות 283.......................................................................................................................................... תשובות נספחים 285............................................................................................................................ נספח א׳ - אחוזים 288........................................................................................ ) נספח ב׳ - מדדי מרכז (ממוצע, חציון ושכיח 293.......................................... נספח ג׳ - ההגדרות, התכונות, ההיקפים והשטחים של הצורות הגיאומטריות 301................................................................................................. יחידות לימוד 3 – נוסחאון מתמטיקה
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה גדילה ודעיכה מעריכיות שנלמד ביחידה הראשונה של אשכול מדעים וחברה.גדילה ודעיכה מעריכיותיחידה זו היא המשך הנושא מטרת היחידה היא לחזק את הבנת התהליכים המעריכיים עם הקשרים פיננסיים וכלכליים, ולתאר אותם באופן מילולי, גרפי, אלגברי ובטבלה. .נספח א'ביחידה זו ייעשה שימוש בנושא אחוזים, שנלמד בחטיבת הביניים ובכיתה י' – ראו ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושאים הבאים: • פתרון משוואות ממעלה ראשונה. • פתרון משוואות מעריכיות. • שינוי נושא נוסחה. • המרת יחידות. הידעתם? היא סכום הכסף הנוסף, המשולם על ידי לֹווֶה למַלְווה תמורת הזכות להשתמש בסכום כסף מסוים למשך ריבית תקופה מסוימת. הלֹווֶה משלם למַלְווה את הריבית בנוסף להחזר הסכום המקורי. (ריבית מצטברת) היא ריבית המחושבת לא רק על הסכום המקורי, אלא גם על הריבית שהצטברה ריבית דְריבית בתקופה הקודמת. מידע נוסף בנושאים פיננסים - באתר משרד האוצר "האוצר שלי": משימת פתיחה שקלים ולהחזירה בתום שנתיים. 10,000 יאיר מעוניין לקחת הלוואה של ליאיר הציעו שתי אפשרויות: על ההלוואה. 10% בתום תקופה של שנתיים ישלם יאיר ריבית של אפשרות א': 5% בתום תקופה של שנתיים ישלם יאיר ריבית שנתית של אפשרות ב': על ההלוואה. מהו, לדעתכם, ההבדל בין שתי האפשרויות? איזו הלוואה כדאי ליאיר לקחת? .76 התשובה למשימת הפתיחה - בעמ׳
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © זיהוי תהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה בפרק זה נלמד לזהות תהליך מעריכי/ליניארי לפי ההגדרה שנלמדה באשכול מדעים וחברה. המידע בפרק מוצג הגדרה – תזכורת • מספר קבוע של ב מספר קבוע" או "פיתהליך מעריכי הוא תהליך, שבו הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת " ."אחוזים • .יחידותמספר קבוע של בתהליך ליניארי (קווי) הוא תהליך, שבו הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת באמצעות תיאור מילולי או ויזואלי, ומתאר מצבים בחיי היום יום בהקשר פיננסי כלכלי. כדי להמחיש את ההבדל בין תהליך מעריכי לתהליך ליניארי נתבונן בדוגמה הבאה. שקלים כל אחת. 5000 שתי יצירות אומנות של אומן מתחיל נמכרו בשנה מסוימת ב- עם השנים גדלה ההכרה בכשרון האומן בקרב מבקרי אומנות ואספנים, ולכן עלה המחיר של שתי יצירותיו. שקלים. 2000 הערך של היצירה הראשונה גדֵל בכל שנה ב- .1.3 הערך של היצירה השנייה גדֵל בכל שנה פי השנים הראשונות כמעט לא היה הבדל בין מחירי שתי היצירות. 3 באך שימו לב למה שקרה בשנים הבאות! הערך של היצירה הראשונה המשיך לגדול בקצב קבוע. לעומת זאת הערך של היצירה השנייה גדֵל משנה לשנה בקצב מהיר יותר. ✔ הערך של היצירה השנייה היה גדול מהערך של שנים - 5 לאחר היצירה הראשונה, שהרי: (5000 + 2000 + 2000 + 2000 + 2000 + 2000) שקלים 15000 היצירה הראשונה: (5000 ∙ 1.3 ∙ 1.3 ∙ 1.3 ∙ 1.3 ∙ 1.3) שקלים 18565 היצירה השנייה: כ- ההפרש בין הערכים של שתי היצירות ילך ויגדל ככל שיעברו השנים. • ) בכל שנה, ולכן לפי ההגדרה מדובר 2000 מספר קבוע של שקלים (ב- בהערך של היצירה הראשונה גדֵל .בתהליך ליניארי (קווי) • ) בכל שנה, ולכן לפי 30% קבוע שהוא באחוז גדֵל = 1.3 מספר קבוע (פי פיהערך של היצירה השנייה גדֵל .בתהליך מעריכיההגדרה מדובר מה נלמד? ✔ זיהוי תהליכים מעריכיים, שבהם המידע מוצג באמצעות תיאור מילולי. ✔ זיהוי תהליכים מעריכיים, שבהם המידע מוצג באמצעות תיאור ויזואלי. .76 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' 15000 5000 25000 0 1 3 4 6 7 8 5 2 20000 30000 35000 40000 10000 השנה יצירה שנייה יצירה ראשונה מחיר היצירה (בשקלים)
11 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תהליכים מעריכיים - ללא שימוש בנוסחה בפרק זה נתמקד בחישוב כמויות בתהליכים מעריכיים ללא שימוש בנוסחה. נדרש זיהוי הנתונים וזיהוי מה שמבוקש – תוך שיוכם למושגים מתאימים. כמו כן נדרש חישוב מקדם הגדילה/דעיכה על סמך נתונים נוספים וזיהוי יחידת הזמן. מספר יחידות הזמן בפרק זה הוא קטן, וכך ניתן לבצע את החישובים ללא שימוש בנוסחה. ומתאר תהליכים מעריכיים בחיי היום יום בהקשר פיננסי כלכלי.תיאור מילוליהמידע בפרק זה מוצג באמצעות מה נלמד? ✔ זיהוי הערכים בתהליכים מעריכיים. ✔ מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. ✔ מציאת מקדם הגדילה/הדעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן עוקבות. .77-76 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א זיהוי הערכים בתהליכים מעריכיים בסעיף זה נציג דוגמאות, שבהן יינתן תיאור מילולי של תהליך גדילה/דעיכה, ומתוכו נלמד לזהות מה מייצגים: הכמות ההתחלתית, מקדם גדילה/דעיכה, יחידת הזמן, הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. הסבר ודוגמאות פתורות הגדרה-תזכורת בתהליך מעריכי הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת "פי מספר קבוע" או "במספר קבוע של אחוזים". .q ומסמנים אותו ב- מקדם הגדילה / דעיכהלמספר קבוע זה קוראים לדוגמה: ✔ .q = 2 בכל שנה. מקדם הגדילה הוא 2 מחיר מניה גדֵל פי ✔ 90% בכל חודש, כלומר ההוצאה על דלק מהווה 10% ההוצאה המשפחתית על דלק קטֵנה ב- מההוצאה על דלק בחודש הקודם. מכיוון שההוצאה על דלק קטֵנה, מדובר בתהליך (100% − 10%) .(90% = 0.9) q = 0.9 דעיכה, ומקדם הדעיכה הוא :(q) למקדם הגדילה/דעיכה (p) ניתן להשתמש בנוסחה הבאה, המראה את הקשר בין אחוז הגדילה/דעיכה q p = ± 100 100 , ומדובר בתהליך דעיכה, ולכן: p = 10 " עבור דעיכה. במקרה זה − " עבור גדילה, והסימן " + הסימן " q p = = = − − 100 100 100 10 100 0.9
12 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © בתהליך המעריכי משתתפים ארבעה ערכים: • הכמות ההתחלתית. • הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. • מקדם הגדילה/דעיכה. • הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. נזהה את ארבעת הערכים בדוגמאות הבאות. דוגמה א' – תהליך דעיכה מעריכית בצורה מעריכית, קטֵןעקב בלאי ותחזוקה לקויה מחיר אופנוע בכל שנה. 0.8 והוא מוכפל ב- שקלים. 15,000 בקנייתו מחיר האופנוע היה שקלים. 6,144 שנים הגיע מחירו ל- 4 לאחר זַהּו את הערכים הבאים: . א הכמות ההתחלתית. . ב הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. . ג מקדם הגדילה/דעיכה. . ד הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. פתרון: . א שקלים. 15,000 היא הכמות ההתחלתית . ב שקלים. 6,144 שנים הגיע מחירו של האופנוע ל- 4 . נתון שלאחר שנה המוצגת בשאלה היא יחידת הזמן .יחידות זמן 4 שנים שהן 4 כלומר מדובר כאן על . ג בכל שנה. 0.8 בדוגמה זו נתון שמחיר האופנוע קטֵן בצורה מעריכית, והוא מוכפל ב- מקדם הגדילה/דעיכה – המילה "קטֵן" מצביעה על דעיכה, ולא על גדילה. מקדם הדעיכה הוא הערך, שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת .)1 ל- 0 בין 0.8( 0.8 מקדם הדעיכה הוא זמן. בדוגמה זו . ד הכמות שנתונה או מבוקשת לאחר/לפני זמן מסוים מתחילת התהליך.הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן – . שקלים 6,144 היא הכמות המבוקשתבדוגמה זו דוגמה ב' – תהליך גדילה מעריכית בכל חצי שנה. 10% משכורתה החודשית ב-גדֵלהבעקבות ההתקדמות בהכשרתה של תמר בעבודה שקלים. 8,000 כיום משכורתה החודשית היא שקלים. 10,648 בעוד שנה וחצי תהיה משכורתה זַהּו את הערכים הבאים (בסעיף ג׳ יש לחשב ולרשום את מקדם הגדילה/דעיכה): . א הכמות ההתחלתית. . ב הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. . ג מקדם הגדילה/דעיכה. . ד הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן.
13 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון: . א שקלים. 8,000 היא הכמות ההתחלתית . ב בכל חצי שנה. כלומר יחידת הזמן היא חצי שנה. 10% נתון: משכורתה החודשית של תמר גדֵלה ב- שקלים. 10,648 כעת נזהה את מספר יחידות הזמן. בהמשך השאלה נתון: בעוד שנה וחצי תהיה משכורתה כלומר: עלינו למצוא כמה פעמים מופיעה יחידת הזמן חצי שנה בתקופה של שנה וחצי. יחידות זמן של חצי שנה. 3 בשנה אחת יש שני חצאי שנה, לכן בתקופה של שנה וחצי יש . יחידות זמן 3 , ויש חצי שנה היא יחידת הזמןתשובה: . ג בכל חצי שנה. המילה "גדֵלה" מצביעה על גדילה 10% בשאלה נתון שמשכורתה של תמר גדֵלה ב- q= = = + 100 10 100 110 100 1.1 , ונקבל: q p = + 100 100 , נשתמש בנוסחה p = 10 ולא על דעיכה. .)1 גדול מ- 1.1( 1.1 מקדם הגדילה הוא תשובה: . ד . שקלים 10,648 היא הכמות המבוקשת בדוגמה זו הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן – הערות: • יחידת הזמן היא לא תמיד יחידה שלמה, כמו שעה, יום, שבוע, חודש וכו'. יחידת הזמן נקבעת על-פי נתוני התרגיל בהתאמה למקדם הגדילה / דעיכה. למשל: חודשים. 3 כל 20% בכל חצי שעה או קטֵן ב- 1.3 גדֵל פי • ) בעזרת הנוסחה הבאה: q ), נחשב את מקדם הגדילה / דעיכה ( p אם נתון האחוז, שבו הכמות גדֵלה או קטֵנה ( " עבור דעיכה. − " עבור גדילה, והסימן " + . הסימן " q p = ± 100 100 • .1 ל- 0 , ומקדם הדעיכה הוא מספר בין 1 בתהליך מעריכי מקדם הגדילה הוא מספר הגדול מ- יש לחשב ולרשום את מקדם 26−22 בכל אחד מהתיאורים המילוליים הבאים זַהּו את הערכים הבאים (בשאלות הגדילה/דעיכה): . א הכמות ההתחלתית. . ב הזמן - יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. . ג מקדם הגדילה/דעיכה. . ד הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. 20 . בעקבות סיקור תקשורתי נרחב של אומן בכל שנה. 1.15 הערך של יצירת האומנות שלו פי גד ֵל שקלים. 100,000 בשנה מסוימת היה מחירה שקלים. 248,832 שנים היה מחירה 5 לאחר 21 . משפחה החליטה לצמצם בהדרגה את הסכום החודשי שהוקצב לביגוד כדי להקטין את הוצאותיה. בכל חודש. 0.91 , והוא מוכפל ב- קטֵןלכן הסכום החודשי שהוקצב לביגוד שקלים. 2000 בחודש מסוים הוציאה המשפחה על ביגוד שקלים. 1371.5 חודשים הוציאה המשפחה על ביגוד 4 לאחר
21 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © .1 ל- 0 המשמעות של מקדם הדעיכה היא שהכפלה בו מקטינה את הכמות, כי ערכו בין .0.93 תשובה: מקדם הדעיכה הוא . ב .q = 0.93 נשאלנו בכמה אחוזים קטֵן תקציב המתנ״ס בכל שנתיים. מצאנו כי: :"− . מדובר בתהליך של דעיכה מעריכית,לכן נתייחס לסימן " p נציב אותו בנוסחה ונחשב את q p = ± 100 100 093 100 100 100 . / = ⋅ −p 93 = 100 − p /+p 93 + p = 100 /−93 ⇒ p = 7 בכל שנתיים. 7% תשובה: תקציב המתנ״ס קטֵן ב- . ג :2024 לאחר שחישבנו את מקדם הדעיכה, ניתן לחשב את גובה תקציב המתנ״ס בשנת 2018 2020 2022 2024 800,000 744,000 691,920 643,485.6 ∙ 0.93 ∙ 0.93 ∙ 0.93 שקלים. 643,485.6 תקציב המתנ״ס הגיע ל- 2024 בשנת שקלים. 650,000 תקציב המתנ״ס היה נמוך מ- 2024 תשובה: בשנת 37 . קטֵןבשל בלאי ומכונות חדישות שיצאו לשוק מחירה של מכונה תעשייתית בכל שנה באופן מעריכי. מחירה של מכונה תעשייתית, שנקנתה שקלים. 212,500 שקלים, ירד לאחר שנה ל- 250,000 ב- . א מהו מקדם הדעיכה של מחיר המכונה בכל שנה? . ב שנים לאחר קנייתה? 5 מה יהיה מחיר המכונה הידעתם? לפני שנים רבות, כשבעולם לא היו שטרות ומטבעות, התיכו מתכות ובָצְעו (חתכו) מהן חתיכות, ובאמצעותן ערכו סחר חליפין. חתיכות אלה נקראות ּבְצָעִים, ."רודף ּבֶצַע" ,"ּבֶצַע כסף וביחיד – ּבֶצַע. מכאן הביטויים: " במקום ארנק שמו את ה ּבְצָעים בתוך קרן של בעל חיים. ועוד.קרן להשכלה גבוהה ,קרן פנסיה ,קרן חיסכוןמכאן הביטויים: מי שלא היה חכם במיוחד שם את כספו בקרן של צבי, הפתוחה ". מי שהיה לו הרבה מאוד כסף היה צריך קרניים גדולות שם את כספו על קרן הצבימשני הצדדים. מכאן הביטוי: " ."הון תועפותשיאחסנו את כל הכסף בתוכן. לכן השתמש בקרניים של רְאֵם שנקראות תֹועָפֹות. מכאן הביטוי "
24 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תהליכים מעריכיים - באמצעות נוסחה בפרק זה נתמקד במציאת כמויות ומקדם הגדילה/דעיכה בתהליכים מעריכיים באמצעות שימוש בנוסחה. נזהה את הנתונים ואת מה שמבוקש – תוך שיוכם למושגים המתאימים. לצורך החישוב נעשה שימוש בטכניקה , ומתאר תהליכים מעריכיים בחיי יום יום תיאור מילולישל שינוי נושא הנוסחה. המידע בפרק זה מוצג באמצעות בהקשר פיננסי וכלכלי . מה נלמד? ✔ מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. ✔ מציאת הכמות ההתחלתית. ✔ מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן שאינן בהכרח עוקבות. ✔ מציאת מספר יחידות הזמן. .79-77 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן בסעיף זה נציג תיאור מילולי של תהליך גדילה/דעיכה, שבו נתונים הכמות ההתחלתית ופי כמה או בכמה אחוזים גדֵלה/קטֵנה הכמות ביחידת זמן אחת. נחשב את הכמות אחרי/לפני מספר יחידות הזמן בעזרת הצבה בנוסחה, וכן נחשב בכמה אחוזים גדֵלה/קטֵנה הכמות על פני מספר יחידות הזמן. הסבר ודוגמה פתורה – מציאת הכמות אחרי מספר יחידות זמן הנוסחה לגדילה / דעיכה מעריכית At = A0 ∙ q t – מקדם הגדילה/דעיכה. q – הכמות ההתחלתית. A 0 – הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. A t – מספר יחידות הזמן. t בדוגמה הבאה נמחיש את השימוש בנוסחה, ונראה את המעבר מפתרון ללא שימוש בנוסחה לפתרון באמצעות שימוש בנוסחה. דוגמה יינות איכותיים משתבחים עם השנים - מה שמעלה את ערכם. .1.18 בכל שנה פי גדֵלמחירו של בקבוק יין איכותי שקלים. 900 במועד מסוים מחירו היה שנים? 3 מה יהיה מחירו לאחר
25 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון: דרך א' – ללא שימוש בנוסחה .1.18 שקלים, ומקדם הגדילה הוא 900 המחיר ההתחלתי הוא בפרק הקודם למדנו לפתור בלי להשתמש בנוסחה באופן הבא: 900 1062 1253.16 1478.73 לאחר שנה ∙1.18 לאחר שנתיים ∙1.18 לאחר שנים 3 ∙1.18 שקלים) 900 שנים כפלנו את המחיר ההתחלתי של הבקבוק ( 3 כדי להגיע למחיר בקבוק היין לאחר שלוש פעמים. נחשב על-ידי שימוש בחזקות, ונקבל: 1.18 במקדם הגדילה 900 ∙ 1.18 ∙ 1.18 ∙ 1.18 = 900 ∙ 1.183 = שקלים 1478.73 דרך ב' – שימוש בנוסחה חישובים כדי להגיע לתשובה המבוקשת. אילו התבקשנו לחשב את מחיר בקבוק היין לאחר 3 בדרך א' ביצענו שנים, היה החישוב בדרך א' מסורבל ולא נוח. לכן נציג את הפתרון באמצעות הנוסחה. 20 נזהה את הערכים הבאים: שקלים. 900 – במקרה זה הכמות ההתחלתית – A 0 .3 – יחידת הזמן היא שנה, ומספר יחידות הזמן הוא מספר יחידות הזמן – t .1.18 – מקדם הגדילה/הדעיכה – q ? – שנים t הכמות לאחר – A t נארגן את הנתונים בטבלה הבאה: t q A 0 At 3 1.18 900 ? At = A0 ∙ q t נציב את הנתונים בנוסחה, ונקבל: A3 = 900 ∙ 1.183 A3 = שקלים 1478.73 שקלים. 1478.73 שנים יהיה 3 תשובה: מחיר בקבוק היין לאחר בפתרון התרגילים הבאים היעזרו בטבלה הבאה: t q A 0 At 45 . מאיה פתחה חנות למכירת עבודות הקרמיקה שלה. בכל חודש. 1.1 פי גדלובעקבות קמפיין פרסומי ההכנסות שלה בחנות שקלים. 1,200 בחודש הראשון הכנסתה מהמכירות בחנות היתה חודשים? 4 מה היתה הכנסתה מהמכירות בחנות לאחר דרכים: ללא נוסחה ועם נוסחה.) 2 (מצאו ב-
46 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תהליכים מעריכיים - תיאורים ויזואליים בפרק זה נתמקד בתהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה, המוצגים באמצעות תיאורים ויזואליים, המתארים מצבים בחיי היום יום בהקשר פיננסי כלכלי . מה נלמד? ✔ זיהוי הערכים בתיאורים ויזואליים. ✔ מציאת הכמויות, מקדם גדילה/דעיכה ומספר יחידות הזמן. .79 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א זיהוי הערכים בתיאורים ויזואליים בסעיף זה נציג מידע לגבי תהליך גדילה/דעיכה באמצעות תיאור ויזואלי (גרף נקודות, גרף רציף ודיאגרמת עמודות). מתוכו נלמד לזהות מה מייצגים: הכמות ההתחלתית, מקדם גדילה/דעיכה, יחידת הזמן והכמות אחרי מספר יחידות זמן. הסבר ודוגמאות פתורות כפי שלמדנו, בתהליך המעריכי משתתפים ארבעה ערכים: • .)A 0 הכמות ההתחלתית ( • .)t הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן ( • .)q מקדם הגדילה/דעיכה ( • .)A t הכמות אחרי מספר יחידות זמן ( בדוגמאות הבאות נזהה את הערכים הללו מתוך התיאור הוויזואלי. דוגמה א' - גרף נקודות בגרף הנקודות שלפניכם מוצג תהליך מעריכי של השתנות המחיר של שעון יוקרתי מדגם מוגבל. בינואר בכל שנה. 1 העריכו את מחיר השעון ב- 2020 משנת אוספים את המידע לגבי מחיר השעון בכל שנה, רושמים מידע זה כזוגות סדורים, ומציגים אותם כנקודות במערכת הצירים. . א האם בגרף הנקודות מתואר תהליך גדילה או תהליך דעיכה? . ב מה מתארים כל אחד משני הצירים? התאריך המחיר (בשקלים) 62,208 25,000
47 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ג ?2020 בינואר 1 מהי הערכת המחיר ההתחלתית של השעון, שנערכה ב- . ד רשמו את הערכים החסרים בשנתות שעל הציר האופקי. (1) ( 2) , עד הערכת 1.1.2020 מהי יחידת הזמן? כמה יחידות זמן עברו מהערכת המחיר ההתחלתית, שנערכה ב- המחיר האחרונה שבגרף הנקודות? ( 3) יחידות זמן? 5 מהו מחיר השעון אחרי פתרון: . א , ולכן מדובר בתהליך של גדילה מעריכית.גרף עולהגרף הנקודות המוצג הוא . ב הציר האופקי מתאר את התאריכים, שבהם נערכו הערכות המחיר, והציר האנכי מתאר את המחירים. . ג הנקודה הראשונה של גרף הנקודות נמצאת על הציר האנכי, ולפיה הערכת המחיר ההתחלתית של השעון היתה .A 0 = 25,000 שקלים, כלומר 25,000 . ד התאריך 1.1.2020 1.1.2021 1.1.2022 1.1.2023 1.1.2024 1.1.2025 (1) ( 2) , לבין הערכת המחיר 1.1.2020 יחידת הזמן היא שנה אחת. בין הערכת המחיר ההתחלתית, שנערכה ב- .t = 5 "קפיצות"), כלומר 5 שנים ( 5 האחרונה המוצגת בגרף הנקודות עוברות ( 3) שקלים, כלומר 62,208 יחידות זמן, והוא 5 הנקודה הימנית ביותר מציגה את הערכת המחיר אחרי .A t = A5 = 62,208 דוגמה ב' – גרף רציף צעצוע מבוקש איבד מהפופולריות שלו עקב כניסת צעצוע חודשים חל שינוי מעריכי במחירו. 8 מתחרה לשוק. לכן במהלך בגרף הרציף שלפניכם מתואר מחיר הצעצוע ממועד מסוים, החודשים. 8 שבו נכנס הצעצוע המתחרה לשוק, במהלך . א האם מוצג בגרף תהליך גדילה או תהליך דעיכה? . ב מהי יחידת הזמן? כמה יחידות זמן עברו מהמועד המסוים ועד לתום המעקב אחר מחירו של הצעצוע? . ג העתיקו למחברתכם והשלימו: ( 1) במועד המסוים היה מחירו של הצעצוע _______ שקלים. ( 2) .A 0 = _____ ( 3) A = שקלים 60 ( 4) .A 4 = חודשים, כלומר _________ 4 מחיר הצעצוע הגיע ל _______ שקלים אחרי ( 5) .A = _________ בחודש האחרון המוצג בגרף היה מחיר הצעצוע ________ שקלים, כלומר 0 השנה המחיר (בשקלים) 1 2 3 4 5 6 7 8 20 60 180
48 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון: . א , ולכן מוצג בו תהליך של דעיכה מעריכית.גרף יורדהגרף שבסרטוט הוא . ב .t = 8 "קפיצות"), כלומר 8 חודשים ( 8 יחידת הזמן היא חודש אחד. בגרף מוצגים . ג שקלים. מיוצג בגרף על ידי הנקודה הכתומה. 180 במועד המסוים היה מחיר הצעצוע (1) ( 2) , הנקודה הכתומה). y , מיוצג בגרף על ידי נקודת החיתוך שלו עם הציר האנכי (ציר ה- A 0 = שקלים 180 ( 3) , מיוצג בגרף על ידי הנקודה הירוקה. A 4 = שקלים 60 ( 4) חודשים. מיוצג על ידי הנקודה הירוקה, כלומר 4 שקלים אחרי 60 מחיר הצעצוע הגיע ל - .A 4 = שקלים 60 ( 5) שקלים. מיוצג בגרף על ידי הנקודה התכלת, כלומר 20 בחודש האחרון המוצג בגרף היה מחיר הצעצוע .A 8 = שקלים 20 דוגמה ג' - דיאגרמת עמודות אלעד החל לעבוד בחברה מסוימת, ובמהלך עבודתו התעדכן שכרו בכל שנתיים באופן מעריכי בהתאם להתקדמותו בארגון והרחבת אחריותו. בדיאגרמת העמודות שלפניכם מוצג תהליך מעריכי של עדכון שכרו של אלעד מתחילת עבודתו בכל שנתיים. . א האם מוצג בדיאגרמה תהליך גדילה או תהליך דעיכה? . ב מהי יחידת הזמן המוצגת בדיאגרמה? כמה יחידות זמן עברו מהשכר ההתחלתי של אלעד עד השכר האחרון המוצג בדיאגרמה? . ג העתיקו למחברתכם והשלימו: ( 1) שכרו ההתחלתי של אלעד היה ______ שקלים. .A נסמן אותו ב: ( 2) .A עודכן _______ יחידות זמן אחרי שעודכן שכרו ההתחלתי של אלעד. נסמן אותו ב: 2022 השכר ב- ( 3) שקלים עודכן ________ יחידות זמן אחרי עדכון שכרו ההתחלתי של אלעד. 8427 השכר .A נסמן אותו ב: ( 4) נסמן ב: ______. 8427 7950 את היחס: ( 5) .A 4 = ______ פתרון: . א . לכן בדיאגרמה מוצג תהליך של גדילה מעריכית.וגדֵליםעם ההתקדמות בזמן גובהי העמודות הולכים . ב יחידת הזמן היא שנתיים, כי זהו ההפרש בין התאריכים הסמוכים המופיעים בציר האופקי. בין עדכון השכר "קפיצות"), 4 שנים ( 4 , לעדכון השכר האחרון המוצג בדיאגרמה עוברים 2016 ההתחלתי, שנערך ב- .t = 4 כלומר השנה השכר (בשקלים) 2016 2018 2020 2022 2024 7950 8932.65 9468.6 7500 8427
49 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ג .A 0 שקלים. נסמן אותו ב: 7500 שכרו ההתחלתי של אלעד היה (1) ( 2) .A 3 יחידות זמן אחרי שעודכן השכר ההתחלתי. נסמן אותו ב: 3 עודכן 2022 השכר ב- ( 3) .A 2 יחידות זמן אחרי שעודכן השכר ההתחלתי. נסמן אותו ב: 2 שקלים עודכן 8427 השכר ( 4) . מאחר שהתהליך הוא מעריכי, מתקבלים יחסים q מייצג את מקדם הגדילה ומסומן באות 8427 7950 היחס: :q שווים בין כל שני סכומים עוקבים. יחס זה הוא מקדם הגדילה ומיוצג באמצעות q= = = = 7950 7500 8427 7950 893265 8427 94686 893265 . . . ( 5) יחידות זמן. שכר זה מבוטא באמצעות גובה העמודה האחרונה בדיאגרמה 4 הוא השכר שעודכן אחרי A 4 .A 4 = שקלים 9468.6 שקלים. לכן 9468.6 (הוורודה) ושווה ל- 102 . מחירו של מקפיא משתנה בעקבות כניסת דגמים חדשים לשוק. בגרף הנקודות שלפניכם מוצג תהליך מעריכי של השתנות המחיר של מקפיא מיום קנייתו במשך מספר שנים. . א האם בגרף הנקודות מתואר תהליך גדילה או תהליך דעיכה? . ב עברו מהמחיר ההתחלתי (t) מהי יחידת הזמן? כמה יחידות זמן עד המחיר האחרון שבגרף הנקודות? . ג ? מה הוא מייצג? A 0 מהו ערכו של . ד ? באיזו אות נהוג לסמן אותו? 4800 6000 מה מייצג היחס . ה העתיקו למחברתכם והשלימו: ( 1) .A 3 = ( 2) .A = שקלים 2,460 ( 3) .A שקלים עבור מקפיא הוא לאחר _____ יחידות זמן מיום קנייתו. נסמן אותו ב: 3,840 המחיר 103 . מחיר מניה של חברת הייטק מושפע מביצועיה של החברה ומהביקוש למניה. בגרף הרציף שלפניכם מוצג תהליך מעריכי של מחיר המניה מרגע קנייתה במהלך מספר שבועות. . א האם בגרף מתואר תהליך גדילה או תהליך דעיכה? . ב מהי יחידת הזמן? כמה יחידות זמן עברו מקניית המניה ועד המחיר האחרון שלה המוצג בגרף? . ג העתיקו למחברתכם והשלימו: ( 1) .A 0 = ( 2) .A = דולר 30.5 ( 3) . q= = = 10 21 21 מספר השנים המחיר (בשקלים) 1 2 3 4 5 2460 3840 6000 1980 3060 4800 0 מספר השבועות מחיר המניה (בדולרים) 1 2 3 10 30.5 14.5 21 0
82 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה שנייה רבעונים, עשירונים וסטיית תקן – שימוש בכלים סטטיסטיים לעיבוד מידע . תיאור ההתפלגות על ידי ערכים מרכזיים ממוצע, חציון ושכיח של ההתפלגות: במדדי מרכזבכיתה י' עסקנו , שנלמד בכיתה י"א מדד הפיזור – סטיית תקןלא נותן תמונה מלאה לגבי ההתפלגות. ביחידה זו נרחיב בלימוד במדדי המיקום היחסי: רבעונים באשכול מדעים וחברה, וכאן יילמד בהקשר פיננסי כלכלי. בנוסף נעסוק גם . נלמד על הצורך בשימוש במדד הפיזור ובמדדי המיקום היחסי כמצביעים על מידת ההטרוגניות או ועשירונים ההומוגניות של התפלגות הנתונים (האחידות או חוסר האחידות שלהם). ביחידה זו ייעשה שימוש בנושאים שנלמדו בחטיבת הביניים ובכיתה י', והם: • .נספח ב'מדדי מרכז: ממוצע, חציון, שכיח – ראו • ייצוגים סטטיסטיים שונים: ייצוג מספרי (רשימה, טבלת שכיחויות, טבלת שכיחויות מצטברת), ייצוג ויזואלי (דיאגרמת עמודות, דיאגרמת עיגול). • .נספח א'אחוזים – ראו הידעתם? היא תחום מחקר, המשלב כלכלה וסטטיסטיקה.אקונומטריקה באקונומטריקה מתבצעת העברת נתונים מהעולם האמיתי לניסויים סטטיסטיים. היה הראשון שזכה בפרס נובל לכלכלהרַגְנָר ַאנְטוֹן קִיטִיל פְרִי ׁשהכלכלן ), והוא ידוע כמייסד ענף האקונומטריקה וכמי שטבעיאן טינברגן(במשותף עם , שנהיו נפוצים."מָקְרו-כלכלה" ו"מִיקְרו-כלכלה"את השימוש במונחים משימת פתיחה היא נייר ערך (מסמך או זכות כלשהי בנכס פיננסי) המקנה חלק בבעלות בחברה.מניה המסחר במניות מתבצע בשוק ההון, כגון: הבורסה לניירות ערך בתל אביב. דן מתלבט בין שתי מניות שבהן הוא מעוניין להשקיע. .−2% , +8% , −4% , +6% , +2% השבועות האחרונים היה השינוי השבועי (באחוזים) של מניה א׳: 5 ב- בכל שבוע. +2% השבועות האחרונים היה השינוי השבועי (באחוזים) של מניה ב׳: 5 ב- . א הראו שהממוצע של השינוי השבועי (באחוזים) של שתי המניות הוא זהה. . ב איזו מהמניות יותר תנודתית (השינוי באחוזים אינו אחיד)? . ג איזו מהמניות מתאימה למשקיע שמרני (לא מעוניין לקחת הרבה סיכונים)? .150 התשובה למשימת הפתיחה - בעמ׳
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=