התפלגות נורמלית, גיאומטריה אנליטית, מודל ריבועי יח״ל 3 רמת 4631 מספר אישור: 12.8.25 אושר בתאריך:
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2025 © 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-72 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-90-1 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © התפלגות נורמלית, גיאומטריה אנליטית, מודל ריבועי 4631 מספר אישור: 12.8.25 אושר בתאריך: יח״ל 3 רמת
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה יח"ל. 3 הספר "מתמטיקה לכיתה י״ב – חלק א' ״ מתאים לתכנית הלימודים החדשה ברמת ספר זה הוא הראשון מתוך שני ספרים, ועוסק בתכנים מתמטיים בהקשרים של תופעות מתחום המדעים וחברה ומתחום הפיננסי כלכלי. הספר מכיל את הנושאים הבאים: התפלגות נורמלית, גיאומטריה אנליטית ומודל ריבועי. העקרונות, שלפיהם נכתב הספר, הם: בסיס אורייני - מתמטי ורלוונטיות לחיי היום יום; הבנה ועיבוד של מידע; תובנה מספרית, מילולית, גרפית וגיאומטרית ועוד. מה מיוחד בספר? • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • בסוף הספר יש חמישה נספחים בנושאים שנלמדו בחטיבת הביניים ובכיתות י׳ ו- י״א, והנדרשים לצורך יחידות לימוד. 3 לימוד הנושאים בספר זה. בנוסף מצורף נוסחאון מתמטיקה - מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו, רתם פרוידנברג וצילה פרידמן, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. , יש להוריד לטלפון אפליקציה לקריאת הקוד. סריקת הקוד מקשרת QR שאלה, שבה מופיע קוד ליישומון, סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע, הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול.
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1............................................................................................................................ חלק א' – פתיח 2..................................................................................... יחידה ראשונה – התפלגות נורמלית 4....................................................................................................... זיהוי ויזואלי של התפלגות נורמלית מציאת האחוז/הסתברות בעזרת גרף ההתפלגות הנורמלית . א 10 ������������������������������������������������������������ העקומה הנורמלית עם מרווחים של סטיות תקן שלמות . ב 19 �������������������������������������������������������������� העקומה הנורמלית עם מרווחים של חצאי סטיות תקן 27. ......................................................................... מציאת ערך המשתנה בעזרת גרף ההתפלגות הנורמלית 33. .................................................................................. שימוש בסימטריה של גרף ההתפלגות הנורמלית מציאת ממוצע ו/או סטיית תקן בהתפלגות נורמלית . א 39 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת הממוצע . ב 44 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת סטיית התקן . ג 48 ����������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת הממוצע וסטיית התקן ציוני תקן . א 56 ��������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת ציון תקן ומשמעותו . ב 60 ������������������������������������������������������������������������� מציאת מדדים חסרים בהינתן חלק מהמדדים . ג 63 ������������������������������������������������������������������������������ השוואת המיקום היחסי של ערכי משתנים 66. ............................................................................................................ ציוני תקן בהתפלגות נורמלית 79. .......................................................................................................................................... תשובות 87. ................................................................................ יחידה שנייה – גיאומטריה אנליטית קטעים במערכת צירים . א 89 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� מרחק בין שתי נקודות . ב 95 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� אמצע קטע . ג 99 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� משולשים . ד 107 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� מרובעים משוואת הקו הישר . א 113 ������������������������������������������������������������������������������������� שיפוע ישר על-פי שתי נקודות שעליו . ב 116 ���������������������������������������������������������������������������� משוואת ישר על-פי שיפוע ונקודה על הישר . ג 121 ���������������������������������������������������������������������������������� משוואת ישר על-פי שתי נקודות שעליו . ד 123 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� משולשים . ה 129 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� מרובעים
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מצב הדדי בין ישרים במישור . א 133 ��������������������������������������������������������������������������������������� ישרים מקבילים וישרים מתלכדים . ב 136 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ישרים נחתכים . ג 141 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� משולשים . ד 147 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� מרובעים ישרים ניצבים . א 154 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ישרים ניצבים . ב 158 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� משולשים . ג 165 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� מרובעים 174.......................................................................................................................................... תשובות 184............................................................................................ יחידה שלישית – מודל ריבועי קריאת מידע מגרף של פונקציה ריבועית . א 186 ����������������������������������������������������� קדקוד הפרבולה, תחום עלייה ותחום ירידה, ציר סימטריה . ב 197 ������������������������������������������������������ נקודות חיתוך עם הצירים, תחום חיוביות ותחום שליליות לבין גרף הפונקציה (הפרבולה) (a ≠ 0) y = ax2 + bx + c הקשר בין הפונקציה הריבועית . א 206 �����������������������������������������������������������������������������������������������������c - ו a תפקידי המקדמים . ב 212 ��������������������������������������������������� קדקוד הפרבולה, ציר הסימטריה, תחום עלייה ותחום ירידה . ג 215 ����������������������������������������������������� , תחום חיוביות ותחום שליליות x - נקודות חיתוך עם ציר ה . ד 223 �������������������������������������������������������������y מציאת שיעורי נקודות על הפרבולה בהינתן ערך של 232............................................................................ הקשר בין הייצוגים השונים של הפונקציה הריבועית 245.......................................................................................................................................... תשובות נספחים 252....................................................................................................................... נספח א' – תרגול נוסף 291................................................................................................................... נספח ב' – מערכת צירים 294............................................................................................................. נספח ג' – משוואת הקו הישר 299......................................... נספח ד' – ההגדרות, התכונות, ההיקפים והשטחים של הצורות הגיאומטריות 304.................................................................. נספח ה' – משוואות ממעלה שנייה (ריבועיות) עם נעלם אחד 308................................................................................................. יחידות לימוד 3 – נוסחאון מתמטיקה
1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © חלק א' – פתיח • בספר זה יידרש שימוש במיומנויות שנרכשו בחטיבת הביניים ובכיתות י' ו- י"א, והן: ✔ פתרון משוואות ומערכות משוואות ממעלה ראשונה. ✔ פתרון משוואות ריבועיות. ✔ מערכת צירים, שיעורי נקודות וסימון נקודות במערכת צירים. ✔ קריאת מידע מגרף. ✔ תכונות משולשים, מרובעים וצורות מורכבות (כולל חישוב שטח והיקף). • יחידות: 3 חלק א' של הספר מכיל ✔ יחידה ראשונה: למידת התכונות של עקומת ההתפלגות הנורמלית ושימוש בעקומה זו. יוצגו מצבים בהקשר מדעי חברתי ובהקשר פיננסי כלכלי. ✔ יחידה שנייה: למידת הנושא גיאומטריה אנליטית, המשלב אלגברה וגיאומטריה. יחידה זו היא המשך וחיזוק של הנושאים שנלמדו בשנים קודמות. ✔ יחידה שלישית: למידת הנושא מודל ריבועי. יחידה זו היא המשך וחיזוק של הנושא שנלמד בחטיבת הביניים. יוצגו מצבים בהקשר מדעי חברתי ובהקשר פיננסי כלכלי.
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה התפלגות נורמלית ושימוש בעקומה זו: למציאת הסתברות או למציאת עקומת ההתפלגות הנורמליתביחידה זו נלמד על התכונות של החלק היחסי (באחוזים) של קבוצה בעלת תכונה משותפת, ולמציאת תכונה של קבוצה בהינתן החלק היחסי של .ציון תקןהקבוצה. כמו כן יוקדש פרק לנושא ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושאים הבאים: • פתרון משוואות ממעלה ראשונה. • פתרון מערכת משוואות ממעלה ראשונה. • מדדי מרכז (ממוצע, חציון ושכיח) וסטיית תקן. משימת פתיחה גרפים המתארים התפלגות של ציונים במבחן במתמטיקה. 2 לפניכם 1) ( x הציון 100 40 2) ( x הציון 100 40 70 מתאר התפלגות של ציונים, שבה רוב הנבחנים קיבלו ציונים גבוהים. (1) נועה אמרה: גרף הוא החציון. 70 מתאר התפלגות של ציונים, שבה הציון (2) הילה אמרה: גרף מי צודקת? הסבירו. .79 התשובה למשימת הפתיחה – בעמ'
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה בסטטיסטיקה כאשר נאספים נתונים לגבי תופעה מסוימת, מתקבלת רשימה של ערכים. היא תיאור האופן שבו הערכים מתפזרים. התפלגות היא תיאור גרפי רציף שמציג את פיזור הערכים שנאספו.עקומת ההתפלגות .ההתפלגות הנורמליתיש סוגים רבים של התפלגויות, אך השימושית והנפוצה מכולן היא היא אחד המודלים הסטטיסטיים החשובים ביותר, והוא מתאר תופעות רבות בטבע,התפלגות הנורמליתה בחברה, בכלכלה ובמדע, כאשר המדידות נלקחות מאוכלוסייה גדולה. תכונותיה המתמטיות הייחודיות הופכות אותה לכלי יסודי בניתוח נתונים, במבחנים סטטיסטיים ובמחקר. רוב הערכים מרוכזים סביב הממוצע, ומספרם פוחת ככל שמתרחקים ממנו.התפלגות נורמליתב כלומר, מעטים נמצאים בקצוות – גבוהים מאוד או נמוכים מאוד ביחס לממוצע. "עקומת פעמון", מוכרת גם בשם עקומת ההתפלגות הנורמלית על שם "עקומת גאוס"כי צורתה הגרפית מזכירה פעמון או בשם .(1855−1777) קארל פרידריך גאוסהמתמטיקאי שחקר אותה - דוגמה ק"ג, 3.5 אם במדינה מסוימת ידוע שמשקל היילודים מתפלג נורמלית ומשקלם הממוצע הוא היא שמשקליהם של רוב היילודים במדינה מתרכזים סביב המשמעות הממוצע, ומספרם פוחת ככל שמתרחקים ממנו. בנוסף, משקלם של כמחצית מהיילודים נמוך מהמשקל הממוצע, ומשקלם של כמחצית מהיילודים גבוה מהמשקל הממוצע. x 3.5 x 50% 50% המשקל בק״ג
4 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © זיהוי ויזואלי של התפלגות נורמלית בפרק זה נתמקד בזיהוי ויזואלי של התפלגות נורמלית לפי מאפייניה המרכזיים בהינתן גרפים של התפלגויות שונות. יוצגו מצבים בהקשר מדעי חברתי ובהקשר פיננסי כלכלי. .80-79 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' תזכורת - הגדרה מציגה את מידת הפיזור של ערכי המשתנה סביב הממוצע. (s) סטיית התקן ככל שפיזור ערכי המשתנה סביב הממוצע קטן יותר, סטיית התקן קטנה יותר. ככל שפיזור ערכי המשתנה סביב הממוצע גדול יותר, סטיית התקן גדולה יותר. הסבר ודוגמה פתורה • יש אינסוף עקומות נורמליות המאופיינות על ידי שני גדלים: של האוכלוסיה:סטיית התקן והממוצע ✔ קובע את מיקום העקומה הנורמלית על הציר האופקי.(x) הממוצע ✔ קובעת את גובה העקומה הנורמלית ואת הפריסה שלה על הציר האופקי. (s) סטיית התקן מקרה ראשון בשתי מדינות משקל היילודים מתפלג נורמלית עם אותה סטיית תקן. ק"ג, ובמדינה ב' המשקל 3.5 במדינה א' המשקל הממוצע הוא ק"ג. 3.6 הממוצע הוא המשקל הממוצע של היילודים במדינה א' קטן יותר מהמשקל הממוצע של היילודים במדינה ב'. לכן הממוצע של מדינה א' יופיע משמאל לממוצע של מדינה ב'. כלומר: שתי העקומות הנורמליות הן "רחבות" באותה המידה, כי פיזור המשקלים סביב הממוצע הוא שווה. מקרה שני בשתי מדינות אחרות משקל היילודים מתפלג נורמלית עם אותו משקל ממוצע ק"ג. 3.5 של סטיית התקן במדינה ד' קטנה יותר מסטיית התקן במדינה ג'. סטיית תקן קטנה מעידה על ריכוז גדול של משקלים סביב המשקל הממוצע, וסטיית תקן גדולה מעידה על פיזור רחב יותר של המשקלים סביב המשקל הממוצע, מה שגורם "להשטחת" העקומה. כלומר העקומה הנורמלית של מדינה ג' "רחבה יותר". x המשקל בק״ג מדינה ב׳ 3.5 3.6 מדינה א׳ x מדינה ד׳ מדינה ג׳ המשקל בק״ג 3.5
5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © • ההתפלגות הנורמלית מופיעה בתחומים רבים סביבנו, ומכאן חשיבותה. כאשר ידוע שנתונים מתפלגים נורמלית, ניתן להסיק היכן יתרכזו רוב הערכים, לחזות מה יקרה במדידות נוספות, מה נחשב לתוצאה חריגה, וניתן אף להשוות בין תוצאות שונות. • נדגים את ההתפלגות הנורמלית באמצעות מכשיר, שמורכב מלוח, ועליו מסמרים המסודרים בצורת משולש. כאשר כדורים נופלים מלמעלה, הם מתנגשים במסמרים בדרכם למטה, וכל התנגשות גורמת לכדור לנוע באופן אקראי ימינה או שמאלה. הכדורים נאספים בתאים שבתחתית הלוח, ומתקבלת צורה של התפלגות נורמלית. • לפניכם יישומון המדגים את פעולת הלוח. ביישומון יש לבחור באפשרות של גלגול כדורים רבים ולחיצה על הפעלה. ככל שיהיו יותר כדורים, כך העקומה, שתיווצר מהצטברות הכדורים בתאים, תתקרב לצורת גרף ההתפלגות הנורמלית. • ניתן לראות זאת גם בסרטון הבא: התכונות שלפיהן נזהה את גרף ההתפלגות הנורמלית: • סימטריה. • נקודת מקסימום יחידה. • ציר הסימטריה הוא הממוצע ועובר בנקודת המקסימום. • ככל שמתרחקים מהמרכז, הערכים קטנים בהדרגה ומתקרבים לאפס – דעיכה בקצוות הגרף. בגרף ההתפלגות הנורמלית צריכות להופיע כל התכונות. די שאחת התכונות לא תופיע בגרף כדי לשלול שמדובר בגרף של התפלגות נורמלית. דוגמה הציונים מתפלגים נורמלית. (2) גרפים, המתארים ציוני מבחנים. במבחן 4 לפניכם 1) ( 뽄翷 믠 䃰 . א .(2) היעזרו בתכונות של גרף ההתפלגות הנורמלית והראו שכל התכונות מתקיימות בגרף הסבירו מדוע הגרפים האחרים אינם מתארים התפלגות נורמלית. . ב תארו את הישגי התלמידים במבחנים בכל אחד מהגרפים. x הציון 4050 100 x הציון 70 40 100 x הציון 85 40 100 x הציון
6 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון: . א שדרכה עובר ציר הסימטריה, (70) , בעל נקודת מקסימום יחידה 70 הוא סימטרי ביחס לציון (2) • גרף וקיימת דעיכה בקצוות הגרף. • לא מתארים התפלגות נורמלית, כי הם לא סימטריים. (3) ו- (1) גרפים ."התפלגות עם זנב שמאלי" מכונה (3) , וגרף "התפלגות עם זנב ימני" מכונה (1) גרף • אינו מתאר התפלגות נורמלית. אין בו נקודת מקסימום ואין בו דעיכה בקצוות. (4) גרף ."התפלגות אחידה"גרף זה מכונה . ב מתאר מצב, שבו רוב הנבחנים קיבלו ציונים נמוכים, ומעט נבחנים קיבלו ציונים גבוהים. (1) • גרף • , וכמחצית מהנבחנים 70 מתאר מצב, שבו כמחצית מהנבחנים קיבלו ציונים הנמוכים מציון (2) גרף .70 קיבלו ציונים הגבוהים מציון • מתאר מצב, שבו רוב הנבחנים קיבלו ציונים גבוהים, ומעט נבחנים קיבלו ציונים נמוכים. (3) גרף • מתאר מצב, שבו אין ריכוז של ציונים סביב ערך מסוים – ציוני הנבחנים מתפזרים באופן שווה (4) גרף על פני כל טווח הציונים האפשרי. כלומר: מספר הנבחנים שיקבלו ציונים נמוכים זהה למספר הנבחנים שיקבלו ציונים גבוהים. . 1 בשני יישובים ערכו סקר מקיף לגבי מספר הצעדים ביום שהנשאלים צועדים. , מתארים את התפלגות מספר הצעדים היומי בכל אחד מהיישובים. (2) ו- (1) הגרפים שלפניכם, 1) ( מספר הצעדים ביום x 2000 2) ( מספר הצעדים ביום x 3500 . א שני הגרפים לא מתארים התפלגות נורמלית. היעזרו בתכונות של גרף ההתפלגות הנורמלית והסבירו מדוע. . ב ציינו איך נקראת כל אחת מההתפלגויות המוצגות בגרפים.
7 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 2 שני ס ַּפָקִים שולחים חבילות רבות במהלך שבוע מסוים. שני הגרפים שלפניכם מתארים את התפלגות כמות החבילות ששלחו הספקים לפי משקל החבילות (בק"ג). התפלגות המשלוח של כל ס ַּפָק שונה ומתוארת באמצעות אחד הגרפים. 1) ( x משקל החבילה 2 . א היגדים המתארים את התפלגות המשלוח של כל סַפָּק. התאימו כל היגד לגרף המתאים לו. 2 לפניכם . I , ק"ג ויש מעטות קלות מאוד או כבדות מאוד. 2 הסַפָּק שלח חבילות שרובן במשקל . II הסַפָּק שלח חבילות במשקלים שונים, מספר חבילות זהה בכל משקל. . ב מתאר התפלגות נורמלית. היעזרו בתכונות של גרף ההתפלגות הנורמלית והראו שכל (2) נתון שגרף התכונות מתקיימות בו. . 3 שלושה חקלאים בדקו בעונה מסוימת את התפלגות המשקל של יבול התפוזים לעץ (בק"ג) בפרדסים שלהם. הגרפים שלפניכם מתארים את התפלגות משקל התפוזים לעץ בשלושת הפרדסים. 1) ( x משקל היבול לעץ 80 40 2) ( x משקל היבול לעץ 60 40 80 3) ( x משקל היבול לעץ 40 80 . א מתאר התפלגות נורמלית של משקל התפוזים לעץ. היעזרו בתכונות של גרף ההתפלגות הנורמלית (2) גרף והראו שכל התכונות מתקיימות בו. . ב , שאינם מתארים התפלגות נורמלית, תארו את משקל יבול התפוזים לעץ בכל אחד (3) ו- (1) לגבי גרפים מהפרדסים. . 4 התפלגות המשכורות במחלקת שיווק ובמחלקת מחקר בחברה גדולה היא התפלגות נורמלית. ממוצע המשכורות במחלקת שיווק גבוה מממוצע המשכורות במחלקת מחקר. גרפים של התפלגויות שונות. 3 לפניכם איזה גרף מתאר את התפלגות המשכורות במחלקת שיווק? ואיזה גרף מתאר את התפלגות המשכורות במחלקת מחקר? נמקו. x משקל החבילה x 1 2 3
8 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 5 התפלגות התשלום החודשי עבור שיחות טלפון בחברה מסוימת היא התפלגות נורמלית לטלפון נייד ולטלפון קווי. ידוע שהסכום הממוצע לתשלום בטלפון נייד גבוה יותר מהסכום הממוצע לתשלום בטלפון קווי. לפניכם שלושה זוגות של גרפים המתארים התפלגויות שונות. I . . א איזה זוג גרפים מתאר את התפלגות התשלום החודשי עבור שיחות הטלפון בחברה? נמקו. . ב בזוג הגרפים שבחרתם איזה גרף מייצג את התפלגות התשלום החודשי בטלפון נייד? ואיזה גרף מייצג את התפלגות התשלום החודשי בטלפון קווי? נמקו. . 6 ק"מ מתפלג נורמלית. 10 משך הזמן הדרוש לספורטאים חובבים ולספורטאים מקצועיים לרוץ . א איזה משפט נכון: 1) ( מממוצע הזמן של ספורטאים מקצועיים.קטןממוצע הזמן של ספורטאים חובבים 2) ( לממוצע הזמן של ספורטאים מקצועיים.שווהממוצע הזמן של ספורטאים חובבים 3) ( מממוצע הזמן של ספורטאים מקצועיים.גדולממוצע הזמן של ספורטאים חובבים . ב לפניכם שני גרפים של התפלגויות שונות. איזה גרף מתאר את התפלגות זמני הריצה של ספורטאים מקצועיים? ואיזה גרף מתאר את התפלגות זמני הריצה של ספורטאים חובבים? נמקו. . 7 גרפים, שמתארים את השכר החודשי המתפלג נורמלית בכל אחת 3 סרטוטים. בכל סרטוט מופיעים 2 לפניכם חברות. 3 מ- 1) ( x היגדים. התאימו לכל סרטוט את ההיגד המתאים לו. הסבירו. 3 לפניכם . I החברות השכר החודשי הממוצע שווה, וסטיית התקן שווה. 3 ב- . II החברות השכר החודשי הממוצע שווה, אך סטיית התקן שונה. 3 ב- . III החברות סטיית התקן של השכר החודשי שווה, אך הממוצע שונה. 3 ב- x )2( )1( x )2( )1( x )1( )2( x )1( )2( x
9 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הידעתם? – היה נפוץ בתקופת מגפת הקורונה. " - לשַטֵח את העקומה Flatten the Curve"המושג המשמעות היתה להקטין את קצב ההתפשטות של הנגיף כדי למנוע עומס יתר על מערכות הבריאות. הגרף שדובר עליו הציג את מספר החולים לאורך הזמן. מספר החולים הזמן עם אמצעי הגנה גבול התפוסה במערכת הבריאות ללא אמצעי הגנה בגרסה הלא-רצויה של הגרף היתה עלייה חדה במספר החולים בזמן קצר, מה שהוביל לעומס בלתי אפשרי על בתי החולים. לעומת זאת, אם אנשים היו נוקטים אמצעי הגנה - כמו ריחוק חברתי, עטיית מסכות וסגר - ניתן היה להאט את קצב ההדבקה, ואז העקומה היתה נמוכה יותר ונמשכת זמן רב יותר. במקרה זה מערכת הבריאות היתה מסוגלת לטפל בכל החולים. במונחים סטטיסטיים מדובר על שינוי בצורה של העקומה הנורמלית: המטרה היתה להפוך את העקומה מצרה וגבוהה לרחבה ונמוכה יותר, וכך תתפרס ההדבקה על פני תקופה ארוכה יותר.
14 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © .x = 70 בהתפלגות הנורמלית הציון השכיח שווה לציון הממוצע, כלומר x − 2s 50 x + 2s 90 x − s 60 x + s 80 x 70 x − 3s 40 x + 3s 100 2% 2% 34% 34% 14% 14% x הציון +10 −10 +10 −10 +10 −10 . א 50% לפי תכונת הסימטריה של גרף ההתפלגות הנורמלית מהתלמידים 50% , ו- 70 מהתלמידים קיבלו ציון נמוך מ- .70 קיבלו ציון גבוה מ- ניתן גם לחבר את האחוזים הרשומים באזורים המודגשים משמאל לממוצע: .2% + 14% + 34% = 50% .70 מהתלמידים קיבלו ציון נמוך מ- 50% תשובה : . ב נתבונן בגרף ובאחוזים הרשומים בו. הוא סכום האחוזים, 80 אחוז התלמידים שציונם נמוך מ- . משמאל לממוצע 80 המופיעים בכל האזורים משמאל ל- יש 80 ל- 70 מהתלמידים, ובין 50% יש .50% + 34% = 84% נוספים: 34 % .80 מהתלמידים קיבלו ציון נמוך מ- 84% תשובה : . ג נתבונן בגרף ובאחוזים הרשומים בו. ,2% הוא 90 אחוז התלמידים שציונם גבוה מ- .90 כי זה האחוז הרשום בגרף מימין לציון מהתלמידים קיבלו ציון 2% תשובה : .90 גבוה מ- 2% 2% 34% 34% 14% 14% הציון 70 x 2% 2% 34% 34% 14% 14% x 70 60 100 50 90 40 80 הציון 2% 2% 34% 34% 14% 14% x 70 60 100 50 90 40 80 הציון
15 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ד בסעיף זה מופיע הקשר בין סטטיסטיקה (1) להסתברות בהתפלגות נורמלית. כאמור, השטח הכולל בין גרף ההתפלגות .100% הוא x הנורמלית וציר ה- השטח מחולק לאזורים, שבהם רשומים האחוזים בהתאם להתפלגות של ערכי המשתנה. באמצעות האחוזים, הרשומים מתחת לגרף ההתפלגות הנורמלית, נחשב את ההסתברות המבוקשת. .14% + 34% + 34% = 82% אזורים. נחבר את האחוזים הרשומים בהם: 3 יש 80 ל- 50 בין .80 ונמוך מ- 50 , ציונם גבוה מ- 100% מתוך 82% כלומר: ההסתברות של מאורע היא השכיחות היחסית של המאורע. . 82 100 082 = . , ונקבל את ההסתברות: 100% מ- 82% לכן נבדוק איזה חלק יחסי מהווים .0.82 תשובה: ההסתברות היא 2) ( 90 האזור המציין את אחוז התלמידים שציונם גבוה מ- מהתלמידים. 2% , ויש בו 90 הוא מימין לציון האזור המציין את אחוז התלמידים שציונם מורכב משני האזורים 60 נמוך מ- .60 שמשמאל לציון נחבר את האחוזים הרשומים בכל האזורים: .2% + 2% + 14% = 18% . 18 100 018 = . . לכן ההסתברות היא: 60 נמוך מ-או 90 , ציונם גבוה מ- 100% מתוך 18% כלומר: .0.18 תשובה: ההסתברות היא . 12 גובה העצים ביער מסוים מתפלג נורמלית. מטרים. 3 מטרים, וסטיית התקן היא 18 הגובה הממוצע הוא לכל אחד מהסעיפים מצורפת עקומה נורמלית. היעזרו בה וענו על כל אחד מהסעיפים הבאים. . א מטרים. 12 מצאו את אחוז העצים הנמוכים מ- 2% 2% 34% 34% 14% 14% x 70 60 100 50 90 40 80 הציון 70 60 100 50 90 40 80 הציון 2% 2% 34% 34% 14% 14% x גובה העץ (במטרים) 18 15 27 12 24 9 21 2% 2% 34% 34% 14% 14% x
16 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ב מטרים. 21 מצאו את אחוז העצים הגבוהים מ- . ג מטרים. 21 מצאו את אחוז העצים הנמוכים מנבחר באקראי עץ ביער. . ד מטרים. 15 מצאו את ההסתברות שגובהו של העץ שנבחר גדול מ- . ה מצאו את ההסתברות שגובהו של העץ שנבחר מטרים. 24 מטרים ל- 15 הוא בין ו . מצאו את ההסתברות שגובהו של העץ קטן מטרים. 24 גדול מ-או מטרים 15 מגובה העץ (במטרים) 18 15 27 12 24 9 21 2% 2% 34% 34% 14% 14% x גובה העץ (במטרים) 18 15 27 12 24 9 21 2% 2% 34% 34% 14% 14% x גובה העץ (במטרים) 18 15 27 12 24 9 21 2% 2% 34% 34% 14% 14% x גובה העץ (במטרים) 18 15 27 12 24 9 21 2% 2% 34% 34% 14% 14% x גובה העץ (במטרים) 18 15 27 12 24 9 21 2% 2% 34% 34% 14% 14% x
23 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 22 לצורך מתן שירות המותאם ללקוחות בחברת כרטיסי אשראי נבדק הסכום החודשי שהם שילמו בכרטיס 300 שקלים וסטיית תקן שהיא 4500 האשראי. נמצא שהסכום החודשי מתפלג נורמלית עם חציון שהוא שקלים. x − 3s x + 2s x − s 4350 x + s x 4500 4650 x + 3s 0.5% 0.5% 1.5% 1.5% 5% 5% 9% 9% 15% 15% 19% 19% x s +3 2 x s +5 2 x s −5 2 x s − 3 2 x s − 2 x s + 2 x − 2s x הסכום החודשי בכרטיס האשראי . א העתיקו את הסרטוט למחברתכם, והשלימו את ערכי המשתנה במלבנים הריקים. . ב מה אחוז הלקוחות, ששילמו בכרטיס האשראי סכום חודשי (בשקלים) שהוא: 1) ( ?4650 גבוה מ- 2) ( ?4200 גבוה מ- 3) ( ?4800 גבוה מ- . ג נבחר באקראי לקוח. מה ההסתברות שהסכום החודשי ששילם בכרטיס האשראי (בשקלים) הוא: 1) ( ?4500 גבוה מ- 2) ( ?4950 גבוה מ- 3) ( ?4050 גבוה מ- . 23 בחברה מסוימת מעניקים ייעוץ עסקי לבעלי עסקים בהתאמה לצורכי הלקוח. מחירי שעת ייעוץ עסקי מתפלגים שקלים. 60 שקלים וסטיית תקן שהיא 450 נורמלית עם שכיח שהוא x − 3s x + 2s x − s 390 x + s 510 x 450 x + 3s 0.5% 0.5% 1.5% 1.5% 5% 5% 9% 9% 15% 15% 19% 19% x s +3 2 x s +5 2 x s −5 2 x s − 3 2 x s − 2 x s + 2 x − 2s x המחיר לשעת ייעוץ . א העתיקו את הסרטוט למחברתכם, והשלימו את ערכי המשתנה במלבנים הריקים. . ב מה אחוז בעלי העסקים, ששילמו עבור שעת ייעוץ סכום (בשקלים) שהוא: 1) ( ?570 ל- 510 בין 2) ( ?480 ל- 420 בין 3) ( ?330 נמוך מ-או 540 גבוה מ- . ג נבחר באקראי בעל עסק. מה ההסתברות שהסכום ששילם עבור שעת ייעוץ (בשקלים) הוא: 1) ( ?540 ל- 360 בין 2) ( ?450 ל- 300 בין 3) ( ?390 נמוך מ-או 420 גבוה מ-
29 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ד נתבונן בגרף ההתפלגות הנורמלית שבסעיף א׳. D מהמדידות רמת ויטמין 7% לפי הגרף ב- 7% , וב- 45 ng/mL בדם גבוהה מ- בדם D מהמדידות רמת ויטמין .15 ng/mL נמוכה מ- מהמדידות. לכן גם אם לא ידוע מספר המדידות שבמחקר, מדובר על מספר שווה 7% בשני המקרים מדובר על , מאותה כמות). 7% של מדידות (אחוז זהה, . 33 מהירויות הנסיעה של מכוניות בכביש עירוני מתפלגות נורמלית. קמ"ש. 10 קמ"ש, וסטיית התקן היא 50 המהירות הממוצעת היא . א העתיקו את הסרטוט למחברתכם ורשמו את ערכי המשתנה במלבנים הריקים. מהמכוניות 16% מצאו את המהירות ש- נוסעות במהירות הקטנה ממנה. . ב מהמכוניות נוסעות במהירות הקטנה ממנה? 84% מהי המהירות ש- 0.5% 0.5% 1.5% 1.5% 5% 5% 9% 9% 15% 15% 19%19% x 84% מהירות הנסיעה (בקמ״ש) . ג מהמכוניות נוסעות במהירות הגדולה ממנה? 31% מהי המהירות ש- 31% 0.5% 0.5% 1.5% 1.5% 5% 5% 9% 9% 15% 15% 19%19% x מהירות הנסיעה (בקמ״ש) . ד מהמכוניות נוסעות במהירות הגדולה ממנה? 99.5% מהי המהירות ש- מהירות הנסיעה (בקמ״ש) 99.5% 0.5% 0.5% 1.5% 1.5% 5% 5% 9% 9% 15% 15% 19%19% x 0.5% 0.5% 1.5% 1.5% 5% 5% 9% 9% 15% 15% 19%19% 45 15 x רמת ויטמין בדם D 7% 7% 0.5% 0.5% 1.5% 1.5% 5% 5% 9% 9% 15% 15% 19%19% 50 x מהירות הנסיעה (בקמ״ש) 16%
56 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ציוני תקן בפרק זה נתמקד במציאת ציון תקן ושימוש בו לקביעת מיקום של ערך המשתנה באוכלוסייה מסוימת ביחס לממוצע. בנוסף יעסקו השאלות בפרק זה במיקום היחסי של ערך משתנה באוכלוסייה אחת בהשוואה למיקום היחסי של ערך משתנה שונה/זהה באותה האוכלוסייה או באוכלוסייה אחרת. סטיות התקן והממוצעים של שתי האוכלוסיות הן לא בהכרח זהים. מה נלמד? ✔ מציאת ציון תקן ומשמעותו. ✔ מציאת מדדים חסרים בהינתן חלק מהמדדים. ✔ השוואת המיקום היחסי של ערכי משתנים. .85-84 התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' .א מציאת ציון תקן ומשמעותו בסעיף זה נגדיר את המושג ציון תקן ונחשב ציוני תקן בהינתן הממוצע וסטיית התקן. לפי ציון התקן נלמד לזהות את מיקום ערך המשתנה ביחס לממוצע. הסבר ודוגמה פתורה ) הוא מדד סטטיסטי, המסייע לזהות ערכים קיצוניים בהתפלגות, והמאפשר להשוות בין ערכים z-score ציון תקן ( שונים שנמצאים בהתפלגויות שונות, תוך התייחסות לפיזור הערכים בכל התפלגות. ציון תקן מציין כמה סטיות תקן מרוחק ערך מסוים מהממוצע של ההתפלגות שלו. נמחיש את הצורך בציון תקן באמצעות המקרה הבא: במבחן שכבתי באנגלית. האם ציונו נחשב ״טוב"? 62 תלמיד קיבל ציון נתקשה לענות על שאלה זו, כשאין לנו ציוני השכבה שאליהם ניתן להשוות את הציון. נניח שציונו של התלמיד גבוה מהממוצע. האם כעת ניתן לומר שציונו נחשב ״טוב" יחסית לשכבה? נציג שתי אפשרויות, שבהן התלמיד קיבל ציון גבוה מהממוצע השכבתי: אפשרות ב׳ מספר התלמידים הציון x 62 הציון אפשרות א׳ מספר התלמידים x 62
57 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק א׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © שתי הדיאגרמות ממחישות את הצורך להתייחס גם לפיזור הציונים. סטיית התקן (פיזור הציונים ביחס לממוצע) באפשרות א' גדולה מסטיית התקן באפשרות ב'. ניתן לראות שבאפשרות ב' ציונו של התלמיד גבוה משמעותית ביחס לציוני השכבה, בעוד שבאפשרות א' ציונו גבוה יחסית לממוצע, אך יש ציונים גבוהים ממנו. מקרה זה ודומים לו ממחישים את הצורך לבדוק את הציון תוך התייחסות לשני ערכים – הממוצע וסטיית התקן, ובזה עוסק ציון התקן. בפרק זה נלמד כיצד לחשב את ציון התקן ולנתח את התוצאה. לציון התקן יש גם חשיבות כאשר רוצים להשוות בין ערכים השייכים להתפלגויות שונות, כפי שנראה בהמשך הפרק. נגדיר: של ערך מסוים של משתנה הוא מספר סטיות התקן שהערך מרוחק מהממוצע.ציון תקן של המשתנה מחושב בעזרת הנוסחה: x של ערך z , ציון התקן s וסטיית התקן x בהתפלגות שבה הממוצע z x x s = − . יח״ל 3 בנוסחאון הנוסחה מופיעה דוגמה מ"ר. 4 מ"ר, וסטיית התקן היא 95 בשכונה מסוימת השטח הממוצע של הדירות הוא . א דירות בשכונה. לגבי כל דירה מצאו את ציון התקן המתאים לשטחה. 4 לפניכם שטחיהן של 1) ( מ"ר 83 2) ( מ"ר 103 3) ( מ"ר 95 4) ( מ"ר 97 . ב לגבי כל דירה הסבירו את המשמעות של ציון התקן שהתקבל. פתרון: . א . z x x s = − נציג את החישוב למציאת ציון התקן של שטח כל אחת מהדירות בעזרת הנוסחה: 1) ( z= = − − 83 95 4 3 z= = − 103 95 4 2 뽄翷 믠 z= = − 95 95 4 0 䃰 z= = − 97 95 4 1 2 , וציון 0 הוא (3) , ציון התקן של דירה 2 הוא (2) , ציון התקן של דירה −3 הוא (1) תשובה: ציון התקן של דירה . 1 2 הוא (4) התקן של דירה . ב קטן מהשטח הממוצע של הדירות (1) הוא ציון תקן שלילי. משמעותו ששטח דירה (−3) - ציון התקן (1) דירה סטיות תקן. 3 בשכונה ב- גדול מהשטח הממוצע של הדירות (2) הוא ציון תקן חיובי. משמעותו ששטח דירה 2 - ציון התקן (2) דירה סטיות תקן. 2 בשכונה ב- שווה לשטח הממוצע של הדירות בשכונה. (3) , משמעותו ששטח דירה 0 - ציון התקן (3) דירה
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=