מתמטיקה לכיתה ח' - חלק ב'

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 3262 אישור מס': 8.5.14 אושר בתאריך:

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה ואושר על ידי מתאים לתוכנית הלימודים החדשה, הספר "מתמטיקה לכיתה ח' – חלק ב' – סדרת צמרת" משרד החינוך כספר לימוד לכיתות ההטרוגניות. תוכנית הלימודים החדשה של משרד החינוך לכיתות ח' מחולקת לשלושה סבבים. כל אחד מהסבבים הללו מחולק לשלושה תחומים: תחום אלגברי, תחום מספרי ותחום גיאומטרי. ומכיל: אחד מתוך שני כרכים בסדרה"מתמטיקה לכיתה ח' – חלק ב' – סדרת צמרת" הוא – פתרון משוואות ממעלה ראשונה ושאלות מילוליות, אי-שוויונות קוויים, טכניקה תחום אלגברי אלגברית, מערכת משוואות בשני נעלמים ושאלות מילוליות, ערך מוחלט. – אחוזים, סטטיסטיקה, הסתברות ומספרים ממשיים. תחום מספרי – זווית חיצונית למצולע, תיכון במשולש, משולש שווה-שוקיים, שימושי משפט פיתגורס תחום גיאומטרי במרחב. מה מיוחד בספר? • כל פרק מתחיל עם הסבר קצר וברור או משימת פתיחה, ועם תרגילי "מפתח". תרגילי ה"מפתח" נלמדים בכיתה ומהווים כלי עזר מצוין למורה לצורך הסבר החומר. • בסיום כל פרק מופיע סיכום המרכז את החומר הנלמד בפרק. • בכל פרק משולבים בין התרגילים, תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • וכולל בתוכו מספר רב של שאלות, המדורגות ברמות קושי לכל רמות הלימוד הספר מכיל תרגול רב שונות, והמאפשרות לכל התלמידים להתמודד עמן ברמות שונות של עומק. • בנוסף מופיעים תרגילים ברמת קושי גבוהה, המסומנים בסימון * או **, ומיועדים לתלמידים מתקדמים. • התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך" (ברוב המקרים) ולא רק תשובות סופיות. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה, ובו, בנוסף לרציונל הפדגוגי, מופיעים פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות והצעות לדרכי הוראה והמחשה. תמיכה בבתי הספר בתי ספר אשר ילמדו לפי ספר זה, יקבלו ליווי והדרכה. תודתנו נתונה לניצה פיינרו, ונסה זיימן ורווית דוידוב שקראו את הספר, העירו והאירו. הרבה תודה ואהבה על התמיכה והסבלנות נתונות למשפחותינו: בני זוגנו איתן וקרינה, וילדינו עידן, דניאל, מעין, נירם, גבי ואנסטסיה. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. אתי עוזרי & יצחק שלו

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים משוואות ממעלה ראשונה ופתרון שאלות מילוליות 1........................................................................... משוואות ממעלה ראשונה בעלות ביטוי עם נעלם במכנה 15. .......................................................................................................................................... תשובות אי-שוויונות קוויים 17. ......................................................................... תחומי חיוביות ותחומי שליליות של הפונקציה הקווית 29. ................................................................................................................. פתרון אי-שוויונות קוויים 43. .......................................................................................................................................... תשובות טכניקה אלגברית 50. ......................................................................................................................... חוק הפילוג המורחב 57. .......................... ax2+bx=0 פירוק לגורמים על-ידי הוצאת גורם משותף ויישומו לפתרון משוואות מהסוג 66. ............................................................................. צמצום שברים אלגבריים ויישומם לפתרון משוואות 79. .......................................................................................................................................... תשובות מערכת משוואות של שתי משוואות קוויות בשני נעלמים 85. ................................................................................................... היכרות עם מערכת משוואות קוויות פתרון אלגברי של מערכת משוואות ליניאריות בשני נעלמים 96. ........................................................................................................................... שיטת ההצבה 102.......................................................................................................... שיטת השוואת המקדמים 121................................................................... מספר הפתרונות של שתי משוואות ליניאריות בשני נעלמים 131.......................................................................................................................................... תשובות 146..................................................................................................................................... ערך מוחלט 156.......................................................................................................................................... תשובות 160........................................................................................................................................... אחוזים 191.......................................................................................................................................... תשובות

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © סטטיסטיקה 196.............................................................................................. איסוף וארגון של נתונים בדרכי ייצוג שונות 205......................................................................................... שכיחות, שכיח, שכיחות יחסית וטווח הנתונים 215................................................................................................................................................ הממוצע 226.................................................................................................................................................. החציון 239................................................................................................................................................ תשובות הסתברות 252................................................................................................................................... הערכת הסתברות 262............................................................................................. חישוב הסתברות והקשר עם שכיחות יחסית 282................................................................................................................................................ תשובות גיאומטריה 292.................................................................................................................... זווית חיצונית למצולע קמור 300....................................................................................................................................... תיכון במשולש 310............................................................................................................................. משולש שווה-שוקיים 327................................................................................................................................................ תשובות שימושי משפט פיתגורס במרחב 335.................................................................................................................................................... תיבה 349...................................................................................................................................................... גליל 362................................................................................................................................................ תשובות 367................................................................................................................ מספרים ממשיים-הרחבה 377.......................................................................................................................................... תשובות 378....................................................................................................נספח - משימות פתיחה - פתרונות

משוואות ממעלה ראשונה ופתרון שאלות מילוליות משוואות ממעלה ראשונה בעלות ביטוי עם נעלם במכנה משימת פתיחה ,(C = 90˚) DABCנתון משולש ישר-זווית , והיחס ביןAC ס"מ מהניצב2גדול ב- BC שבו הניצב . 4 5 הואBC לניצב AC הניצב ?AB מה אורכו של היתר )378 (פתרון מפורט-בנספח שבסוף הספר, עמ' משימת הפתיחה מבוססת על פתרון משוואה עם נעלם במכנה (שכעת ניחשנו את פתרונה). בפרק זה נעמיק בלימוד הנושא הזה, ונלמד טכניקות לפתרון משוואות בעלות ביטוי עם נעלם במכנה. לצורך לימוד הנושא נתבונן בדוגמה הבאה: דוגמה . 2 10 x = פתרו את המשוואה הבאה: פתרון: . 2 10 5 = , שהרי:x = 5 ניתן לנחש כי פתרון המשוואה הוא נלמד דרך שיטתית ומסודרת לפתרון משוואות מסוג זה. תחילה נבדוק את ההבדל בין משוואות, שבהן מופיע במכנה נעלם, לבין משוואות, שבהן מופיע במכנה מספר. נתבונן בשתי המשוואות הבאות: =2 x 10 .I . ניתן10 במשוואה זו מופיע במכנה המספר , שהרי:x = 20לשער כי פתרון המשוואה הוא . פתרון זה הוא יחיד, שכן עבור כל 2 20 10 = ביטוי שנציב במשוואה יתקבל x ערך אחר של , כלומר לא מתקבל שוויון.לא נכון לדוגמה: .x = 16, x = 70 , x = 40אםמציביםבמשוואה: x 40 2 4 2 x 70 2 7 2 x 16 2 1.6 2 40 10 70 10 16 10 = ⇒ ≠ ⇒ ≠ = ⇒ ≠ ⇒ ≠ = ⇒ ≠ ⇒ ≠ לא מתקבלים שוויונות. שוויון מתקבל הוא פתרוןx = 20 בלבד, ולכןx = 20 עבור המשוואה. , מתקבלx = 20 המספרים, פרט ל - כל עבור .ביטוי לא נכון =2 10 x .II . כפי שציינו, ניתן x במשוואה זו מופיע במכנה נעלם . 2 10 5 = , שהרי:x = 5 לשער שפתרון המשוואה הוא פתרון זה הוא יחיד, שכן עבור כל ערך אחר שנציב , כלומר לא מתקבלביטוי לא נכון במשוואה יתקבל שוויון. , אך קיים הבדל I נראה כי מקרה זה דומה למשוואה מהותי בין שתי המשוואות שכן אם נציב במשוואה .ביטוי חסר משמעות יתקבל ,x = 0 שימו לב! כמו במקרים, ביטוי לא נכון לא מתקבל x = 0 עבור , אלא5 השונה מ - x שבהם מציבים במשוואה הוא ביטוי 2 10 0 = : הריביטוי חסר משמעות מקבלים הוא חסר משמעות 10 0 חסר משמעות, כיוון ש- (לא ניתן לחלק מספר באפס). A B C -1כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים ©

-2כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © באופן הבא: x ניתן למיין את ערכי 2 10 x = אם כן, במשוואה y y : כאשר מציבים ערך זה במשוואה, מתקבל ביטוי חסר משמעות.x = 0 y y : כאשר מציבים ערך זה במשוואה, מתקבל ביטוי נכון, כלומר מתקבל שוויון. לכן קוראים לערך זהx = 5 .פתרון המשוואהx של y y : כאשר מציבים ערך זה במשוואה, מתקבלים ביטויים לא נכונים.5 ו - 0 , פרט ל - x כל ערך של הללו אינם פתרונות של המשוואה. x - לכן ערכי ה מסקנה: בהן, מכיוון שאז יתקבל ביטוי להציבם , שלא ניתן x במשוואות, שבהן מופיע משתנה במכנה, ייתכנו ערכים של חסר משמעות. ערכים אלה אינם שייכים לתחום ההצבה של המשוואה. .x = 0 הוא כל המספרים, פרט ל - 2 10 x = תחום ההצבה של המשוואה ." x ≠ 0 , x הוא כל ערך של 2 10 x = רושמים: " תחום ההצבה של המשוואה תחום ההצבה של המשוואה הוא האוסף של כל ערכי המשתנה, שכאשר מציבים אותם במשוואה מתקבל ביטוי בעל משמעות (נכון או לא נכון). לפני שניגשים לפתרון משוואה כלשהי, יש לקבוע את תחום ההצבה, כלומר קביעת ערכי המשתנה, שעבורם יש למשוואה משמעות. בהמשך נעסוק בהשלכה של תחום ההצבה על פתרון המשוואה. . לאחר שקבענו שתחום ההצבה של המשוואה 2 10 x = נלמד כעת טכניקה לפתרון המשוואה כאל מספר לכל דבר; וכמו במשוואות, שבהן יש במכנה מספר, x - , ניתן להתייחס לx ≠ 0 הוא כדי לקבל משוואה ללא מכנה. x - גם כאן נכפול את שני אגפי המשוואה ב שייך לתחום ההצבה של המשוואה, הוא יכול להיות פתרון שלה. נבדוק כעת את הפתרון. x= 5 מכיוון ש- במשוואה המקורית.x = 5 נציב 2 2 2 10 5 = ⇒ = הוא פתרון המשוואה.x = 5 מתקבל שוויון, ולכן 2 2 / x x 2 x 10 2x / : 2 5 x x 5 10 x 10 x 10 x = = ⋅ ⋅ = ⋅ = = =

-3כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תרגילים )16-15 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' דוגמה פתורה 60 x 3 4 = פתרו את המשוואה הבאה: פתרון: ביטויים בעלי מכנה מופיעים בשני אגפי המשוואה: באגף שמאל של המשוואה מופיע במכנה נעלם, ובאגף הוא היחיד, שכאשר מציביםx = 0 ימין מופיע במכנה מספר. נקבע תחילה את תחום ההצבה. המספר "; או אחרת: x= 0 פרט ל - x אותו במשוואה מתקבל ביטוי חסר משמעות, ולכן תחום ההצבה הוא " כל ." x ≠ 0 , x " כל כעת נרשום את המשוואה ללא מכנים, כמו שנהגנו בפרק הקודם. תחילה נכפול את שני אגפי המשוואה x x x 60 4 60 4 4 240 3x / : 3 80 x x 80 60 x 3 4 60 x 3 4 3x 4 3x 4 / / = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = = = , כדי לרשום את אגף שמאל של המשוואה ללא מכנה. x - ב , כדי לרשום את אגף ימין של המשוואה ללא מכנה.4 כעת נכפול את שני אגפי המשוואה ב- בדיקה: במשוואה המקורית.x = 80 נציב 60 80 3 4 3 4 3 4 = = ⇒ הוא פתרון המשוואה.x = 80 התקבל שוויון, ולכן , כי4x , ניתן לכפול את שני אגפי המשוואה ב -4 ולאחר מכן ב- x במקום לכפול את המשוואה תחילה ב- הוא למעשה המכנה המשותף.4x x x x 60 4 60 4 4 240 3x / : 3 80 x x 80 60 x 3 4 60 x 3 4 3x 4 3x 4 / / = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = = = ניתן לבצע צמצום: / · 4x · 4x · 4x 60 · 4 3 · x 240 3x / : 3 80 x x 80 60 x 3 4 60 x 3 4 60 x 3 4 60 1 x · 4x 1 1 3 1 4 · 1 4x 1 = = = = = = = = / / / /

-4כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 1 1 . פתרו את המשוואות הבאות. א. 5 15 x = ו. 3 5 10 x + = יא. 5 2 x 3 4 = + ב. 4 36 x =− ז. 1 4 24 x − =− יב. 4 2 x 3 7 = + ג. 2 8 x− = ח. 9 11 6 x− + = יג. 3 3 x 1 2 − = ד. 3 12 x − =− ט. 7 10 12 x − = יד. 2 2 5 4 x − = − ה. 4 28 x − = י. 4 7 21 x = − טו. 1 3 4 5 x = − + אנו רואים שלאחר ההכפלה במכנה המשותף ביצענו צמצום שברים. בפתרון המשוואה ניתן לדלג על השלבים הללו ולרשום כך: כלומר רושמים מעל המונים את תוצאת הצמצום של המכנה המשותף במכנים של השברים. למשל: . =x 4x 4 רושמים את תוצאת הצמצום: 3 4 ; מעל =4 4x x רושמים את תוצאת הצמצום: 60 x מעל שימו לב! לאחר שלב זה אין במשוואה מכנים, מכיוון שהם צומצמו עם המכנה המשותף, ולכן המשך הפתרון הוא: = · / 4x 60 x 3 4 4/ x/ / · 4x · 4x · 4x 60 · 4 3 · x 240 3x / : 3 80 x x 80 60 x 3 4 60 x 3 4 60 x 3 4 60 1 x · 4x 1 1 3 1 4 · 1 4x 1 = = = = = = = = / / / / דוגמה פתורה . 1 x 1 3 7 x 13 15 + = − פתרו את המשוואה הבאה: פתרון: הוא היחיד, שכאשר מציבים אותו במשוואה, מתקבל ביטויx = 0 נקבע תחילה את תחום ההצבה. המספר ." x ≠ 0 , x "; או אחרת: " כל x= 0 פרט ל - x חסר משמעות, ולכן תחום ההצבה הוא " כל 15 ו - 3 ; וכדי לקבל משוואה ללא x - במכנה, נכפול את שני אגפי המשוואה ב x כדי לקבל משוואה ללא .15 במכנה, נכפול את שני אגפי המשוואה ב - .15x במקום תהליך ארוך זה ניתן לקבוע כי המכנה המשותף, שבו נכפול את שני אגפי המשוואה, הוא ניתן לדלג על הרישום של שלב זה. → שימו לב! מעל המונה של כל איבר רשום הביטוי שכופלים במונה. כל ביטוי הוא תוצאת הצמצום של במכנים של השברים. (15x) הכפולה המשותפת למשל: ;15x 3 שזה תוצאת הצמצום ,5x רשום 1 3 ; מעל 15x x שזה תוצאת הצמצום ,15 רשום 1 x מעל . 15x 15 שזה תוצאת הצמצום ,x רשום 13 15 ; מעל 15x x שזה תוצאת הצמצום ,15 רשום 7 x מעל לאחר שלב זה אין במשוואה מכנים, מכיוון שהם צומצמו עם המכנה המשותף. 15x 1 x 1 3 7 x 13 15 1 x 1 3 7 x 13 15 / + = − + = − ⋅ 15x 15x 15x 15x / 15x 15 5x 105 13x / 13x , 15 5x 13x 105 15 18x 90 / :18 x 5 1 x 1 3 7 x 13 15 x 3 x 15 1 1 7 13 15/ 5x 15/ x / / ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + = − ⋅ + = − + − + = − = =

-5כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 2 2 . פתרו את המשוואות הבאות. א. 2 x 1 2 5 8 1 4 + = − ד. 14 x 1 2 12 x 1 2 − + = − − ז. 2 9 4 3x 3 2x 59 36 − − = ב. 6 x 3 4 4 x 1 12 − = − ה. 16 x 1 3 1 x 49 12 − + = − + ח. 1 1 4x 3 8x 3 2x 5 8 − = − ג. 7 x 3 7 5 x 4 7 + = − ו. 3 2x 1 4 4 5x 9 20 − + = − − ט. 1 10 3 5x 7 10x 1 2x − = − − 3 3 . .5 והשארית 6 במספר נתון, מקבלים את המנה53 אם מחלקים את המספר . א האם תוכלו לשער את המספר הנתון? . ב את המספר הנתון ובנו משוואה מתאימה.x סמנו ב - . ג פתרו את המשוואה שקיבלתם בסעיף ב'. . ד השוו את תשובתכם לסעיפים א' ו-ג'. 4 4 . . מצאו את המספר הנתון.2 ושארית 3 במספר נתון, מקבלים מנה17 אם מחלקים את המספר 5 5 . ספרים נארזו בכמה קופסאות, ובכל קופסה היה מספר שווה של ספרים.135 .23 ספרים, וכך הגיע מספרם בקופסה זו ל -8 לאחת הקופסאות הוסיפו . א את מספר הקופסאות, והביעו באמצעותו את מספר הספרים שנארזוx סמנו ב - בכל קופסה. . ב בנו משוואה מתאימה, וחשבו את המספר הכולל של הקופסאות, שבהן נארזו הספרים. ** * 6 ק"ג תפוחי אדמה הוא ארז בשקיות בד21 ק"ג תפוחי אדמה בשני סוגי שקיות:48 בעל חנות ירקות ארז גדולות וזהות, ואת שאר הק"ג ארז בשקיות ניילון קטנות וזהות. מספר שקיות הניילון שבהן השתמש היה גדול פי שניים ממספר שקיות הבד. . א את כמות תפוחי האדמה שנארזה בכל שקית בד. x את מספר שקיות הבד, והביעו באמצעותx סמנו ב - . ב את כמות תפוחי האדמה שנארזה בכל אחת משקיות הניילון. x הביעו באמצעות . ג בכמה שקיות בד ובכמה שקיות ניילון השתמשו לצורך האריזה של תפוחי האדמה, אם התברר כי ק"ג?11.5 כמות תפוחי האדמה בשקית בד אחת ובשקית ניילון אחת ביחד הוא בנו משוואה מתאימה ופתרו. (שייך לתחום ההצבה) בדיקה: במשוואה המקורית.x = 5 נציב הוא פתרון המשוואה.x = 5 התקבל שוויון, ולכן 15x 15x 15x 15x / 15x 15 5x 105 13x / 13x , 15 5x 13x 105 15 18x 90 / :18 x 5 1 x 1 3 7 x 13 15 x 3 x 15 1 1 7 13 15/ 5x 15/ x / / ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + = − ⋅ + = − + − + = − = = + = − = = + − ⇒ ⇒ 1 5 1 3 7 5 13 15 3 5 15 7 · 3 13 15 8 15 8 15

-6כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמאות פתורות דוגמה א' . x 3 x 8 2 3 = + + פתרו את המשוואה הבאה: פתרון: שעבורו המכנה שונה מאפס. x כדי לקבוע את תחום ההצבה, יש למצוא את הערך של הוא היחיד, שכאשר מציבים אותו במשוואה, מתקבל ביטוי חסר משמעות, כיx = -8 במקרה זה המספר מתאפס המכנה באגף שמאל של המשוואה.x = -8 עבור 8 3 8 8 0 2 3 = − + − + ." x ≠ -8 , x "; או אחרת: " כל x= -8 פרט ל - x לכן תחום ההצבה הוא " כל .x + 8 באגף שמאל של המשוואה מופיע במכנה הביטוי .3 , ואחר-כך ב -x + 8 נתייחס לערך הביטוי הזה כאל מספר לכל דבר, ונכפול את שני אגפי המשוואה ב - .3(x + 8) ניתן גם לכפול בבת-אחת את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף שימו לב! .מספר אחד מופיע בתוך סוגריים, מכיוון שההתייחסות לערך הביטוי הזה היא כאלx + 8 הביטוי = = ⋅ + + = + + = + − − − = − = + + + + + / 3(x 8) 3(x 3) 2(x 8) 3x 9 2x 16 / 2x, 9 3x 2x 16 9 x 7 x 3 x 8 2 3 x 3 x 8 2 3 3 x 8/ / בדיקה: 7 3 7 8 2 3 10 15 2 3 2 3 2 3 = = = + + ⇒ ⇒ במשוואה המקורית.x = 7 נציב הוא פתרון המשוואה.x = 7 התקבל שוויון, ולכן (שייך לתחום ההצבה) 7 7 . ק"מ.80 , שהמרחק ביניהן הוא B לעיר A מכונית נסעה במהירות קבועה מעיר .3 ק"מ, הגבירה המכונית את מהירותה פי60 , שהמרחק ביניהן C לעיר B בנסיעה מעיר .)B במשך שעתיים וחצי (המכונית לא עצרה בעיר C לעיר A בסך-הכול נסעה המכונית מעיר .B לעיר A קמ"ש את מהירות המכונית בנסיעתה מעיר x- סמנו ב . א .B לעיר A את זמן הנסיעה של המכונית מעירx הביעו באמצעות . ב .C לעיר B את זמן הנסיעה של המכונית מעיר x הביעו באמצעות . ג .B לעיר A בנו משוואה מתאימה, וחשבו את מהירות הנסיעה של המכונית מעיר . ד ?BC ו - ABכמה זמן נסעה המכונית בכל אחד מהקטעים A B C ק"מ60 ק"מ80

-7כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה ב' . 2 2x 5 x 1 = − + פתרו את המשוואה הבאה: פתרון: נקבע תחילה את תחום ההצבה. .x + 1 = 0 מתקיים x , כלומר לאיזה ערך שלx + 1 מתאפס הביטוי x לשם כך צריך לבדוק לאיזה ערך של ." x≠ -1 , x "; או אחרת: " כל x= -1 פרט ל - x , ולכן תחום ההצבה הוא " כלx = -1 ערך זה הוא , שהוא למעשה המכנה המשותף (כי המכנהx + 1 כדי לפתור את המשוואה, נכפול את שני אגפיה בביטוי .) =2 2 1 , כלומר:1 הוא2 של המספר = = ⋅ + − = + − = + − + − = + = − + − + + 2 2 / (x 1) 2x 5 2(x 1) 2x 5 2x 2 / 2x, 5 2x 2x 2 5 0 7 2x 5 x 1 2x 5 x 1 1/ x 1/ .אין פתרון יכול להתקיים, ולכן למשוואה זו שלא קיבלנו ביטוי דוגמה ג' . 2 3x 3 x 1 = − − פתרו את המשוואה הבאה: פתרון: מאפס את המכנה, המופיע באגף שמאל של המשוואה. לכן תחום ההצבה של המשוואהx = 1 ." x ≠ 1 , x "; או אחרת: " כל x= 1 פרט ל - x הוא " כל , שהוא למעשה המכנה המשותף.x - 1 כדי לפתור את המשוואה נכפול את שני אגפיה בביטוי = = ⋅ − − = − − = − − + − = − + = − − − − − 2 2 / (x 1) 3x 3 2(x 1) 3x 3 2x 2 / 2x, 3 3x 2x 2 3 x 1 3x 3 x 1 3x 3 x 1 1/ x 1/ .x ≠ 1 ; אך לפי תחום ההצבהx = 1 למשוואה זו התקבל פתרון יחיד: לא יכול להיות פתרון של המשוואה. x = 1 מכאן ש - =2 0 0 ⇐ =2 3 · 1–3 1–1 ⇐במשוואה המקוריתx = 1 בדיקה: נציב אנו רואים שבאגף שמאל של המשוואה מתקבל ביטוי חסר משמעות, ולכן למשוואה זו אין פתרון. שימו לב! קיים הבדל מהותי בין משוואה זו למשוואה שבדוגמה הקודמת אף-על-פי שלשתי המשוואות אין פתרון. מתקבל 2 3x 3 x 1 = − − לא מתקבל פתרון ללא קשר לתחום ההצבה; ואילו למשוואה 2 2x 5 x 1 = − + למשוואה שאינו שייך לתחום ההצבה, ולכן אינו פתרון של המשוואה המקורית.x ערך של

-8כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 8 8 . פתרו את המשוואות הבאות. א. 3 x 8 x = + ז. 3 x x 4 = − יג. 2x 4 5x 3 5 6 = + − יט. 0 x 5 x 3 1 2 − = − − ב. = − − x 2 x 6 ח. 5 x 12 x = − יד. 4 3 8x 2x 1 = + + כ. 0 x 1 x 7 1 3 + = + − ג. 4 5x 5 x 1 = − − ט. 3 3x 7 x 2 = − − טו. 5x 6 x 4 2 3 = − + כא. 2 8x 24 2x 6 = − − ד. 5 2x 3 x = − י 5 x x 3 = + טז. 1 4x 2x 7 3 5 = − + + כב. 0 1 x 9 2x 3 5 − = − + ה. 6 12 3x x = − − יא. 4 x 10 x = − + יז. 4 7 3x 1 2 9x − = + − כג. 0 2 3 x 6 x 5 − = − − ו. 7 7x 7 x 1 = + + יב. = − − 4 4x 20 x 5 יח. 3 5x 10 x 2 = + + כד. 3 6x 9 3 2x = − − − דוגמה ד' . 3 3x 6 x 2 = + + פתרו את המשוואה הבאה: פתרון: נקבע את תחום ההצבה: x + 2 = 0 ⇒ x = -2 ." x ≠ -2 , x " או אחרת: " כל ;x= -2 פרט ל - x לכן תחום ההצבה הוא " כל לא יכול להיות פתרון של המשוואה. נכפול את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף. x = -2 מכאן ש - 3 3 / (x 2) 3x 6 3(x 2) 3x 6 3x 6 / 3x, 6 3x 3x 6 6 0 0 3x 6 x 2 3x 6 x 2 1 x 2 / / = = ⋅ + + = + + = + − − − = − = + + + + + הוא פתרון של x ; וכפי שלמדנו בפרקים הקודמים, כל ערך של x קיבלנו ביטוי, הנכון לכל ערך של לא x = -2 המשוואה. בשונה ממה שלמדנו בפרקים הקודמים, יש להתחשב כאן בתחום ההצבה, כלומר ;x = -2 פרט ל - x יכול להיות פתרון של המשוואה. לכן פתרון המשוואה הוא כל ערך של " הוא בעצם גם הפתרון של משוואה זו. x ≠ -2 , x כלומר תחום ההצבה של המשוואה " כל

-9כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 9 9 . .3 ממספר שני. היחס בין המספר הגדול למספר הקטן הוא16 מספר אחד גדול ב - . א את המספר הקטן ובנו משוואה מתאימה. x - סמנו ב . ב מצאו את המספרים. 10 1 0 . 2 3 ממספר שני. היחס בין המספר הקטן למספר הגדול הוא6 מספר אחד קטן ב - . א את המספר הגדול ובנו משוואה מתאימה. a - סמנו ב . ב מצאו את המספרים. 11 1 1 . 3 4 , נקבל0.4 אם נחלק מספר נתון במספר הגדול ממנו ב - . א את המספר הנתון ובנו משוואה מתאימה.y סמנו ב - . ב מהו המספר הנתון? 12 1 2 , ונחלק את6 , נחסר מהמכפלה2 , נכפול את הסכום ב-3 השונה מאפס, שאם נוסיף לו x א. מצאו מספר .2 התוצאה שהתקבלה במספר שבחרנו, תתקבל התוצאה הסופית .ב * , את3 ). כל אחד הוסיף למספר שעליו חשב0גבי ודניאל חשבו על מספרים שונים (השונים מ- , וחילק את התוצאה שהתקבלה במספר שעליו חשב.6 , מהמכפלה החסיר2התוצאה כפל ב- שניהם קיבלו אותה תוצאה. (( ( 1 מהי לדעתכם התוצאה שקיבלו שניהם? הסבירו את תשובתכם. (( ( 2 האם ניתן לדעת מהם המספרים שעליהם חשבו גבי ודניאל? הסבירו את תשובתכם. (( ( 3 ) ובצעו עליו את אותן הפעולות שעשו גבי ודניאל0בחרו מספר כלשהו (השונה מ- על המספרים שבחרו. הסבירו את התוצאה שקיבלתם. 13 1 3 ליטרים מים 4 במכל א' ובמכל ב' היתה אותה כמות של מים. העבירו ממכל א' למכל ב', ואז התברר שהיחס בין כמות המים שבמכל א' לבין . 3 5 כמות המים שבמכל ב' הוא . א את כמות המים בכל אחד מהמכלים לפני ההעברה,x סמנו ב - ובנו משוואה מתאימה. . ב מה היתה כמות המים בכל אחד מהמכלים אחרי ההעברה?

-10כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה פתורה . 15 x 2 6 x 1 = + − פתרו את המשוואה הבאה: פתרון: בהבדל מהמקרים הקודמים מופיע הנעלם בשני המכנים של הביטויים המופיעים במשוואה. y y , כלומר כאשר מציבים ערך זהx = -2 עבור x + 2 המכנהמתאפסבאגף שמאל של המשוואה במשוואה, מתקבל ביטוי חסר משמעות. y y , כלומר כאשר מציבים ערך זה במשוואה,x = 1 עבור x - 1 המכנהמתאפסבאגף ימין של המשוואה מתקבל ביטוי חסר משמעות. ."x ≠ -2 , x ≠ 1 , x"; או אחרת: " כלx = –2 ו - x = 1פרט ל-xלכן במקרה זה תחום ההצבה הוא "כל ,x + 2 כדי לקבל משוואה ללא מכנים, ניתן לכפול את המשוואה תחילה בביטוי (או להפך). x - 1 ואחר-כך בביטוי .(x + 2)(x - 1) ניתן גם לכפול את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף: / (x 2)(x 1) 15(x 1) 6(x 2) 15x 15 6x 12 / 6x, 15 15x 6x 12 15 9x 27 x 3 15 x 2 6 x 1 15 x 2 6 x 1 x 1 x 2/ / = = ⋅ + − − = + − = + − + − = + = = + − + − − + בדיקה: במשוואה המקורית.x = 3 נציב = ⇒ = ⇒ = + − 3 3 15 3 2 6 3 1 15 5 6 2 הוא פתרון המשוואה.x = 3 התקבל שוויון, ולכן **1 * 1 בחלון ראווה הרכיבו זכוכיות משני סוגים: צבעונית (החלק האפור בסרטוט) ושקופה. הזכוכית הצבעונית היא בצורת ,LKEM מ'; והמלבן2 שני ריבועים, שאורך כל צלע שלהם , שהוא המסגרת של חלון הראווה. ABCD הדומה למלבן .AB = מ'6 גובה חלון הראווה הוא (ברישום שמות המלבנים הקפדנו על סדר האותיות.) . א ?BC מהו הרוחב של חלון הראווה, כלומר אורך הצלע ובנו משוואה מתאימה.) EK = x (הדרכה: סמנו . ב שקלים. מהי העלות של הזכוכית הצבעונית כולה?35 המחיר של כל מ"ר זכוכית צבעונית הוא R E T K P B C A DM L Q

-11כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 15 1 5 פתרו את המשוואות הבאות. א. 3 x 2 1 x = − ד. 20 x 1 25 x = − ז. − = − + 0 5 2x 1 13 4x 1 ב. 11 x 14 x 3 = + ה. 1 2x 5 10 4 3x = + − ח. 0 7 2x 1 17 6x 1 − = + − ג. 8 x 10 x 1 = + ו. 5 2x 3 7 5x 13 = − − ט. 0 21 25 2x 19 23 2x − = + + 16 1 6 פתרו את המשוואות הבאות. א. − = + + 1 17x 3 6x x 9 2x ה. = − − + 29 12 5x 3 8x 13 x 2x ט. x 8 x 4 2 5 x 2 x 4 + = − + − + ב. + = − 1 8 3x 4x 2 x ו. 2 0 2x 4 x 2 − = − − י. x 5 x 2 1 3 3 x 2 + = + + + ג. x 5 4x 3x 5 6x 1 6 − = − + + ז. = − + + + x 1 x 3 4x x 3 1 2 יא. x 6 x 2 3 8 x 9 x 2 − = − − − − ד. + = − 1 5 2x 2x 5 2x ח. 5 4x 1 x 2 7 x 2 + = − − − יב. + = + − + − x 7 x 5 1 4 23 5x 4(x 5) 17 1 7 . 3 מהמספר השני. אם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן, מקבלים מנה8 מספר אחד גדול ב - מצאו את המספרים. 18 1 8 ממספר שני. אם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן,13 מספר אחד גדול ב - .6 והשארית 2 מקבלים את המנה . א את המספר הקטן ובנו משוואה מתאימה.x סמנו ב - . ב מצאו את המספרים. 19 1 9 ממספר שני. אם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן,22 מספר אחד גדול ב - .2 והשארית 5 מקבלים את המנה . א את המספר הגדול ובנו משוואה מתאימה.x סמנו ב - . ב מצאו את שני המספרים. 20 2 0 ,1 ומחסירים מהמכנה 2 מהמכנה. מוסיפים למונה9 נתון שבר שבו המונה קטן ב - . מצאו את השבר הנתון. 2  __  3 ​ומקבלים שבר השווה ל - 21 2 1 .3 ושארית 4 . אם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן, מקבלים מנה23 סכום שני מספרים הוא מצאו את המספרים. את המספר הקטן.) x - (הדרכה: סמנו ב

-12כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 22 2 2 . אם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן,9 ההפרש בין שני מספרים הוא . מצאו את המספרים.2 ושארית 2 מקבלים מנה את המספר הקטן.) x - (הדרכה: סמנו ב 23 2 3 .5 ושארית הקטנה מהמספר הנתון ב - 7 במספר נתון, ומקבלים מנה43 מחלקים את המספר מצאו את המספר הנתון. 24 2 4 ושארית הקטנה 5 למספר נתון, ואת התוצאה מחלקים במספר הנתון. מקבלים מנה 28 מוסיפים . מצאו את המספר הנתון.2 מהמספר הנתון ב - 25 2 5 ק"מ.80 הוא B לעיר A המרחק מעיר ק"מ.120 הוא C לעיר B המרחק מעיר במהירות קבועה. B ונסע לעיר A אופנוען יצא מעיר קמ"ש, וכך זמן נסיעתו25 הגביר את מהירותו ב - C לעיר B בנסיעתו מעיר .C לעיר B היה זהה לזמן נסיעתו מעיר B לעיר A מעיר . א x קמ"ש, והביעו באמצעותx ב -AB סמנו את מהירות האופנוע בקטע את זמן נסיעתו בקטע זה. . ב .BC את מהירותו וזמן נסיעתו של האופנוען בקטע x הביעו באמצעות . ג בנו משוואה מתאימה וחשבו את מהירותו של האופנוען בכל אחד מהקטעים. 26 2 6 ילדים. בכניסה למוזיאון חילקו את משתתפי הטיול לקבוצות קטנות 40 מבוגרים ו -24 בטיול השתתפו בעלות מספר זהה של משתתפים; אבל הילדים היו בקבוצות נפרדות מקבוצות המבוגרים. ממספר הקבוצות של המבוגרים.2 מספר הקבוצות של הילדים היה גדול ב - . א את מספר המשתתפים בקבוצהx את מספר הקבוצות של המבוגרים, והביעו באמצעות xסמנו ב - אחת של מבוגרים. . ב את מספר הקבוצות של הילדים ואת מספר המשתתפים בקבוצה אחת של ילדים.x הביעו באמצעות . ג בנו משוואה מתאימה, וחשבו כמה קבוצות של ילדים וכמה קבוצות של מבוגרים השתתפו בסיור במוזיאון. A B C ק"מ120 ק"מ80

-13כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 27 2 7 (ברישום שמות המשולשים ∆ABC ~ ∆GFD נתון: הקפדנו על סדר האותיות.) .AB =ס"מ9 ,BD =ס"מ2 ,CF =ס"מ1 ,GF =ס"מ6 ,DG =ס"מ8 . א .AC חשבו את .ב * .DC חשבו את והרכיבו משוואה מתאימה.) x - ב DC (הדרכה: סמנו את 28 2 8 משימת אוריינות - המפגש של האוטובוס והאופנוע. משתי ערים יצאו בו-זמנית אוטובוס ואופנוע זה לקראת זה. .A לעיר B , והאופנוע יצא מעיר B לעיר A האוטובוס יצא מעיר שני כלי הרכב נפגשו, ולאחר מכן המשיך כל אחד בדרכו במהירות, השונה מזו שבה נסע עד הפגישה. שני כלי הרכב הגיעו ליעדם באותו הזמן. I I . בסרטוט מוצגת התנועה של שני כלי הרכב עד המפגש. . א כמה זמן נסע כל אחד מכלי הרכב עד המפגש? . ב מהו המרחק שעבר כל אחד מכלי הרכב עד המפגש? . ג מה היתה מהירות הנסיעה של כל אחד מכלי הרכב עד המפגש? . ד מהו המרחק בין שתי הערים? **I * I קמ"ש ממהירות נסיעתו של האופנוע.15 לאחר המפגש היתה מהירות נסיעתו של האוטובוס גדולה ב - . א מה היתה מהירות הנסיעה של כל אחד מכלי הרכב לאחר המפגש? . ב כמה זמן לאחר המפגש הגיע כל אחד מכלי הרכב ליעדו? . ג , והוסיפו לסרטוט זה את הגרפים המתארים את I העתיקו למחברתכם את הסרטוט שבסעיף התנועה של שני כלי הרכב לאחר המפגש. 29 29 .B - ו A אוטובוס נוסע כל יום בין שתי ערים מורכב משלושה קטעים בסדר הבא: B לעיר A מסלול נסיעתו של האוטובוס מעיר y y כביש סלול. y y כביש בסלילה. y y דרך עפר. A B C D G F x y 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 המרחק (בק"מ) זמן הנסיעה (בשעות) A העיר B העיר 1 2 3 4 5 6 7 **

-14כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © בדיאגרמה שלפניכם מוצגת המהירות של האוטובוס בדרך כלל בכל אחד מהקטעים הללו. האוטובוס נסע: ✔ ✔ בכביש הסלול במשך שעתיים. ✔ ✔ שעות.3 בכביש שבסלילה במשך ✔ ✔ שעות.4 בדרך העפר במשך I I . א. העתיקו למחברתכם את המערכת המסורטטת כאן, והציגו באופן גרפי את התנועה של האוטובוס לאורך כל המסלול. . ב מהו האורך של כל אחד מקטעי הנסיעה? . ג מהו המרחק בין שתי הערים? . ד רשמו נוסחאות, המציגות את מרחק הנסיעה של האוטובוס בכל אחד מהקטעים כפונקציה של הזמן שחולף. . ה מה תוכלו לומר על השיפועים של הפונקציות שבניתם בסעיף ד'? **I * I , ובו-זמנית יצאה B לעיר A ביום מסוים יצא האוטובוס מעיר . הייצוג האלגברי של הישר, המתאר את A לעיר B משאית מעיר תנועת המשאית (כלומר המרחק) כפונקציה של הזמן, .y = –50x + 400 הוא (היעזרו בסרטוט הקודם ובבניית הגרפים של הישרים.) . א כעבור כמה שעות ייפגשו שני כלי הרכב? נמקו את תשובתכם. . ב ייפגשו שני כלי הרכב? A באיזה מרחק מהעיר נמקו את תשובתכם. . ג האם המשאית והאוטובוס יגיעו ליעדם בו-זמנית? הסבירו. אם לא, קבעו מי יגיע ראשון, ותוך כמה שעות. ** **I * * שינתה המשאית את מהירותה בכל אחד משלושת קטעי הדרך. B לעיר A בדרך חזרה מעיר קמ"ש ממהירותה בכביש20 בגלל עומס התנועה נסעה בכביש הסלול במהירות הקטנה ב - שבסלילה ובדרך העפר. בכביש שבסלילה ובדרך העפר נסעה באותה מהירות קבועה. התברר שזמן נסיעתה בכביש הסלול היה שווה לזמן נסיעתה בכביש שבסלילה ובדרך העפר גם יחד. . א מהי מהירות המשאית בכל אחד מהקטעים? . ב כמה זמן נסעה המשאית בכל אחד מהקטעים הללו? 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 המהירות (קמ"ש) 85 כביש סלול כביש בסלילה דרך עפר x y 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 המרחק (בק"מ) זמן הנסיעה (בשעות) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-15כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות תשובות - משוואות ממעלה ראשונה ופתרון שאלות מילוליות 1 1 . 7 י) – 4 ט) –3 ח) –8 ז) 5 ו) – 7 ה) 4 ד) – 4 ג) –9 ב) 3 א) 26 7 טו) 12 3 יד) 6 7 יג) 14 25 יב) 8 17 יא) 2 2 . 6 ט) 1 ח) – 2 ז) 1 ו) – 4 ה) 2 ד) – 2 ג) 3 – ב)16 א) 3 3 . ד) התשובות שוות. 8 ) ג) − =6 53 5 x (או = +6 53 x 5 x ב) 8 א) נוכל לשער שהמספר הוא 4 4 . 5 5 5 . קופסאות. 9 , + =8 23 135 x ב) 135 x א) 6 6 . שקיות ניילון.6 שקיות בד;3 ; + =11 21 x 27 2x 1 2 ג) 27 2x ב) 21 x א) 7 7 . : חצי שעה BC : שעתיים; קטעAB קמ"ש. ד) קטע40 ; + =2 80 x 60 3x 1 2 ג) 60 3x ב) 80 x א) – 4 ה) –1 ד) ג) אין פתרון 2 ב) 4 א) .8 – 3.75 י) ט) אין פתרון 10 ח) 6 ז) x ≠ – 1 ,x ו) כל 2 יד) אין פתרון טו) 3 יג) x ≠ 5 ,x יב) כל –8 יא) 1 כ) 7 יט) יח) אין פתרון 1 יז) –1 טז) x 11 2 ≠ ,x כד) כל 8 כג) –2 כב) כא) אין פתרון 1.2 ב) y y 0.4 3 4 = + א) .11 18 ,12 ב) a 6 a 2 3 = − א) .10 24 ,8 ב) = + 3 x 16 x א) .9 12 1 2 .x ≠ 0 , x א) כל ) ב , כלומר ערך0הוא כל מספר השונה מ- 2 2(x 3)–6 x = + ) בסעיף א' ראינו כי פתרון המשוואה 1( . לכן לא משנה המספר שעליו חשבו גבי0השונה מ-x עבור כל ערך של 2הוא 2(x 3)–6 x + הביטוי .x ≠ 0 עבור כל 2, שערכו שווה ל- 2(x 3)–6 x + ודניאל, לאחר ביצוע הפעולות מתקבל אותו ביטוי ( 2) הוא 2(x 3)–6 x + לא ניתן לדעת מהם המספרים שעליהם חשבו גבי ודניאל, מכיוון שערך הביטוי .x = 0פרט ל- x עבור כל ערך של 2קבוע ושווה ל- ( 3) .)1(- הסבר כמו בסעיף ב 13 1 3 ליטרים 20 ליטרים, 12 ב) = − + x 4 x 4 3 5 א) 14 1 4 שקלים1400 ב) מ'12 א) 15 1 5 –2 ט) 3 ח) 3 ז) 4 ו) –2 ה) 5 ד) 4 ג) 11 ב) –1 א) 16 1 6 1 ז) x ≠ 2 , x ו) כל –3 ה) x ≠ 0 , x ד) כל 5 ב) אין פתרון ג) 3 א) x ≠ 5 , x יב) כל 10 י) אין פתרון יא) 11 ח) אין פתרון ט) 17 1 7 20 ,7 ) ב) = + − 2 x 13 6 x (או = + + 2 x 13 x 6 x א) .18 12 ,4 19 1 9 27 ,5 ) ב) ​  = + − 5 x 22 2 x (או = + + 5 x 22 x 2 x ) אפשר גם: = − − 5 x 2 x 22 (או = + − − 5 x x 22 2 x 22 א) 20 2 0 6 .24 6 .23 16 , 7 .22 4 , 19 .21 10 19 25 2 5 + 120 x 25 קמ"ש; הזמן:x + 25 ב) המהירות: 80 x א) קמ"ש.75 :BC קמ"ש; בקטע50 :AB ; בקטע = + 80 x 120 x 25 ג)

-16כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות 26 2 6 קבוצות.3 קבוצות; מבוגרים:5 ; ילדים: = + 24 x 40 x 2 ג) + 40 x 2 ;x + 2 ב) 24 x א) 27 2 7 ס"מ1 ב) ס"מ12 א) 28 2 8 שעות.3 . א) I ק"מ.180 ק"מ; אופנוע:120 ב) אוטובוס: קמ"ש.60 קמ"ש; אופנוע:40 ג) אוטובוס: ק"מ.300 ד) 29 2 9 . א) I II II שעות.4 א) ) ב ק"מ.200 ) ג לא; המשאית תגיע שעה לפני האוטובוס. חותכת y = –50x + 400 הפונקציה .(8,0) בנקודה x - את ציר ה III I I קמ"ש;40 א) כביש סלול: קמ"ש.60 כביש בסלילה ודרך עפר: ) ב שעות;4 כביש סלול: שעה;1 כביש בסלילה: שעות.3 דרך עפר: קמ"ש.30 קמ"ש; אופנוע:45 . א) אוטובוס: II שעות.4 ב) ג) x y 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 המרחק (בק"מ) זמן הנסיעה (בשעות) A העיר B העיר 1 2 3 4 5 6 7 אופנוע אופנוע אוטובוס אוטובוס x y 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 המרחק (בק"מ) זמן הנסיעה (בשעות) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 דרך עפר כביש בסלילה כביש סלול ) ב ק"מ.160 כביש סלול: ק"מ.60 כביש בסלילה: ק"מ.180 דרך עפר: ) ג ק"מ.400 ) ד .y = 80x כביש סלול: .y = 20x + 120 כביש בסלילה: .y = 45x – 5 דרך עפר: ) ה השיפועים של הפונקציות מייצגים את מהירות הנסיעה של האוטובוס בקטע המתאים. x y 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 המרחק (בק"מ) זמן הנסיעה (בשעות) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (4,200)

-292כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © גיאומטריה זווית חיצונית למצולע קמור לפניכם משולש כלשהו. האריכו את אחת מצלעות המשולש, וכך התקבלה זווית הצמודה לאחת הזוויות הפנימיות במשולש. הן זוויות פנימיות (זוויות שנוצרות על - ידי צלעות γו- β , αאנו רואים, שבמשולש הנתון שלוש הזוויות , וקרניה הן אחתγ היא זווית צמודה לזווית הפנימיתδ המשולש והן בתוך המשולש). הזווית החדשה שנוצרה .זווית חיצונית למשולש מצלעות המשולש וההמשך של צלע נוספת. לזווית מסוג זה קוראים באותו אופן ניתן ליצור זווית חיצונית לכל מצולע קמור. מכאן ניתן להגדיר זווית חיצונית כך: בפרק זה נעסוק בתכונותיה של זווית חיצונית למצולע קמור. מה נלמד? ✔ ✔ נלמד מהי זווית חיצונית ומהן תכונותיה. ✔ ✔ נלמד לפתור שאלות שונות תוך שימוש בתכונותיה של הזווית החיצונית. לדרך... תרגילים ) 328-327 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 1 1 . האריכו את שתי הצלעות של משולש נתון, והתקבלו שלוש הזוויות המצויינות .I .γו- β , α בסרטוט: אילו זוויות הן זוויות צמודות לזווית הפנימית (המושחרת) של המשולש? . Ⅱ . א האריכו את שתי הצלעות של משולש נתון, והתקבלו הזוויות שבסרטוט. ציינו את הזוויות החיצוניות למשולש מתוך שלוש הזוויות שהתקבלו בסרטוט. . ב האריכו את שלוש הצלעות של משולש נתון. רשמו את כל הזוויות החיצוניות למשולש. ⇒ ⇒ β α γ β α γ β α γ δ זווית הצמודה לאחת הזוויות הפנימיות של מצולע קמור נקראת זווית חיצונית למצולע. או אחרת: זווית חיצונית למצולע קמור היא הזווית שבין צלע אחת של המצולע לבין המשך הצלע הסמוכה לה. β α γ .זווית חיצונית למשולש זווית הצמודה לזווית פנימית של המשולש נקראת 3 1 2 5 3 4 8 7 9 1 6 2

Made with FlippingBook

RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=