מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף חלק א'

3292 אישור מס': 2.3.16 אושר בתאריך: סדרת מעוף

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' -סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה ואושר על ידי מתאים לתוכנית הלימודים החדשה, הספר "מתמטיקה לכיתה ט' – חלק א' – סדרת מעוף" משרד החינוך. ומכיל: אחד מתוך שני כרכים בסדרה"מתמטיקה לכיתה ט' – חלק א' – סדרת מעוף" הוא – חזקות ושורשים, כתיבה מדעית של מספרים, טכניקה אלגברית ופונקציה ריבועית. תחום אלגברי – משולש שווה-שוקיים, דלתון, ישרים מקבילים, טרפז ומקבילית. תחום גיאומטרי מה מיוחד בספר? • כל פרק מתחיל עם תרגילי "מפתח". תרגילי ה"מפתח" נלמדים בכיתה ומהווים כלי עזר מצוין למורה לצורך הסבר החומר. • בסיום כל פרק מופיע סיכום המרכז את החומר הנלמד בפרק. • בכל פרק משולבים בין התרגילים, תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך" (ברוב המקרים) ולא רק תשובות סופיות. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה, ובו, בנוסף לרציונל הפדגוגי, מופיעים פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות והצעות לדרכי הוראה והמחשה. תמיכה בבתי הספר בתי ספר אשר ילמדו לפי ספר זה, יקבלו ליווי והדרכה. תודתנו נתונה לניצה פיינרו, טלי רואש, ונסה כוכבי וגרשון ברומברג שקראו את הספר, העירו והאירו. הרבה תודה ואהבה על התמיכה והסבלנות נתונות למשפחותינו: בני זוגנו איתן וקרינה, וילדינו עידן, דניאל, מעין, נירם, גבי ואנסטסיה. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. אתי עוזרי & יצחק שלו

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' -סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים חזקות ושורשים 1....................................................................................................................... חזקות עם מעריך טבעי 9............................................................................................................ סדר פעולות החשבון עם חזקות 15............................................................................................ מכפלה ומנה של חזקות בעלות בסיס זהה 25................................................................................................................................ חזקה של חזקה 30................................................................................................................. חזקה של מכפלה ושל מנה 37............................................................................................. חזקות בעלות מעריך אפס ומעריך שלילי 44................................................................................................................ כתיבה מדעית של מספרים 52............................................................................................................................. שורשים ריבועיים 64.......................................................................................................................................... תשובות טכניקה אלגברית - נוסחאות הכפל המקוצר 77................................................................................................ ויישומה a2 – b2 נוסחת הכפל המקוצר 84........................................................................... ויישומן (a – b)2 ו - (a + b)2 נוסחאות הכפל המקוצר 96.......................................................................................................... צמצום, כפל וחילוק של שברים 111............................................................................................................... משוואות עם נעלם במכנה 118........................................................................................................................................ תשובות

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' -סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הפונקציה הריבועית 124.............................................................................................. והגרף שלה (a ≠ 0) y = ax2 הפונקציה 142.................................................................) (הזזות אנכיות a ≠ 0 כאשר y = ax2 + c פונקציה מהצורה 158........................................................................................................................................ תשובות גיאומטריה 168..................................................................................................................... ארגז הכלים המצטבר 171...................................................................................................................... משולש שווה-שוקיים 194........................................................................................................................................... דלתון 215................................................................................................................... ישרים מקבילים וטרפז 241....................................................................................................................................... מקבילית 274........................................................................................................................................ תשובות

-1כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © חזקות ושורשים חזקות עם מעריך טבעי שנלמד בעבר, וכאן יילמד בהרחבה.חזקות בפרק זה נחזור על המושג .6 · 6 · 6 · 6 נתבונן בדוגמה: . אנו רואים שלפנינו מכפלה של ארבעה גורמים1296 כאשר נכפול את המספרים הללו, נקבל את התוצאה . מקובל לרשום את המכפלה בדרך מקוצרת באופן הבא:6הזהים זה לזה: כל אחד מהם שווה ל- .6 · 6 · 6 · 6 = 64 y y .4 בחזקת6 קוראים64 לרישום y y .בסיס החזקה נקרא 6 המספר y y מעריך החזקה.נקרא 4 המספר , אלא כתיבה מקוצרת של פעולת הכפל.6 · 6 · 6 · 6 אינו החישוב של המכפלה 64 חשוב לציין: מה נלמד? ✔ ✔ נחזור על הרישום של חזקות. ✔ ✔ נחזור על חזקות שבהן הבסיס הוא מספר שלילי. לדרך... תרגילים )66-64 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 1 1 . לפניכם סדרה המכילה קבוצות של עיגולים. .I , , , ... . א נסחו במילים שלכם את החוקיות של הסדרה. . ב כמה עיגולים יהיו במקום הרביעי בסדרה? הסבירו. . ג כמה עיגולים יהיו במקום השישי בסדרה? הסבירו. . ד בסדרה? (רשמו את תשובתכם בכתיב חזקות.)500 מה מספר העיגולים שיהיו במקום ה- . ה בסדרה?n מה מספר העיגולים שיהיו במקום ה-

-2כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . Ⅱ . א העתיקו למחברתכם ורשמו בכתיב חזקות. 5 · 5 · 5 = 5 )1( (–9) · (–9) = (–9) )6( 7 · 7 · 7 · 7 = 4 )2( (–0.2) · (–0.2) · (–0.2) =_________ )7( 12 · 12 · 12 · 12 · 12 =_________ )3( 5 7 5 7 5 7 5 7 ( ) ( ) ( ) ( ) − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = _________ )8( 0.5 · 0.5 =_________ )4( x · x · x · x · x · x · x = x )9( 1 3 1 3 1 3 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ ⋅ ⋅ = _________ )5( y · y · y · y · y =_________ )10( . ב רשמו את החזקות הבאות בצורת מכפלה (במידת האפשר) וחשבו. 26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64 )1( (–0.1)5 =____________________ )7( 54 =____________________ )2( 6 7 4 ( ) − =____________________ )8( 2 3 2 ( ) = ____________________ )3( 04 =____________________ )9( 0.43 =____________________ )4( 110 =____________________ )10( (–4)3=(–4) · (–4) · (–4) = –64 )5( 2.51 =____________________ )11( (–6)2=____________________ )6( (– 4.1)1=____________________ )12( הגדרה (תזכורת) . a a a a ... a n    = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ פעמים n ומשמעותו: an יירשם בצורת n בחזקת a המספר בסיס החזקה. נקרא a מעריך החזקה.נקרא n a הוא מספר טבעי (מספר שלם וחיובי), והוא מראה כמה פעמים מופיע הגורםn המספר במכפלה. ✔ ✔ a1 = a ✔ ✔ .0n = 0 ובכלל: 02 = 0

-3כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . Ⅲ -ב באמצעות המחשבון. Ⅱ בדקו את תוצאות התרגילים שבסעיף 2 2 . רשמו בכתיב חזקות. .ז (–7)·(–7)·(–7) = (–7)3 .א 4·4·4·4·4 = 45 .ח (–5)·(–5)·(–5)·(–5) .ב 7·7·7·7·7·7 .ט – – – 4 5 4 5 4 5 ( ) ( ) ( ) · · .ג 2 7 2 7 2 7 · · 2 7 3 ( ) = .י (–1.3) · (–1.3) .ד 3 4 3 4 3 4 3 4 · · · .יא x·x·x·x·x·x·x = x7 .ה 1.5·1.5·1.5·1.5 =1.54 .יב b·b·b·b·b .ו 0.3·0.3·0.3·0.3 ניתן לבצע את פעולת ההעלאה בחזקה על-ידי שימוש במחשבון. שמופיעים במחשבון (לפי סוג המחשבון). למשל: ∧ או xy ניתן להיעזר במקשים ✔ ✔ :35 חישוב הביטוי 3 3 x 5 243 5 y = → → → = → או 3 3 5 243 5 = → ∧ → → = → ✔✔ :(–3)5 חישוב הביטוי או –3 (–3) 5 –243 5 ( ) = → ∧ → → = → ( ) 5 –3 (–3) x 5 –243 5 y ( ) = → → → = →

-4כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 3 3 . רשמו את החזקות הבאות בצורת מכפלה וחשבו. בדקו את תשובתכם באמצעות מחשבון. .ה 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 16 4= = ( ) · · · .א 25 = 2·2·2·2·2=32 .ו 3 4 3= ( ) .ב 33 .ז 5 6 2= ( ) .ג 16 .ח 1.53 .ד 104 4 4 . חשבו את החזקות הבאות. .ה (–0.4)2 = (–0.4)·(–0.4) = 0.16 .א (–2)6 = (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2) = 64 .ו (–0.5)3 .ב (–1)5 .ז (–0.6)1 .ג (–3)4 .ח – 1 4 2 ( ) .ד (–7)3 5 5 . .I תזכורת y y , ערך החזקה הוא חיובי.a > 0 הוא מספר חיובי, an כאשר בסיס החזקה 5 , 0.4 , , 2.5 2 3 10 21 45 88 ( ) למשל: y y , ערך החזקה תלוי במעריך:a < 0 הוא מספר שלילי, an כאשר בסיס החזקה ✔ ✔ הוא מספר זוגי, התוצאה היא חיובית.n כאשר המעריך ( 7) , ( 2.3) , 5 7 16 24 40 ( ) − − − למשל, כל הביטויים הבאים חיוביים: ✔ ✔ הוא מספר אי-זוגי, התוצאה היא שלילית.n כאשר המעריך ( 4) , ( 0.8) , 4 9 13 29 51 ( ) − − − למשל, כל הביטויים הבאים שליליים:

-5כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . א קבעו את סימן התוצאה של הביטויים הבאים. )7( (–0.7)19 = )4( (–15)43 = )1( (–3)15 = "–" )8( –(–4)16 = )5( (–9)56 = )2( (–12)40 = "+" )9( –(–12)37 = )6( (–2.5)10 = )3( (–7)20 = . ב קבעו את סימן התוצאה של הביטויים הבאים (הסבירו את ההבדלים ביניהם). .–203 ו - (–20)3 )2( .–204 ו - (–20)4 )1( . Ⅱ קבעו את סימן התוצאה של הביטויים הבאים. .ז (–5)9 = .ד (–8)15 = .א (–5)8 = –(– .ח10)2 = .ה –126 = .ב –711 = .ט –(–12)3 = .ו (–2)6 = .ג –910 = תזכורת y y , ולכן:–a הסוגריים מציינים כי בסיס החזקה הוא (–a)n בביטוי למשל: y y , והסימן "–" מתייחס לכל הביטוי.a בסיס החזקה הוא–an בביטוי לצורך המחשה ניתן לרשום גם כך: למשל: פעמים n      = (–a) (–a) (–a) (–a) (–a) · · · ... · n פעמים 4      = = (–2) (–2) (–2) (–2) (–2) 16 · · · 4 פעמים n    = = –a 1 a –1 a a a a n – · n · · · · . . . · פעמים 4    = = –3 1 3 3 3 3 –1 81= –81 – · · · · · 4

-6כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 6 6 . א. חשבו את ערכם של הביטויים הבאים. )9( –14 )5( –(–3)5 )1( (–2)4 (10) – 2 5 2 ( ) )6( (–1)4 )2( (–3)5 )11( –(–4)2 )7( ( )1 2 3 )3( 53 (12) 2 3 4 ( ) )8( –83 )4( ( ) –3 4 2 . ב כדי לעבור את המבוך מתחילתו ועד סופו, יש לצאת למסע ב"גישה חיובית", כלומר יש לפתור את כל התרגילים הבאים ולעבור רק דרך התאים שתוצאת התרגיל בהם היא חיובית. סרטטו באמצעות חיצים את המסלול. 7 7 . ) בתרבית חיידקים מתחלק כל חיידק לשניים כל שעה. 1( חיידקים מחיידק אחד?32 תוך כמה שעות ייווצרו התחלה סוף – 1 2 5 ( ) –3 5 2 ( ) 1 2 8 ( ) ( ) – 1 4 3 –2 –3 2 ( ) (–2)2 –16 (–1)8 (–3)4 –0.13 –(8)2 – (–6)3 –18 (–0.1)3 –72 ( ) −1 2 2

-7כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ) הוסיפו את מעריך החזקה בתוך הריבוע כדי שיתקיים שוויון. 2( .י 1 2 1 4 = ( ) .ז (–2) – 128 = .ד 3 81 = .א 10 100 = .יא 2 3 8 27 = ( ) .ח (–7) 49 = .ה 6 36 = .ב 3 27 = .יב –4 5 16 25 = ( ) .ט (–2) – 8 = .ו 10 1000 = .ג 5 125 = (( ( 3 .52 , 53 , 54 , 55 , ... א. התבוננו בתוצאות של החזקות: באיזו ספרה מסתיימות התוצאות של כל החזקות הללו? . ב ? הסבירו.5k = 676 כך שמתקיים ,k האם יש מספר שלם . ג ? הסבירו.5 כחזקה שלמה של17563 האם ניתן לרשום את המספר 8 8 . ?125 כדי לקבל את המספר3 ) איזה מספר יש להעלות בחזקת 1( ?256 כדי לקבל את המספר4 ) איזה מספר יש להעלות בחזקת 2( ) הוסיפו את בסיס החזקה בתוך הריבוע כדי שיתקיים שוויון. 3( .ז – 8 3 = .ד 16 4 = .א 8 3 = .ח – 32 5 = .ה 2 1 4 = .ב 25 2 = .ט –1 7 = .ו 3 1 125 = .ג 81 4 =

-8כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 9 9 . 10 . כל איבר בסדרה, החל באיבר השני, גדול פי10 נתונה סדרת מספרים, שבה האיבר הראשון הוא מהאיבר שלפניו. . א בסדרה.5ציינו איזה ביטוי מבין הביטויים הבאים מייצג את האיבר ה- 510 )4( 105 )3( 10 + 5 )2( 5 · 10 )1( . ב (מיליארד)? 1,000,000,000 באיזה מקום בסדרה נמצא המספר 10 1 0 ס"מ. a נתונה קובייה שאורך צלעה . א ציינו איזה ביטוי מבטא את נפחה של הקובייה. a3 )4( 3a )3( 3a )2( 3a2 )1( . ב סמ"ק?64 , אם נפח הקובייה הואa מהו הערך של סיכום הפרק (חזקות עם מעריך טבעי) y y .    = a a ·a ·a ·... ·a n פעמים n , ומשמעותו:an יירשם בצורת nבחזקהa המספר ✔ ✔ נקרא "בסיס החזקה", והוא מספר כלשהו. a ✔ ✔ נקרא "מעריך החזקה", והוא מספר טבעי (חיובי ושלם). n (–10)4 = (–10) · (–10) · (–10) · (–10) , 63 = 6 · 6 · 6 דוגמאות: y y .חיובי, ערך החזקה הואa > 0 הוא מספר חיובי, an כאשר בסיס החזקה 34 = 81 , 23 = 8 דוגמאות: y y במעריך: תלוי, ערך החזקהa < 0 הוא מספר שלילי, an כאשר בסיס החזקה ✔ ✔ הוא מספר זוגי, התוצאה היא חיובית.n כאשר המעריך ✔ ✔ הוא מספר אי-זוגי, התוצאה היא שלילית.n כאשר המעריך דוגמאות: , כלומר מספר זוגי.6 הוא חיובי, כי המעריך הוא (–12)6 ערך הביטוי , כלומר מספר אי-זוגי.7 הוא שלילי, כי המעריך הוא (–12)7 ערך הביטוי y y a , תוצאת פעולת החזקה היא n =1 , כלומר1 הוא an כאשר מעריך החזקה .a1 = a שווה למספר עצמו):1 (כל מספר בחזקת ( ) = = = – – , (–7) – 7 , 5 5 2 3 2 3 1 1 1 דוגמאות: y y .0n = 0 , תוצאת החזקה היא אפס: a = 0 , הוא אפס an כאשר בסיס החזקה 012 = 0 , 07 = 0 , 05 = 0 דוגמאות: ( – ) אי-זוגי = – , ( – ) זוגי = +

-65כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות 1 16 ח) – 0.6 ז) – 0.125 ו) –343 ד) 81 ג) –1 ב) .4 5 5 . + )9( – )8( – )7( + )6( + )5( – )4( + )3( ) . אI ) ב .(4) בחזקה זוגית (–20) הוא חיובי, כי מעלים מספר שלילי (–20)4 ערך הביטוי ● )1( y y , ולכן התוצאה4 בחזקת (20) הוא שלילי, כי מעלים מספר חיובי–204 ערך הביטוי חיובית; אך ה-"-" לפני הביטוי הופך את התוצאה לשלילית (פעולת החזקה קודמת למינוס). .(3) בחזקה אי-זוגית (–20) הוא שלילי, כי מעלים מספר שלילי (–20)3 ערך הביטוי ● )2( y y , ולכן התוצאה3 בחזקה (20) הוא שלילי, כי מעלים מספר חיובי–203 ערך הביטוי חיובית; אך ה- "-" לפני הביטוי הופך את התוצאה לשלילית (פעולת החזקה קודמת למינוס). II I I + ט) – ח) – ז) + ו) – ה) – ד) – ב) – ג) + א) 1 )6( 243 )5( 9 16 )4( 125 )3( –243 )2( 16 )1( א) .6 16 81 )12( –16 )11( – 4 25 )10( –1 )9( –512 )8( 1 8 )7( ב) 7 7 . שעות. ניתן לתרגם את השאלה כך:5 )1( "?32 כדי לקבל את המספר2 "באיזו חזקה צריך להעלות את המספר .25 = 32 , כי5 . התשובה היא2 = 32 כלומר: 2 יב) 3 יא) 2 י) 3 ט) 2 ח) 7 ז) 3 ו) 2 ה) 4 ד) 3 ג) 3 ב) 2 ) א) 2( . 5 ) א) בספרה 3( ) ב לא קיים מספר שלם נוסף. 5 ל- 4 ובין ,55 = 3125 ו- 54 = 625 לא, כי ) ג הוא5 . (הערה: יש לזכור שלא כל מספר שמסתיים ב-5 לא, כי המספר לא מסתיים בספרה ). 5 בהכרח חזקה שלמה של 8 8 . .53 = 125 , כי5 )1( (( ( 2 .(– 4)4 = 256 וגם 44 = 256 , כי – 4 , 4 –1 ט) –2 ח) –2 ז) 1 5 ו) 1 2 ± ה) ±2 ד) ±3 ג) ±5 ב) 2 ) א) 3( סוף התחלה + + – – – + – – – + + – + – + +

-66כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות 9 9 . )3( ) א ) ב במקום התשיעי. 10 1 0 a = 4 ב) (4) א) 25 ח) 400 ז) 17 ו) 127 ה) 5 ד) 32 ג) 14 ב) 28 א) .11 299 טז) 6 טו) 32 יד) 16 יג) 16 יב) 27 יא) 45 י) 328 ט) 27 יב) 4 יא) 8 י) 320 ח) 320 ז) 28 ו) 618 ד) 101 ג) 2 ב) .12 8 ח) 500 ז) 864 ו) 72 ה) 112 ד) 106 ג) 320 ב) .13 10 ,20 ,40 ,80 .14 3600 ה) 2 ד) 45 ג) 108 ב) .16 0 ה) 107 ד) 22 ג) 276 ב) .15 4 ב) 80 א) .17 סמ"ק728 ב) a3 + b3 א) .18 1 ה) 64 ד) 8 ג) 49 ב) .19 73 ד) 65 ג) 8 ב) .21 –27 ד) 60 ג) –56 ב) .20 .22 ה ג ע ת ל י ע ד 80 64 12 11 4 1 –3 –44 –28 ד) –28 ג) –104 ב) 9 א) .23 31 ב) –1 א) .24 –14 ג) –7 ב) 238 א) .25 503 ג) 59 ב) –96 א) .26 –11 , 49 , –131 .27 –194 ד) –35 ג) 72 ב) –24 א) .28 –1 ד) 64 ג) 125 ב) 9 א) .29 . א)I .30 (1) 53 · 52 = (5 · 5 · 5) · (5 · 5) = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 55 (2) 45 · 43 = (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 · 4 · 4) = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 48 (3) 64 · 62 = (6 · 6 · 6 · 6) · (6 · 6) = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 66 ) ב (1) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 2 3 2 3 5     = = · · · · · · · · · (2) 75 (3) (i) II I I 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 3 4 7     = = · · · · · · · 4 פעמים 3 פעמים ) , כי: 4( (–5)14 ה) 2.44 ד) 2 3 9 ( ) ג) 410 . ב) Ⅲ x12 ח) (–0.4)6 ז) – 3 11 3 ( ) ו) פעמים פעמים פעמים

-168כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © גיאומטריה ארגז הכלים המצטבר בפרק זה נסכם את המשפטים והכללים שנלמדו בשנים שעברו. y y צלע, זווית, צלע (צ.ז.צ.) משפט חפיפה ראשון - אם שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן במשולש אחד שוות בהתאמה (אחת לאחת) לשתי הצלעות והזווית הכלואה ביניהן במשולש אחר, אזי המשולשים חופפים. y y זווית, צלע, זווית (ז.צ.ז.) משפט חפיפה שני - אם צלע ושתי הזוויות שלידה במשולש אחד שוות בהתאמה (אחת לאחת) לצלע ושתי הזוויות שלידה במשולש אחר, אזי המשולשים חופפים. y y צלע, צלע, צלע (צ.צ.צ.) משפט חפיפה שלישי - אם שלוש צלעות במשולש אחד שוות בהתאמה (אחת לאחת) לשלוש צלעות במשולש אחר, אזי המשולשים חופפים. y y משפט חפיפה של משולשים ישרי-זווית שני משולשים ישרי-זווית, שלהם ניצב שווה ויתר שווה, חופפים זה לזה. y y דמיון משולשים אם לשני משולשים זוויות שוות, אזי הם דומים, ולכן קיים יחס דמיון בין הצלעות, כלומר: AB KT =BC TP =AC KP ⇐ ΔABCΔKTP ⇐ A=K B=T C=P ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪ y y זוויות צמודות :180° משפט: סכום זוויות צמודות שווה ל - α + β = 180° B A C T K P αβ

-169כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ארגז הכלים המצטבר-המשך y y זוויות קדקודיות משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו: β = δ , α = γ y y זוויות מתאימות וזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים משפט: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי: . א כל שתי זוויות מתחלפות שוות: 1 = 7 , 2 = 8 , 4 = 6 , 3 = 5 . ב כל שתי זוויות מתאימות שוות: 1 = 5 , 4 = 8 , 2 = 6 , 3 = 7 y y :180° משפט: סכום שלוש הזוויות במשולש כלשהו הוא .α + β + γ = 180° y y :90˚ משפט: במשולש ישר-זווית סכום הזוויות החדות הוא a + b = 90˚ y y .180˚(n – 2) צלעות הואn משפט: סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור בעל y y זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה: γ = α+β y y זווית חיצונית למשולש גדולה מכל זווית פנימית שאינה צמודה לה: g > b , g >a y y סכום אורכי שתי צלעות כלשהן במשולש גדול מאורכה של הצלע השלישית: c + b > a , a + c > b , a + b > c הערה: שלושת התנאים חייבים להתקיים בו-זמנית. α β δ γ 56 7 8 12 3 4 α β γ α β γ α β γ α β b c a

-170כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ארגז הכלים המצטבר-המשך y y במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו: B =C⇐ AC = AB y y במשולש שווה-שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס וגם תיכון לבסיס: , A 1 = A 2 ו- AB = ACאם .BD = DC ו- AD⊥BC אזי y y במשולש שווה-שוקיים הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם תיכון לבסיס: ,AD⊥BC ו- AB = ACאם .BD = DC ו- A 1 = A 2 אזי y y במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם גובה לבסיס: ,BD = DC ו - AB = ACאם .AD⊥BC ו - A 1 = A 2 אזי y y משפט פיתגורס בכל משולש ישר-זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר: a2 + b2 = c2 y y התיכון לצלע במשולש מחלק אותו לשני משולשים שווי - שטח: S ∆ABD = S ∆CBD y y מקבילית הגדרה: מקבילית היא מרובע, שבו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות זו לזו: BC || AD , AB || DC A B C A B C 21 D A B C 21 D A B C 21 D a c b C A B D A B C D

-171כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © משולש שווה-שוקיים בשנים קודמות למדנו על משולש שווה-שוקיים, ובפרק זה נחזור ונעמיק בנושא זה. מה נלמד? ✔ ✔ נחזור ונתרגל שאלות הקשורות למשולש שווה-שוקיים. ✔ ✔ נכיר משפטים חדשים הקשורים למשולש שווה-שוקיים. לדרך... תרגילים )278 - 274 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 1 1 . .I . א .(AB = AC) ∆ABCלפניכם משולשים שווי-שוקיים (אורכי הצלעות נתונים בס"מ). x הסתמכו על הנתונים שבסרטוט, ומצאו את ערך הנעלם 9 x A B C )3( )2( 6.5 x A B C )1( x A B C 49° x = _________ x = _________ x = _________ • תזכורת - משולש ששתיים מצלעותיו שוות: משולש שווה-שוקיים AB = AC ✔ ✔ שוקיים - הצלעות השוות של המשולש: .AC ו- AB ✔ ✔ .BC בסיס - הצלע הנוספת: ✔ ✔ זוויות הבסיס - שתי הזוויות שליד הבסיס: .C ו- B ✔ ✔ .A זווית הראש - הזווית שבין השוקיים: y y תזכורת במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו. משפט: .B =C אזי ,AB = ACכלומר: אם בסיס זוויות הבסיס זווית הראש A B C שוק שוק

-172כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © )6( x A B C 67° )5( )4( x A B C 37° x = _________ x = _________ x = _________ )9( B C x A )8( )7( A B C 138° x x = _________ x = _________ x = _________ . ב ענו על השאלות הבאות: (( ( 1 ? נמקו.80˚ האם ייתכן משולש שווה-שוקיים, שזווית הראש שלו (( ( 2 ? נמקו.120˚ האם ייתכן משולש שווה-שוקיים, שזווית הראש שלו (( ( 3 ? נמקו.80˚ האם ייתכן משולש שווה-שוקיים, שכל אחת מזוויות הבסיס שלו בת (( ( 4 ? נמקו.100˚ האם ייתכן משולש שווה-שוקיים, שכל אחת מזוויות הבסיס שלו בת (( ( 5 האם ייתכן משולש שווה-שוקיים, שהוא ישר-זווית? אם כן, סרטטו דוגמה. אם לא, נמקו. (( ( 6 האם ייתכן משולש שווה-שוקיים, שכל אחת מזוויות הבסיס שלו ישרה? נמקו. (( ( 7 האם ייתכן משולש שווה-שוקיים, שהוא קהה-זווית? אם כן, סרטטו דוגמה. אם לא, נמקו. (( ( 8 , הוא בהכרח60˚ האם נכונה הטענה: "כל משולש שווה-שוקיים, שיש בו זווית אחת בת משולש שווה-צלעות"? נמקו. x A B C 32° x A B C 127°

-173כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . Ⅱ . א DTEK ו- DABCלפניכם שני משולשים (אורכי הצלעות נתונים ביחידות אורך). הסתמכו על הנתונים שבסרטוט, וקבעו הסבירו. .TE ו- AB(אם אפשר) מהם אורכי הקטעים , הסבר:AB = , הסבר:TE = . ב . נתון:DABCלפניכם משולש .CB =ס"מ15 , AC =ס"מ9.8 , C = 40˚ , A = 100º חשבו את היקף המשולש. הסבירו את הפתרון. (תזכורת: היקף משולש שווה לסכום אורכי צלעותיו.) משפט אם במשולש שתי זוויות שוות, אזי המשולש שווה-שוקיים (הצלעות, שמול הזוויות השוות, שוות זו לזו). כלומר: .AB = CB , אזיA =Cאם B C A B A 50° 50° C ס"מ7 E T K ס"מ7 A 100º 40º 9.8 15 B C תזכורת y y חוצה זווית במשולש - קטע היוצא מקדקוד זווית המשולש ומחלק את הזווית לשתי זוויות שוות. :DABCבמשולשBACהוא חוצה זוויתAD .A 1 =A 2 A 1 2 B C D

-174כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 2 2 . .(BA = BC) הוא שווה-שוקייםDABCהמשולש .BCD = 24˚ , ACBהוא חוצה זוויתDC נתון: .Aחשבו את זווית 3 3 . .(BA = BC) הוא שווה-שוקייםDABCהמשולש .BCAהוא חוצה זוויתCE , ו-BCהוא תיכון לשוקAD .BCE = 27˚ ,BD =ס"מ5 נתון: . א .DABCחשבו את שוקי המשולש . ב .DABCחשבו את זוויות הבסיס של המשולש 4 4 . .BAC =BCA שבוDABCנתון: משולש .BD =ס"מ5 ,BC הוא תיכון לצלעAD . א ? הסבירו. DABCמהו הסוג של המשולש . ב .AB חשבו את אורך הצלע y y גובה במשולש - קטע היוצא מקדקוד המשולש ומאונך לצלע שממול (או להמשכה). :DABCבמשולשBC הוא גובה לצלעAD .ADC = 90˚ אוAD⊥BC y y תיכון במשולש - קטע המחבר את קדקוד המשולש עם אמצע הצלע שמולו. :DABCהוא תיכון במשולשAE .BE = EC A B C D A B C E B A C D B A C E D B A C D

-175כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 5 5 . ,DABCבמשולש BAC הוא חוצה זוויתAK .CK =ס"מ4 ו - BK =ס"מ4.6 לשני קטעים: BC ומחלק את הצלע .CAK = 32˚ ו - C = 64˚ ידוע: . א ?B מה גודלה של ).180˚ (תזכורת: סכום הזוויות הפנימיות במשולש שווה ל- . ב ? הסבירו את תשובתכם.AB מהו אורך הצלע 6 6 . הורד מקדקוד זווית הראש של AD . הקטע(AB = AC) ∆ABCלפניכם משולשים שווי-שוקיים המשולש לבסיסו. הוא גובה או תיכון או חוצה זווית הראש. AD על-סמך הנתונים שבסרטוט קבעו אם הקטע , והסבירו את תשובתכם בעל-פה (אורכי הצלעות נתונים בס"מ). x מצאו את B A 32° 64° C K 4.6 4 תזכורת y y במשולש שווה-שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון לבסיס וגם חוצה זווית הראש: ,AD⊥BC ו- AB = ACאם .A 1 =A 2 ו- BD = DC אזי y y במשולש שווה-שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס וגם תיכון לבסיס: ,A 1 =A 2 ו- AB = ACאם .BD = DC ו- AD⊥BC אזי y y במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם גובה לבסיס: ,BD = DC ו - AB = ACאם .AD⊥BC ו - A 1 =A 2 אזי A B C 21 D A B C 21 D A B C 21 D

-176כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקיפו את האותיות שליד התשובות הנכונות, ורשמו אותן לפי הסדר מימין לשמאל. איזה משפט קיבלתם? A x B C D 39° א. A x B C D 14 ב. A x B C D 46° 46° ג. גובה ה תיכון ד חוצה זווית ל x = 29˚ מ x = 39˚ ל x = 30˚ נ גובה ו תיכון ח חוצה זווית ת x = 17 ט x = 14 כ x = 7 מ גובה ב תיכון ס חוצה זווית ד x = 70˚ ג x = 80˚ ל x = 90˚ ו A 6 C B D 6 70° x ד. A 4.5 B C D x ה. A x C B D 5 5 ו. גובה ע תיכון א חוצה זווית ר x = 35˚ י x = 30˚ ק x = 45˚ ש גובה נ תיכון פ חוצה זווית ד x = 7 צ x = 4.5 ז x = 9 ו גובה מ תיכון ח חוצה זווית א x = 10˚ ח x = 90˚ ו x = 30˚ ט A x C B D 32° ז. A B C D 8.4 x 42° 42° ח. A B C D20 x 24° 24° ט. גובה ז תיכון ר חוצה זווית ה x = 64˚ ר x = 32˚ ל x = 23˚ ט גובה ע תיכון ב חוצה זווית כ x = 16.8 מ x = 42 א x = 8.4 ז גובה צ תיכון ר חוצה זווית ו x = 20 מ x = 10 ר x = 24 כ 10 10 A x B C D 46° י. A x B C D 49° 49° יא. A x B C D 62° 4 4 יב. גובה פ תיכון ע חוצה זווית ג x = 46˚ ו x = 92˚ ל x = 20˚ ד גובה ז תיכון ח חוצה זווית א x = 90˚ י x = 98˚ ח x = 49˚ פ גובה ג תיכון נ חוצה זווית ת x = 8˚ ט x = 62˚ מ x = 31˚ ו קוצר.

-177כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 7 7 . .(BA = BC) DABCהוא גובה לבסיס במשולש שווה-שוקייםBD .ABC = 32˚ , AC =ס"מ14 נתון: חשבו: . א DC = . ב DBC = 8 8 . .AC הוא גובה לצלעBD .A =C שבוDABCנתון: משולש .ABD = 22˚ ,AD =ס"מ19 . א ? הסבירו.DABCמהו הסוג של המשולש . ב .ABCחשבו את הזווית . ג .AC חשבו את אורך הצלע 9 9 . .(CA = CB) DABCהוא גובה לבסיס במשולש שווה-שוקייםCD .KB =ס"מ2 , AB =ס"מ10 נתון: .DK חשבו את אורך הקטע 10 1 0 .A =CמתקייםDABCבמשולש .DBCהוא חוצה זוויתBE , ו- AC הוא גובה לצלעBD .ABC = 48˚ נתון: .EBCחשבו את B A C D B A C D C A B K D B A C D E

-178כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 11 1 1 .(BA = BC) DABCהוא גובה לבסיס במשולש שווה-שוקייםBD .DABDבמשולשAD הוא תיכון לצלעBE .AC =ס"מ20 נתון: .AE חשבו את אורך הקטע 12 1 2 .(BA = BC) DABCבמשולש שווה-שוקייםACהוא תיכון לבסיסBD . חשבו:BDCהוא חוצה זוויתDE . א EDC = . ב ADE = 13 1 3 .(AB = CB) DABCהוא תיכון לבסיס במשולש שווה-שוקייםBD .ABC = 104˚ . נתון:DBCהוא חוצה זוויתBK .ABKחשבו את הזווית 14 1 4 .(BA = BC) DABCהוא חוצה זווית הראש במשולש שווה-שוקייםBD .KDC = 65˚ נתון: .BDKחשבו את הזווית B A C E D B A C E D B A C K D B A C K D

-179כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 15 1 5 .DABCבמשולשCABהוא חוצה זוויתAD .DABDבמשולשBD הוא תיכון לצלעAK .BC =ס"מ12 , B =C נתון: .KC חשבו את אורך הקטע 16 1 6 הוא חוצה זווית הראש במשולש שווה-שוקייםAD .(AB = AC) DABC .AD = DC ,AK= ס"מ3 , BC =ס"מ16 נתון: .KD חשבו את אורך הקטע 17 1 7 הוא חוצה זווית הראש במשולש שווה-שוקייםBD .(BA = BC) DABC .AD = KD , BD =ס"מ20 , AC =ס"מ12 נתון: .BK חשבו את אורך הקטע 18 1 8 .(AB = CB) DABCהוא חוצה זווית הראש במשולש שווה-שוקייםBD .BDEהוא חוצה זוויתDK , BDCהוא חוצה זוויתDE .BDKחשבו את הזווית A B C D K A B C K D A B C K D C A B E K D

-274כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות תשובות - גיאומטריה 46˚ )5( 37˚ )4( 9 )3( 49˚ )2( 6.5 )1( ) . אI .1 26.5˚ )9( 45˚ )8( 21˚ )7( 116˚ )6( ) ב .50˚ ) כן, זוויות הבסיס תהיינה בנות 1( .30˚ ) כן, זוויות הבסיס תהיינה בנות 2( .20˚ ) כן, זווית הראש תהיה בת 3( (שהרי סכום שתי זוויות שווה 180˚ ) לא, זה סותר את המשפט שסכום זוויות במשולש 4( .)200˚ .45˚ וזוויות הבסיס בנות ,90˚ ) כן, במקרה זה זווית הראש של המשולש היא 5( ) לא, במקרה זה נקבל ישרים מקבילים, ולא משולש. 6( (שהרי סכום שתי זוויות 180˚ כמו-כן זה סותר את המשפט, שסכום זוויות במשולש .)180˚ שווה .45˚ ) כן, במקרה זה זווית הראש של המשולש היא הזווית הקהה, וזוויות הבסיס קטנות מ- 7( ) הטענה נכונה: 8( y y אזי גם זווית הבסיס השנייה בת ,60˚ אם במשולש שווה-שוקיים זווית הבסיס בת .60˚ . לפי סכום זוויות במשולש נקבל שזווית הראש תהיה אף היא בת60˚ y y , אזי לפי סכום זוויות במשולש נקבל60˚ אם במשולש שווה-שוקיים זווית הראש בת .120˚ שסכום הזוויות שנותרו הוא באופן שווה בין שתי זוויות הבסיס השוות, ונקבל שכל זווית בסיס 120˚ נחלק את .60˚ שווה ל- הוא משולש שווה-צלעות. ,60˚ משולש, שכל זוויותיו בנות .BA = BC= ס״מ7 שווה-שוקיים, מכאן:DABC ולכן ,A =C = 50˚ ; כיAB = ס״מ7 • . א) II , מכיוון שאין מספיק נתונים לגבי המשולש.TE לא ניתן לקבוע את אורכו של הקטע • ) ב AB = AC =ס"מ9.8 , ולכן:B = 180˚ – (100˚ + 40˚) = 40˚ P = 15 + 2 · 9.8 =ס"מ34.6 2 2 . 48˚ 54˚ , 54˚ ב) ס"מ10 ס"מ,10 א) .3 ס״מ10 ב) א) משולש שווה - שוקיים .4 ס"מ8.6 ב) 52˚ א) .5 90˚ ג) חוצה זווית הראש, ס"מ7 ב) גובה, 39˚ א) גובה, .6 90˚ ו) תיכון, ס"מ9 ה) גובה, 35˚ ד) תיכון, ס"מ8.4 ח) חוצה זווית הראש, 64˚ ז) גובה, 46˚ י) תיכון, ס"מ10 ט) חוצה זווית הראש, 31˚ יב) תיכון, 90˚ יא) חוצה זווית הראש, המשפט: הלומד ואינו חוזר, כזורע ואינו קוצר.

-275כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות 7 7 . 16˚ ב) ס"מ7 א) ס"מ38 ג) 44˚ ב) א) משולש שווה - שוקיים .8 ס"מ5 .11 12˚ .10 ס"מ3 .9 ס"מ9 .15 25˚ .14 78˚ .13 135˚ ב) 45˚ א) .12 22.5˚ .18 ס"מ14 .17 ס"מ5 .16 חוצה זוויתAD )4( A 1 =A 2 )3( תיכוןAD )2( BD =DC )1( ) . אI .19 הסבר: ניתן להתייחס למשולש שווה-צלעות כאל משולש שווה-שוקיים, הוא הבסיס.BC הן השוקיים, ו -AB = AC שבו הוא גובה לבסיס במשולש שווה-שוקיים, ולכן הוא גםADבמקרה זה תיכון וגם חוצה זווית. ) ב גובה. CE )4( AEC = 90˚ )3( חוצה זוויתCE )2( C 1 =C 2 )1( הסבר: ניתן להתייחס למשולש שווה-צלעות כאל משולש שווה-שוקיים, הוא הבסיס.AB הן השוקיים, ו -CA = CB שבו הוא תיכון לבסיס במשולש שווה-שוקיים, ולכן הוא גםCEבמקרה זה גובה וגם חוצה זווית. ) ג גובה BF )4( AFB = 90˚ )3( תיכוןBF )2( AF = FC )1( הסבר: ניתן להתייחס למשולש שווה-צלעות כאל משולש שווה-שוקיים, הוא הבסיס.AC הן השוקיים, ו -BA = BC שבו הוא חוצה זווית הראש במשולש שווה-שוקיים, ולכן הואBFבמקרה זה גם גובה לבסיס וגם תיכון לבסיס. ) ד ) הקטע הוא גם גובה וגם תיכון. 1( ) הקטע הוא גם תיכון וגם חוצה זווית. 2( ) הקטע הוא גם גובה וגם חוצה זווית. 3( ) שווים זה לזה. 4( הסבר: מכיוון שבמשולש שווה-צלעות כל הצלעות שוות, ניתן לבחור בכל פעם זוג אחר של צלעות ולהתייחס למשולש כאל משולש שווה-שוקיים. במשולש שווה-שוקיים הגבהים לשוקיים (חוצי זוויות הבסיס ותיכונים לשוקיים) שווים זה לזה. לכן במשולש שווה-צלעות כל חוצי הזוויות (הגבהים, התיכונים) שווים זה לזה. 30˚ ס"מ ו)4.5 ס"מ ה)8 ס"מ ד)14 ס"מ ג)6 ס"מ ב)5 . א) Ⅱ ס"מ9 ס"מ,9 .21 ס"מ8 .20 35˚ ג) 25˚ ב) 50˚ א) .22 B A 1 2 C D B A 1 2 C E B A 1 2 C F

לרכישת הג רסה הדיגיטלית מלאה של הספר לחצו כאן לחזרה לאתר לחצוכאן

Made with FlippingBook

RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=