לק״י המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 טל׳: 03-9410902 , 03-9518415 פקס: ISBN: 965–7210–10–0 מסת״ב: 800–730011 דאנאקוד: אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו אלקטרוני או מכני–בשום צורה ובשום אמצעי (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים: 2003 © יצחק שלו אתי עוזרי 077-4200154 טל׳: 09–9559222 טל׳: 08-8676797 פקס: 09–9555885 פקס: mathstar@bezeqint.net www.mathstar.co.il
הקדמה לפניכם הספר של בי חלק "גאומטריה חישובית", הכולל את הנושאים: מעגל, משפט פיתגורס, שטחים, פרופורציה ודמיון . הספר שונה בתכלית מן התפיסה המקובלת. הוא מאפשר לימוד הגיאומטריה בכל הרמות: החל ברמה הנמוכה ביותר ועד לרמה הגבוהה ביותר . הספר מכיל שלושה מדורים עיקריים: 1 . תרגילי חישוב )עמי 7 - 175 (. 2 . תרגילי הוכחה )עמי 179 - 215 (. 3 . הוכחות משפטים )עמי 219 - 254 (. יודגש: מדור תרגילי ההוכחה מכיל את הפרקים והסעיפים, המקבילים לפרקים ולסעיפים שבמדור תרגילי החישוב. זה מבנה מאפשר לימוד הנושאים בצורה ליניארית או מעגלית לפי החלטתו של המורה. • תלמידי 3 יחייל לפני כמה שנים בוטלה חובת ההיבחנות בגיאומטריה ברמת 3 יחייל. זאת עם נדרשת ידיעת הגיאומטריה ברמה חישובית בפרקים נרחבים בתובנות הלימודים, ובעיקר בנושאים: מעגל ומשפט פיתגורס. תלמידים הלומדים זו ברמה יכולים אפוא להסתפק בחומר המופיע במדור תרגילי החישוב. 8 תלמידי 5-4 יחייל קיימות שתי אפשרויות למידה: אפשרות אי: לימוד ליני של ארי החומר . תחילה ילמד החומר המופיע במדור תרגילי החישוב, ולאחר לימוד סעיף כל נעבור לסעיף המקביל במדור תרגילי ההוכחה והוכחות משפטים. באופן ניתן זה להעמיק הידע את הנרכש בפתירת תרגילי חישוב על-ידי מעבר לתרגילי ההוכחה, המקבילים להם. אפשרות בי: לימוד מעגלי של החומר. תחילה כל ילמד החומר המופיע במדור תרגילי החישוב, לאחר ההפנמה פרקי כל של הגיאומטריה נעבור ללימוד הפרקים המופיעים במדור תרגילי ההוכחות, בשילוב הוכחות המשפטים. • הודות למבנה הספר של זה אפשר ללמדו ברמות הלימוד השונות, ובעת המעבר ביו ההקבצות אין צורך להחליפו בספר אחר . • בתובנות הלימודים הצבירתית במתמטיקה הושם דגש בהוכחות משפטים, ולכן החלטנו לרכז כל את הוכחות המשפטים במדור אחד . • תרגילי הוכחה בספר מסומנים ב- *· לאור האמור לעיל, חיברנו שני ספרים, "גיאומטריה חישובית" א' חלק וחלק בי' המקיפים כל את החומר הנדרש בגיאומטריה הן בחטיבת הביניים והן בבית הספר התיכון . תודתנו נתונה ללירון אורה, ונסה זיימן, ליאת יצחקו ולי מאייר, שעברו על הספר, העירו והאירו. תודה לשבתאי שפיגלו, שפיתח תוכנת את "אורן", שאפשרה לנו להפיק זה. ספר תקוותנו זה שספר יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. בברכה אתי עוזרי & יצחק שלו
תובן העניינים תרגילי חישוב תרגילי הוכחה הוכחות משפטים בעמוד בעמוד בעמוד יב' פרק : המעגל 1 . מושגי יסוד במעגל 7 179 219 11 . זוויות מרכזיות, קשתות ומיתרים 12 180 219 111 . אנך ממרכז המעגל למיתר 17 181 220 IV . מיתרים שווים ומיתרים שונים 21 182 222 v . סוגי זוויות במעגל 24 VI . זוויות היקפיות וזוויות מרכזיות 25 183 224 VII . זוויות היקפיות, קשתות ומיתרים 29 184 225 VIII . זוויות היקפיות הנשענות קוטר על 34 185 227 IX . זוויות פנימיות וזוויות חיצוניות 37 186 228 יג' פרק : המשיק למעגל 1 • המשיק למעגל 41 187 229 11 . משיקים למעגל מנקודה אחת 45 188 230 111 . הזווית ביו משיק למיתר 49 189 230 IV . שני מעגלים 52 190 231 v . מעגל חוסם משולש 57 191 232 VI . מעגל חסום במשולש 61 192 233 VII . מרובע חסום מעגל 64 193 233 VIII . מרובע חוסם מעגל 68 194 234 IX . מצולע חסום במעגל ומצולע חוסם מעגל 72 236 יד' פרק : שטחים' היקפים ומשפט פיתגורס 1 • שטח עיגול והיקף מעגל 75 195 237 11 . שטח והיקף של מצולעים משוכללים 85 111 . משפט פיתגורס 88 196 238 IV . נוסחת הרון 93 241 v . שימוש במשפט פיתגורס במעגל 95 197 VI . תרגילים שונים 102 198
תרגילי חישוב תרגילי הוכחה הוכחת משפטים בעמוד בעמוד בעמוד ט פרקl ' : פרופורציה 1 . פרופורציה 107 11 . משפט תלס 109 199 242 111 . משפט תלס הפוך 118 200 244 IV . חוצה זווית במשולש 124 201 244 v . חוצה זווית חיצונית למשולש 134 245 פרק טז': דמיון משולשים 1 • הגדרת משולשים דומים 136 11 . משפט דמיון ראשון .צ. ז .צ) ( 137 247 111 . משפט דמיון .ז .ז )ז שני .( 140 202 247 IV . משפט דמיון שלישי .צ.צ.צ) ( 143 248 v . משפט דמיון רביעי .צ.צ) ז .( 145 248 VI . פרופורציות במשולש ישר זווית 147 249 VII . דמיון משולשים במעגל 151 VIII . פרופורציות במעגל 157 251 IX . קטעים מתאימים במשולשים דומים 165 252 x . היקפים ושטחים במשולשים דומים 168 254 XI . תרגילים מבחינות הבגרות 172 203 XII . תרגילים מתקדמים מבחינות הבגרות 174 208 יז' פרק : בעיות בנייה 212 הוכחות משפטים 219 מושגים' משפטים וכללי יסוד 5 חשובות 257 נוסחאון 267
מושגים , משפטים וכללי יסוד - 5 - ו מושגים, משפטים ובללי ו יסוד 0 הגדרה הסברת מושג חדש בעזרת מושגים קודמים. 0 מושגי יסוד מושגים ראשוניים שאנו מקבלים ללא הגדרה, והם: הנקודה' הישר' והמישור . 0 אקסיומה )משפט יסודי( טענה שנכונותה מובנת מאליה ולא ניתנת להוכחה. 0 משפט טענה הניתנת להוכחה בעזרת הגדרות ומשפטים קודמים. 0 משפטים הפוכים משפטים בהם הוחלפו הנתון והצייל )צריך להוכיח( בזה. זה 0 הוכחה בדרך השלילה הוכחה בה מניחים שהצייל אינו נכון' ומתקבלת סתירה לנתונים . 0 בניית עזר הוספת סרטוט המסייע בהוכחת משפט . 0 השלם גדול מחלקו a מ- חלק a <b {c= b . כללי השוויון 0 שני גדלים, השווים לגודל שלישי, שווים ביניהם. a = b { b=c{c= a = C 0 הצבת גודל תמורת גודל השווה לו . a = b { a+c=d{c= b+c=d 0 חיבור גדלים שווים עם גדלים שווים . a = b { a + X = b + y {c= X = y 0 חיסור גדלים שווים מגדלים שווים . a = b { a-x=b-y{c= X = y cs: כל הזכריות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - "גיארמטריה חישובית" - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים
מושגים , משפטים וכללי יסוד - 6 - כפל גדלים שווים בגדלים שווים . a = b { a·x=b·y{c== X = y 0 חילוק גדלים שווים בגדלים שווים . {a = b a b x=y{c== x=y;=O כללי האי-שוויון a)c{c== b)c- ו a)b 0 a<c{c== b<c- ו a<b 0 { a >b a+x)b+y{c== x)y 0 { a <b a+x<b+y{c== x<y 0 0 חיבור גודל שני עם זהה צידי האי-שוויון . a > b ו- a + x > b + y {c== x = y a < b ו- a + x < b + y {c== x = y 0 חיסור גודל זהה משני צידי האי-שוויון . a > b ו- a - x > b - y {c== x = y a < b ו- a - x < b - y {c== x = y 0 כפל גודל זהה בשני צידי האי-שוויון . a)b ו- a·x>b·y{c== x)O a<b ו- a·x<b·y{c== x)O 0 חילוק גודל זהה בשני צידי האי-שוויון . a) b ו- 0 ) E_ {c== 0 ;= X )~ X y a < b ו- 0 ) E_ {c== 0 ;= X < ~ X y שימו לב! כאשר שני משולשים חופפים' הזוויות המתאימות שוות. נרשום זאת בקיצור - זמבייח )זוויות מתאימות במשולשים חופפים ( . הצלעות המתאימות שוות, נרשום זאת בקיצור - צמבייח )צלעות מתאימות במשולשים חופפים ( . cs: כל הזכריות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - "גיארמטריה חישובית" - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים
מושגי יסוד במעגל - 7 - 1 . מושגי יסוד במעגל ו יני פרק : המעגל! מעגל אוסף נקודות הנמצאות במרחק קבוע מנקודה קבועה . מרכז המעגל הנקודה הקבועה הזו בסרטוט היא 0 . )המעגל נקרא "מעגל 0 " לפי מרכזו , שמסומן באות 0 . ( רדיוס )או מחוג( קטע המחבר מרכז את המעגל עם נקודה על המעגל . 0 בסרטוט AO הוא רדיוס המעגל. 0 מסמנים את הרדיוס באות R או r . 0 הרדיוסים במעגל שווים . קשת מיתר קטע המחבר שתי נקודות על המעגל . 0 בסרטוט BC הוא מיתר. A קוטר מיתר העובר דרך מרכז המעגל. 0 בסרטוט DE הוא קוטר. 0 הקוטר ל שווה -2 רדיוסים . 0 הקטרים במעגל שווים . 0 הקטרים במעגל חוצים זה את זה . קשת חלק המעגל שמוגבל על-ידי שתי נקודות. 0 מסמנים הקשת את בסימן r- . ,---._ 0 בסרטוט תסומן הקשת FG כך: FG . ,---._ 0 במעגל שתי קשתות שסימנן FG : האחת קטנה, והשנייה גדולה. יצוין לא אם אחרת, הכוונה תמיד לקשת הקטנה. cs: כל הזכריות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - "גיארמטריה חישובית" - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים
מושגי יסוד במעגל - 8 - מעגלים שווים )חופפים( מעגלים שרדיוסם שווה . שימו לב! א. הנקודות שעל המעגל - נקודות שמרחקן ממרכז המעגל שווה לרדיוס )בסרטוט OA=R (. ב. הנקודות שבתוך המעגל - נקודות שמרחקן ממרכז המעגל קטן מהרדיוס )בסרטוט OB<R ( . ג. הנקודות שמחוץ למעגל - נקודות שמרחקן ממרכז המעגל גדול מהרדיוס )בסרטוט OC)R (. 0 18) משפט eE שלוש נקודות, שאינן נמצאות ישר קו על אחד, קובעות מעגל אחד בלבד. הנקודות F ,E ו -G אינן ישר קו על אחד {= ניתן להעביר מעגל אחד שעובר דרך הנקודות F ,E ו- G . •F •G )ההוכחה בע' 219 . ( ,~ תר p,f )התשובות לתרגילים זה בפרק - בעמ' 257 .( 1 . נתונים סרטוטים של מעגלים , רשמו חלק כל ליד במעגל שמו את . א. ב. ' ' ' ' ' ' ' 0 ,,,,,,,,'~ F ג. ד. ' ' ' ' '"' 0 Ai-----~----B / / / / / / / E / _____ / D C cs: כל הזכריות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - "גיארמטריה חישובית" - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים
מושגי יסוד במעגל - 9 - 2 . השלימו את הטבלה. הרדיוס הקוטר הרדיוס הקוטר א. 5 ו. 6 ב. 8 ז. 18 ג. 20 ח. 15 ד. 14 ט. 40 ה. 2 י 50 3 . השלימו את הטבלה: רשמו נכון / נכון לא . המשפט נכון נכון לא א. מיתר הוא מחוג המעגל. ב. הרדיוס נקרא מחוג המעגל. ג. הרדיוסים במעגל אחד שווים . ד. הקטרים במעגל אינם שווים . ה. כל המיתרים במעגל שווים . ו. קוטר שווה שני רדיוסים . ז. הנקודות על המעגל נמצאות במרחקים שווים ממרכז המעגל . ח. קוטר כל הוא מיתר. ט. מיתר כל הוא קוטר. י מיתר מחבר 2 נקודות, הנמצאות על המעגל. יא. הקוטר הוא המיתר הגדול ביותר במעגל. יב. רדיוס שווה שני קטרים . יג. רדיוס שווה לחצי קוטר . יד. הקשת חלק היא מהמעגל. טו. מיתר כל את מחלק ל המעגל -2 קשתות שוות. טז. הקוטר את מחלק ל המעגל -2 קשתות שוות. cs: כל הזכריות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - "גיארמטריה חישובית" - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים
מושגי יסוד במעגל - 10 - 4 . נתונים מעגלים בעלי רדיוס R וקטעים . ציינו לגבי הוא אם קטע כל גדול מ- R , מ- קטן R שווה או ל- R )השתמשו בסימנים: >, < , = ( . א. ב. ג. B A B C OA __ R 0B R OC R OB __ R OA R OC R ד. B ה. C ו. OA ___ R 0B R OC R A R 0B R oc R 0B R oc R OA R oc R OA R 0B R OA 5 . נתון המשולש O .LiBOC מרכז המעגל . קוטר המעגל שווה ל- 10 ס"מ. נתון : BC = 1. 6 · OC . חשבו היקף את המשולש LiBOC . 0 6 . היקף המשולש LiBAC שווה ל- 14 ס"מ. CB קוטר במעגל שמרכזו 0 . נתון: BAC ,AC = 1.5 ·AB ~ BCA = ~. חשבו מחוג את המעגל. cs: כל הזכריות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - "גיארמטריה חישובית" - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים
מושגי יסוד במעגל - 11 - * 7 . הנקודות C ,B ,A , ו- D נמצאות על מעגל שמרכזו 0 . נתון : AB = DC . הוכיחו: AC = DB . A * 8 . הנקודות C ,B ,A , ו- D נמצאות על מעגל שמרכזו 0 . נתון: AC >DB . הוכיחו: AB >DC . D A 0 • * 9 . הקודקוד A של המשולש LiABC נמצא במרכז המעגל . צלעות המשולש חותכות את המעגל בנקודות E ו -D . נתון: AC >AB . הוכיחו: DC >EB . * 10 . נתון: מרובע AC..lBD ,ABCD . הוכיחו: המרובע ABCD הוא דלתון . D B --י----- +---~C • ) תרגילי הוכחה נוספים בעמ' 179 . ( cs: כל הזכריות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - "גיארמטריה חישובית" - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים
תרגילי הוכחה מיועדים לתלמידי 4 – 5 יחידות לימוד מדור זה מכיל את הפרקים והסעיפים , המקבילים לפרקים ולסעיפים שבמדור תרגילי החישוב . מספור התרגילים הוא המשך למספורם במדור תרגילי החישוב .
תרגילי הוכחה - מושגי יסוד במעגל - 179 - 1 . מושגי יסוד במעגל ו יני פרק : ו המעגל הוא זה סעיף המשך לעמ' 7 . ~ ,ן, תר J ר l J כחר B * 11 . הנקודות B , A ו -C נמצאות על מעגל שמרכזו 0 . 0B חוצה את הזווית ABC ~ . הוכיחו: AB = CB . * 12 . הקודקוד A של המשולש LiABC נמצא במרכז המעגל . הנקודה B נמצאת בתוך המעגל . הוכיחו: ACB ~ ABC > ~ . ויי----- C * 13 . AC הוא מיתר העובר דרך מרכז המעגל O שרדיוסו R . B נקודה כלשהי בתוך המעגל שאינה נמצאת על AC . הוכיחו: AB ; BC >R Al יי'-------'"יי lC * 14 . הוכיחו: הקוטר הוא המיתר הגדול ביותר במעגל. * 15 . הקודקוד B של המשולש LiABC נמצא במרכז המעגל . נתון: BAC ~ CDA = ~ . הוכיחו: AD = AC . A * 16 . הנקודות D ,C ו- A נמצאות על מעגל שמרכזו B . AC חוצה את הזווית BAD ~ . הנקודה O היא אמצע הקטע BD . הוכיחו: המרובע ABCD הוא מעוין . ~------,:,,1C cs: כל הזכריות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - "גיארמטריה חישובית" - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים
הוכחות משפטים
הוכחות משפטים - 219 - ו יני פרק : ו המעגל 1 . מושגי יסוד במעגל )התרגילים בעמ' 7 , 179 .( 18) משפט שלוש נקודות, שאינן נמצאות ישר קו על אחד, קובעות מעגל אחד בלבד. נתון : נקודות F ,E ו -G אינן ישר קו על אחד . צ"ל: ניתן להעביר מעגל אחד שעובר דרך הנקודות F ,E ו- G . הוכחה: בניית עזר: נעביר את הקטעים EF ,EG ו- FG . נעלה אנכים אמצעיים LO ו - MO לקטעים FG ו - EF בהתאמה . האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה 0 . נעביר את הקטעים GO , EO ו - FO . FO = GO )תכונת אנך אמצעי לקטע( E • F• •o E FO = EO .l.l )תכונת אנך אמצעי לקטע( G FO = GO = EO )שני גדלים, השווים לגודל שלישי, שווים ביניהם( .l.l הנקודה O נמצאת במרחקים שווים משלוש הנקודות F , E ו -G , ולכן היא יכולה לשמש כמרכז המעגל שרדיוסו EO . )להזכירכם: האנך האמצעי השלישי יעבור דרך הוא גם הנקודה 0 , שכן שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת. ( מש"ל 11 . זוויות מרכזיות, קשתות ומיתרים )התרגילים בעמ' 12 , 180 . ( 18) משפט לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים . נתון: O מרכז המעגל, 02 ~ = 01 ~. צ"ל: AB = DC . הוכחה: נתבונן במשולשים: LiOAB ו- LiODC . צ. AO = DO )הרדיוסים במעגל שווים( ז. 02 ~ = 1 0 ~ )נתון( צ. BO = CO )הרדיוסים במעגל שווים( .l.l LiOAB :::::: LiODC )לפי המשפט .צ. זצ. ( .l.l AB = DC )צמב"ח( מש"ל A C cs: כל הזכריות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - "גיארמטריה חישובית" - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים
0T לרכישת 0T הגרסה ה ת דיגיטלי 0T מלאה של הספר 0TU לחצו כאן
www.mathstar.co.il : כתובתנו באינטרנט
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=