65 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה פתורה – שימוש במשפט דמיון (ז.ז.) .BD ⊥ AC ,∢A = 30° נתון: (∢ABC=90°) ∆ABC במשולש ישר-זווית . א מצאו את כל הזוויות שבסרטוט. . ב .∆ABC ~ ∆BDC הוכיחו: . ג האם ניתן היה להוכיח את דמיון המשולשים ללא מציאת הזוויות שבסרטוט? .BC = ס"מ 10 ,AC = ס"מ 20 נתון: . ד רשמו את היחס בין הצלעות המתאימות ואת יחס הדמיון. פתרון: . א . לפי סכום הזוויות במשולש: ∢A = 30° , ∢ABC = 90° : נתון כי ∆ABC • במשולש .(180° − 90° − 30°) ∢C = 60° • . לפי סכום הזוויות במשולש: ∢C = 60° , ומצאנו כי ∢D2 = 90° : נתון בסרטוט כי ∆BCD במשולש .(180° − 90° − 60°) ∢B2 = 30° • . לפי סכום הזוויות במשולש: ∢A = 30° (צמודה לזווית ישרה), נתון כי ∢D1 = 90° :∆BAD במשולש . ניתן גם לחשב זווית זו באמצעות חיסור זוויות: (180° − 90° − 30°) ∢B1 = 60 ° .∢B1 = ∢ABC − ∢B2 = 90° – 30° = 60° .∢ABC = ∢D1 = ∢D2 = 90° , ∢A = ∢B2 = 30° , ∢C = ∢B1 = 60° תשובה: . ב כדי להוכיח דמיון בין שני המשולשים, נמצא שתי זוויות השוות בהתאמה בשני המשולשים. .∢ABC = ∢D2 = 90° שני המשולשים הם ישרי-זווית: .∢C בנוסף, לשני המשולשים יש זווית משותפת .∆ABC ~ ∆BDC לפי משפט דמיון (ז.ז.) המשולשים דומים: . ג (שאין הכרח לחשב את גודלה), מאפשרות לנו להוכיח את ∢C כן, הזווית הישרה הנתונה והזווית המשותפת דמיון המשולשים, בלי למצוא את כל הזוויות שבסרטוט. . ד , ולכן: ∆ABC ~ ∆BDC הוכחנו כי: • . AB BD BC DC AC BC = = הוא: יחס הצלעות המתאימות • . AC BC = = 20 10 2 נציב את אורכן של שתי צלעות מתאימות (היתר הנתון בכל משולש): יחס הדמיוןלמציאת .1:2 או 2:1 יחס הדמיון הוא B D C 1 1 2 2 A
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=