מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף חלק ב'

3292 אישור מס': 2.3.16 אושר בתאריך: סדרת מעוף

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה ואושר על ידי מתאים לתוכנית הלימודים החדשה, הספר "מתמטיקה לכיתה ט' – חלק ב' – סדרת מעוף" משרד החינוך. ומכיל: אחד מתוך שני כרכים בסדרה"מתמטיקה לכיתה ט' – חלק ב' – סדרת מעוף" הוא – פונקציה ריבועית, סטטיסטיקה והסתברות. תחום אלגברי – מלבן, מעוין, ריבוע, קטע אמצעים במשולש וקטע אמצעים בטרפז. תחום גיאומטרי מה מיוחד בספר? • כל פרק מתחיל עם תרגילי "מפתח". תרגילי ה"מפתח" נלמדים בכיתה ומהווים כלי עזר מצוין למורה לצורך הסבר החומר. • בסיום כל פרק מופיע סיכום המרכז את החומר הנלמד בפרק. • בכל פרק משולבים בין התרגילים, תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך" (ברוב המקרים) ולא רק תשובות סופיות. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה, ובו, בנוסף לרציונל הפדגוגי, מופיעים פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות והצעות לדרכי הוראה והמחשה. תמיכה בבתי הספר בתי ספר אשר ילמדו לפי ספר זה, יקבלו ליווי והדרכה. תודתנו נתונה לניצה פיינרו, טלי רואש, ונסה כוכבי וגרשון ברומברג שקראו את הספר, העירו והאירו. הרבה תודה ואהבה על התמיכה והסבלנות נתונות למשפחותינו: בני זוגנו איתן וקרינה, וילדינו עידן, דניאל, מעין, נירם, גבי ואנסטסיה. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. אתי עוזרי & יצחק שלו

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים הפונקציה הריבועית - המשך 1........................................................................................................... ייצוג כללי של פונקציה ריבועית 42................................................. מציאת נקודות אפס של פונקציה ריבועית - משוואות ריבועיות בסיסיות 62......................................................................................................... פתרון משוואות ריבועיות שונות 75...................................................................... מערכת משוואות ממעלה שנייה וההיבטים הגרפיים שלה 90.......................................................................................................................................... תשובות הסתברות 112...................................................................................................... סטטיסטיקה והסתברות - חזרה 127.................................................................................................... חישוב הסתברות באמצעות טבלה 143.......................................................................................... ייצוג ניסוי דו - שלבי בעזרת דיאגרמת עץ 172........................................................................................................................................ תשובות גיאומטריה 189..................................................................................................................... ארגז הכלים המצטבר 196............................................................................................................................................ מלבן 224............................................................................................................................................ מעוין 252............................................................................................................................................ ריבוע 279................................................................................................................ תרגילי סיכום - מרובעים 287........................................................................................................................................ תשובות

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © נספח א׳ - קטע אמצעים 306.................................................................................................................... קטע אמצעים במשולש 311...................................................................................................................... קטע אמצעים בטרפז 317........................................................................................................................................ תשובות נספח ב׳ - דפי חזרה 319.................................................................................................................................... 1 דף חזרה 324.................................................................................................................................... 2 דך חזרה 330.....................................................................................................................................3 דף חזרה 336.................................................................................................................................... 4 דף חזרה 343........................................................................................................................................ תשובות

-1כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הפונקציה הריבועית - המשך ייצוג כללי של פונקציה ריבועית שהגרף שלה הוא פרבולה.y = ax2 + c בפרקים הקודמים למדנו על פונקציה מהסוג בפרק זה נרחיב את הלימוד בנושא הפונקציה הריבועית. מה נלמד? ✔ ✔ והגרף שלה. (a ≠ 0) y = ax2 + bx + c הפונקציה הריבועית ✔ ✔ מציאת שיעורי קדקוד הפרבולה. ✔ ✔ עבור גרף הפונקציה הריבועית. y ציר הסימטריה שהוא לאו דוקא ציר ה - ✔ ✔ מציאת תחומי העלייה ותחומי הירידה של הפונקציה הריבועית. לדרך... תרגילים )104-90 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 1 1 . .I . א .x = 5 לפניכם הישר D ו - C , Bציינו איזו נקודה מבין שלוש הנקודות ביחס לישר הנתון.Aהיא סימטרית לנקודה משמש כציר הסימטריה.)x = 5 (כלומר תזכורת הייצוג האלגברי של הישרים המקבילים .x = k הוא מהצורהy לציר ה - וחותך את y הישר מקביל לציר ה - .(k , 0) בנקודהx ציר ה - דוגמה לפניכם סרטוט הישרים: .x = 4 , x = 0 , x = –2 .x = 0 הוא y - הייצוג האלגברי של ציר ה y x x = k (k,0) x = 0 y x x = –2 x = 4 x y A x = 5 B C D

-2כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ב .x = 3 לפניכם הישר השתמשו בישר כציר סימטריה וסמנו במערכת הצירים .C ו - B , Aאת הנקודות שסימטריות לנקודות רשמו את שיעורי הנקודות הללו. . ג ציינו באילו מקרים הקו המקווקו שמסורטט משמש כציר סימטריה של הגרף שבציור. x x = –1 y )3( x = –2 x y )2( x = 4 x y )1( . ד מהו ציר הסימטריה של כל אחד מהגרפים הנתונים. x y )3( x y )2( x y )1( x y A x = 3 B C

-3כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © .y = x2 – 4x א. סרטטו במערכת הצירים הנתונה את גרף הפונקציה .II היעזרו בטבלת הערכים הבאה לצורך סרטוט הגרף. 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 x y . ב איזה גרף קיבלתם (קו ישר/פרבולה)? . ג שלו?x האם לגרף הפונקציה יש קדקוד? אם כן, מה ערך ה- . ד מהו ציר הסימטריה של גרף הפונקציה? . ה x מה תוכלו לומר לגבי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה - ביחס לציר הסימטריה של גרף הפונקציה? ו . של קדקוד הפרבולה. מה x - שלה זהה לשיעור ה x - , ששיעור ה T נקודה x - סמנו על ציר ה ?x - מכל אחת מנקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה T תוכלו לומר על מרחקה של הנקודה . ז x - של קדקוד הפרבולה הוא ממוצע חשבוני של שיעורי ה x - האם נכונה הטענה, כי שיעור ה ? אמתו תשובתכם באמצעות חישובים מתאימים.x של נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה - .y = –x2 + 6x א. סרטטו במערכת הצירים הנתונה את גרף הפונקציה .III היעזרו בטבלת הערכים הבאה לצורך סרטוט הגרף. 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 x y . ב איזה גרף קיבלתם (קו ישר/פרבולה)? . ג שלו?x האם לגרף הפונקציה יש קדקוד? אם כן, מה ערך ה- . ד מהו ציר הסימטריה של גרף הפונקציה? . ה מה תוכלו לומר לגבי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ביחס לציר הסימטריה של גרף הפונקציה? x ה - ו . , ומה הקשר ביניהם לביןx של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה -x מהם שיעורי ה - התשובה לסעיף ג'? x y x y

-4כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . Ⅳ הסבר y y ), הגרף b≠ 0 , a ≠ 0) y = ax2 + bx אם הייצוג האלגברי של הפונקציה הנתונה הוא מהסוג הם מקדמים מספריים. למשל:b ו- a שלה הוא פרבולה כאשר ✔ ✔ שהגרף שלה הוא פרבולה. פונקציה זו היאy = x2 – 4x עסקנו בפונקציה II בסעיף . b = – 4 ו - a = 1 כאשר ,y = ax2 + bx מקרה פרטי של הפונקציה ✔ ✔ שהגרף שלה הוא גם פרבולה. פונקציה זוy = –x2 + 6x עסקנו בפונקציה Ⅲ בסעיף . b = 6 ו - a = –1 כאשר ,y = ax2 + bx היא גם מקרה פרטי של הפונקציה y y (b ≠ 0 , a ≠ 0) y = ax2 + bx ציר הסימטריה של גרף הפונקציה ועובר דרך קדקוד הפרבולה. y מקביל לציר ה - הואk , כאשרx = k המשוואה של ציר הסימטריה היא של קדקוד הפרבולה.x שיעור ה - דוגמה .x = 2 , ולכן ציר הסימטריה הוא2 של קדקוד הפרבולה הואx שיעור ה - II בסעיף .x = 3 , ולכן ציר הסימטריה הוא3 של קדקוד הפרבולה הואx שיעור ה - III בסעיף y y סימטריותx עם ציר ה - (b ≠ 0 , a ≠ 0) y = ax2 + bx נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ביחס לציר הסימטריה. של נקודות החיתוך של גרףx של קדקוד הפרבולה הוא ממוצע שיעורי ה -x לכן שיעור ה - .x הפונקציה עם ציר ה - דוגמה x עם ציר ה - y = x2 – 4x של נקודות החיתוך של גרף הפונקציהx שיעורי ה - II בסעיף .4 ו - 0 הם .)x = 2 (ציר הסימטריה הוא x 2 0 4 2 = = + של קדקוד הפרבולה הואx שיעור ה - x עם ציר ה - y = –x2 + 6x של נקודות החיתוך של גרף הפונקציהx שיעורי ה - III בסעיף .6 ו - 0 הם .)x = 3 (ציר הסימטריה הוא x 3 0 6 2 = = + של קדקוד הפרבולה הואx שיעור ה - קדקוד x y

-5כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . א .x לפניכם פרבולות, ועליהן מצוינות נקודות החיתוך שלהן עם ציר ה - של קדקודה ואת משוואת ציר הסימטריה שלה.x לגבי כל פרבולה מצאו את שיעור ה - (0,0) (–5,0) x y )2( (8,0) (0,0) x y )1( . ב וכן ידוע ציר הסימטריה שלהן. ,x לפניכם פרבולות, שבהן ידועה נקודת חיתוך אחת עם ציר ה - .x לגבי כל פרבולה מצאו את שיעורי נקודת החיתוך השנייה שלה עם ציר ה - (?,?) (0,0) x y x = 3.5 )2( (0,0) (?,?) x = – 4 x y )1(

-6כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 2 2 . רשמו את שיעורי הקדקוד של כל אחת מהפרבולות, וציינו את ציר הסימטריה שלהן. ג. ב. א. ו. ה. ד. 3 3 . .y = x2 + 6x א. סרטטו במערכת צירים הנתונה את גרף הפונקציה היעזרו בטבלת הערכים הבאה לצורך סרטוט הגרף. 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 x y . ב מהם שיעורי קדקוד הפרבולה? . ג מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? x y x y x y x y x y x y x y

-7כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 4 4 . .y = –2x2 + 4x לפניכם סרטוט גרף הפונקציה .(2 , 0) ו - (0 , 0) הןx נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה - . א מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? . ב מהם שיעורי קדקוד הפרבולה, ומהו סוג הקדקוד (מינימום/מקסימום)? 5 5 . .(0 , 0) היאx אחת מנקודות החיתוך של הפרבולה שבסרטוט עם ציר ה - .x = –2 ציר הסימטריה של הפרבולה הוא . א ?x מהם שיעורי נקודת החיתוך השנייה של הפרבולה עם ציר ה - . ב ?y = 2x2 + 8x מהם שיעורי קדקוד הפרבולה, אם הייצוג האלגברי שלה הוא 6 6 . .I . א פתרו את המשוואות הבאות. x (x – 5) = 0 )1( הדרכה: היעזרו בתכונה שבמסגרת. x2 + 10x = 0 )2( הדרכה: הוציאו גורם משותף. x y x y תזכורת .0 או שניהם שווים ל -0 , אחד מהם שווה ל -0 כאשר מכפלה של שני גורמים שווה ל - .k = 0 או/ו m = 0 אזי m · k = 0 אם

-8כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ב . שניהם פתרו נכון את המשוואה–2x2 + 12x = 0 עידן וגבי התבקשו לפתור את המשוואה והגיעו לאותה התוצאה. השלימו את הפתרון של כל אחד מהם. עידן –2x2 + 12x = 0 x (–2x+ ) = 0 גבי –2x2 + 12x = 0 / : (–2) x2 – = 0 . ג .y = –2x2 + 12x לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה .x הן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה -B ו - Aנקודות .(0 , 0) הםA) היעזרו בסעיף הקודם וודאו ששיעורי הנקודה 1( ?Bמהם שיעורי הנקודה ) מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? 2( ) מהם שיעורי קדקוד הפרבולה? 3( . ד .y = 3x2 + 6x נתונה הפונקציה ) היעזרו בתובנות של הסעיף הקודם, ומצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה 1( .x עם ציר ה - ) מצאו את שיעורי קדקוד הפרבולה. 2( x y A B

-9כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . Ⅱ הסבר y y , יש לפתור את x עם ציר ה- y = ax2 + bx כדי למצוא את נקודות החיתוך של הפונקציה .ax2 + bx = 0 המשוואה נפתור את המשוואה על-ידי הוצאת גורם משותף.   + = + = = + = = = ax bx 0 x(ax b) 0 x 0 ax b 0 / –b ax –b / : a x – b a 2 ) b≠ 0 , a ≠ 0 (כאשר y = ax2 + bx כלומר: גרף הפונקציה מהסוג בשתי נקודות. אחת מהן היא תמיד ראשית x חותך את ציר ה- . – , 0 b a ( ) ונקודת החיתוך השנייה היא ,(0 , 0) הצירים (הסרטוט הוא לצורך המחשה בלבד. במקרה זה מוצגת פרבולה ישרה, שנקודת החיתוך השנייה שלה היא בכיוון החיובי של ). x ציר ה- דוגמה , פירושו של דבר שהמקדמים המספריים y = – 4x2 – 40x אם נתונה הפונקציה . מבלי לפתור את המשוואה ניתן לומר כי הפרבולה חותכת את b= – 40 , a = – 4 הם: . (0 , 0) בשתי נקודות, שאחת מהן היאx ציר ה- , ונקבל: –b a בביטויb ו- a של הנקודה השנייה ניתן להציב את ערכיx למציאת שיעור ה- – – –10 b a – 40 – 4 = = . (–10 , 0) מכאן שהנקודה השנייה היא y y y הפרבולה סימטרית ביחס לישר המקביל לציר ה- ועובר דרך קדקוד הפרבולה. של קדקוד הפרבולה הוא ממוצע (חשבוני) שלx שיעור ה- . x של נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x שיעורי ה- x y (0,0) −( ,0) b a x (0,0) −( ,0) b a + − 0 ( b a ) 2

-10כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . א של קדקודי הפרבולות:x ומצאו את שיעורי ה- ,x קדקוד = – b 2a היעזרו בנוסחה .y = 3x2 + 6x ו - y = –2x2 + 12x .)2( - ד I ,)3( - ג I אמתו תשובתכם עם התשובות לסעיפים . ב . y = x2 – 8x נתונה הפונקציה . x ) מבלי לסרטט את הפרבולה מצאו את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה- 1( של קדקוד הפרבולה.x מצאו את שיעור ה-x קדקוד = – b 2a ) ללא שימוש בנוסחה 2( בדקו את נכונות התשובה באמצעות הנוסחה. של קדקוד הפרבולה.y ) מצאו את שיעור ה- 3( כלומר: = = − = − = − ( ) + − − : 2 · 0 b a 2 b a2 b a b a 1 2 b 2a לסיכום: הוא: ,y = ax2 + bx של קדקוד הפרבולה, שהייצוג האלגברי שלהx שיעור ה- x – b 2a = קדקוד דוגמה , נקבע תחילה את y = – 4x2 – 40x של קדקוד הפרבולהx כדי למצוא את שיעור ה- . b = – 40 ו - a = – 4 המקדמים: x קדקוד – – – –5 b 2a –40 2 (–4) –40 –8 = = = = · נציב בנוסחה ונקבל: , (–10 , 0) ו - (0 , 0) : x של נקודות החיתוך עם ציר ה-x או לחלופין ניעזר בשיעורי ה- ונחשב את הממוצע: x קדקוד –5 –10 0 2 = = + מכיוון שהקדקוד מונח על הפרבולה שיעוריו מקיימים את נוסחת הפרבולה. לכן למציאת בנוסחת הפרבולה:x = –5 של קדקוד הפרבולה נציבy שיעור ה- y קדקוד = –4 · (–5)2 – 40 (–5) = –100 + 200 = 100 . (–5 , 100) כלומר קדקוד הפרבולה הוא

-11כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ) על סמך הסעיפים הקודמים בלבד סרטטו 4( .y = x2 – 8x סקיצה של גרף הפונקציה תזכורת: סקיצה - סרטוט סכמתי (לא מדויק). . ג . y = –3x2 – 12x נתונה הפונקציה x - ) מצאו את שיעורי קדקוד הפרבולה, מבלי למצוא את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה 1( ומבלי לסרטט את גרף הפונקציה. . x ) מבלי לסרטט את הפרבולה מצאו את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה- 2( ) על סמך הסעיפים הקודמים 3( סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. 7 7 . השלימו את הטבלה הבאה. התכונות הייצוג האלגברי של הפונקציה נקודות חיתוך עם x ציר ה - משוואת ציר הסימטריה שיעורי הקדקוד )1( y = x (x – 2) (1 , –1) )2( y = –x2 + 6x (0 , 0) , (6 , 0) )3( y = 2x2 – 10x x = 2.5 )4( y = –3x2 + 6x (1 , 3) )5( y = –2x2 – 4x x = –1 x y x y

-12כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 8 8 . . y = x2 – 10x בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה . B ו- Aבנקודותx הפרבולה חותכת את ציר ה- היא קדקוד הפרבולה.Cהנקודה . x היא חיתוך של ציר הסימטריה עם ציר ה-Kהנקודה . א . B ו- Aמצאו את שיעורי הנקודות . ב . Cמצאו את שיעורי הנקודה . ג מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? . ד ? AB מהו אורך הקטע . ה ? CK מהו אורך הקטע ו . ? ∆ABCמהו שטח המשולש 9 9 . . y = –3x2 – 18x בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה . x הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-B ו- A היא קדקוד הפרבולה.Cהנקודה . x מאונך לציר ה -CD . x מקביל לציר ה-CE . א .)x קדקוד = – b 2a (היעזרו בנוסחה Cמצאו את שיעורי הנקודה . ב . B ו- Aמצאו את שיעורי הנקודות . ג ? הסבירו. DCEB מהו הסוג של המרובע . ד . DCEB חשבו את שטח המרובע x y K B A C B x y D E A C

-13כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 10 1 0 . y = –2x2 + 16x נתונה הפונקציה . x הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-C ו- B קדקוד הפרבולה.A . x מאונך לציר ה-AK . x מקביל לציר ה-AT . א מהם שיעורי קדקוד הפרבולה? . ב ? x מהן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- . ג ? הסבירו. CTAB מהו הסוג של המרובע . ד ? AK , TA , CB מהם אורכי הקטעים: . ה ? CTAB מהו שטח המרובע ו . (היעזרו במשפט פיתגורס). CTAB חשבו את היקף המרובע 11 1 1 א. סרטטו במערכת הצירים הנתונה את הגרפים של הפונקציות הבאות: .I h(x) = 2x2 – 4x – 5 , g(x) = 2x2 – 4x + 6 , f(x) = 2x2 – 4x לצורך סרטוט הגרפים היעזרו בטבלת הערכים הבאה. 3 2 1 0 –1 x f(x) g(x) h(x) . ב (פרבולה / קו ישר / אחר)? h(x) ו- g(x) מהו סוג הגרף של הפונקציות . ג g(x) = 2x2 – 4x + 6 כיצד הייתם מתארים את קבלת גרף הפונקציה ? ציינו את התשובה הנכונה:f(x) = 2x2 – 4xבאמצעות גרף הפונקציה f(x) = 2x2 – 4x ) על-ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציה 1( יחידות כלפי מטה. 6 ב- f(x) = 2x2 – 4x ) על-ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציה 2( יחידות כלפי מעלה. 6 ב- x y K B A C T x y

-14כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ד באמצעות גרף הפונקציהh(x) = 2x2 – 4x – 5 כיצד הייתם מתארים את קבלת גרף הפונקציה ? (ציינו את התשובה הנכונה):f(x) = 2x2 – 4x יחידות כלפי מטה. 5 ב- f(x) = 2x2 – 4x ) על-ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציה 1( יחידות כלפי מעלה. 5 ב- f(x) = 2x2 – 4x ) על-ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציה 2( . ה באמצעות גרף הפונקציה t(x) = 2x2 – 4x + 7 כיצד ניתן לדעתכם לקבל את גרף הפונקציה ? f(x) = 2x2 – 4x באמצעות t(x) = 2x2 – 4x + 7 המחישו את תשובתכם על-ידי סרטוט הגרף של הפונקציה - א. I טבלת ערכים באותה מערכת צירים שבסעיף 3 2 1 0 –1 x t(x) ו . - א, ורכזו בטבלה את שיעורי הקדקוד של הפרבולות. Ⅰ התבוננו בסרטוט שבסעיף הפרבולה של קדקודx שיעור ה- הפרבולה שלy שיעורי ה- קדקוד הפרבולה f(x) = 2x2 – 4x g(x) = 2x2 – 4x + 6 h(x) = 2x2 – 4x – 5 t(x) = 2x2 – 4x + 7 בהשוואה לשיעור t(x) , h(x) , g(x) של קדקודי הפרבולותx ) מה תוכלו לומר על שיעור ה- 1( ? f(x) של קדקוד הפרבולהx ה- בהשוואה לשיעור t(x) , h(x) , g(x) של קדקודי הפרבולותy ) מה תוכלו לומר על שיעור ה- 2( ? f(x) של קדקוד הפרבולהy ה-

-15כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . Ⅱ הסבר y y הוא פרבולה, המתקבלת על-ידי הזזה אנכית של גרף y = ax2 + bx + c גרף הפונקציה כלפי מעלה או כלפי מטה.y = ax2 + bx הפונקציה ✔ ✔ מתקבל באמצעותy = ax2 + bx + c חיובי, גרף הפונקציה c כאשר יחידות בכיוון c ב-y = ax2 + bx הזזה אנכית של גרף הפונקציה (כלומר כלפי מעלה). y החיובי של ציר ה- דוגמה התקבל על-ידי הזזהg(x) = 2x2 – 4x + 6 גרף הפונקציה I בסעיף יחידות כלפי מעלה. 6 ב- f(x) = 2x2 – 4x אנכית של גרף הפונקציה ✔ ✔ מתקבל באמצעותy = ax2 + bx + c שלילי, גרף הפונקציה c כאשר יחידות בכיוון | c | ב-y = ax2 + bx הזזה אנכית של גרף הפונקציה (כלומר כלפי מטה). y השלילי של ציר ה- דוגמה התקבל על-ידי הזזהh(x) = 2x2 – 4x – 5 גרף הפונקציה I בסעיף יחידות כלפי מטה. |–5| = 5 ב- f(x) = 2x2 – 4x אנכית של גרף הפונקציה y y מתקבל על-ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציהy = ax2 + bx + c מכיוון שגרף הפונקציה של קדקודי שתי הפרבולות זהה.x , שיעור ה- y = ax2 + bx שלx , ולכן גם שיעור ה- x קדקוד = – b 2a הואy = ax2 + bx של קדקוד הפרבולהx שיעור ה- . x קדקוד = – b 2a הואy = ax2 + bx + c קדקוד הפרבולה דוגמה של קדקודי הפרבולות:x שיעור ה- I בסעיף הוא:h(x) = 2x2 – 4x – 5 , g(x) = 2x2 – 4x + 6 , f(x) = 2x2 – 4x x קדקוד · – – – 1 b 2a –4 2 2 –4 4 = = = = . x קדקוד = 1 של קדקודי הפרבולות הוא אכןx ניתן לוודא ששיעור ה- בייצוגx של קדקודי הפרבולות, יש להציב את שיעור ה-y כדי למצוא את שיעור ה- האלגברי המתאים של הפונקציה. y x c יח' y x |c| יח'

-16כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . א . y = 2x2 – 4x + 3 נתונה הפונקציה מבלי לסרטט את הפרבולה רשמו את שיעורי קדקודה. (הדרכה: היעזרו בסעיפים הקודמים.) . ב . y = 5x2 – 15x נתונה הפונקציה (( ( 1 מבלי לסרטט את הפרבולה רשמו את שיעורי קדקודה. (( ( 2 . y = 5x2 – 15x + 2 נתונה הפונקציה של קדקוד הפרבולה.x ) היעזרו בתוצאה של הסעיף הקודם, ורשמו את שיעור ה- i( של קדקוד הפרבולה.y ) רשמו את שיעור ה- ii( (( ( 3 . y = 5x2 – 15x – 4 מצאו את שיעורי קדקוד הפונקציה 12 1 2 א. לפניכם גרפים של ארבע פונקציות ריבועיות. רשמו ליד כל ייצוג אלגברי את האות שמופיעה על גרף הפונקציה המתאים לייצוג. מה המילה שקיבלתם? הייצוג האלגברי של הפונקציה האות y = x2 – 3x y = x2 – 3x + 4 y = x2 – 3x – 5 y = x2 – 3x + 6 x y ר ה נ ד

-17כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ב לפניכם גרפים של ארבע פונקציות ריבועיות. רשמו ליד כל פונקציה את האות שמופיעה על גרף הפונקציה המתאים לייצוג. מה המילה שקיבלתם? הייצוג האלגברי של הפונקציה האות y = –x2 + 5x + 3 y = –x2 + 5x – 8 y = –x2 + 5x –12 y = –x2 + 5x 13 1 3 לפניכם גרפים של חמש פונקציות ריבועיות. באמצעות חיצים התאימו לכל פונקציה את הייצוג האלגברי שלה, והסבירו. f(x) • • 3x2 – 7x + 6 g(x) • • 3x2 – 7x – 5 h(x) • • 3x2 – 7x + 9 k(x) • • 3x2 – 7x t(x) • • 3x2 – 7x – 2 14 1 4 לפניכם גרפים של ארבע פונקציות. נוצרו על-ידי הזזה אנכית של t(x) ו - k(x) , g(x) הגרפים . f(x) = –2x2 – 4x גרף הפונקציה התבססו על הסרטוט, ורשמו את הייצוג האלגברי של הפונקציות . t(x) ו - k(x) , g(x) הסבירו את תשובתכם. x y נ א פ ל t(x) g(x) h(x) f(x) k(x) x y x y f(x) g(x) k(x) t(x)

-18כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 15 1 5 מבלי לסרטט את הפרבולות התאימו לכל פונקציה את הגרף שלה באמצעות חיצים. רשמו את שיעורי הקדקוד של הפרבולות. שיעורי קדקוד הפרבולה ( , ) y = –x2 + 4 • • y x )1( ( , ) y = x2 + x • • y x )2( ( , ) y = x2 + x + 6 • • y x )3( ( , ) y = –x2 • • y x )4( ( , ) y = x2 +x – 2 • • y x )5( ( , ) y = x2 + 5 • • y x )6(

-90כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות תשובות - הפונקציה הריבועית 1 1 . B (7, 5) . א)I ) ב (1 , 4) ←B נקודה סימטרית ל - ;(4 , 1) ←A נקודה סימטרית ל - (0 , 9) ←C נקודה סימטרית ל - ) ג אינו ציר סימטריה.x = 4 ) הישר 1( הוא ציר סימטריה.x = –2 ) הישר 2( הוא ציר סימטריה.x = –1 ) הישר 3( ) ד x = –1 )3( x = 3 )2( x = –3 )1( . א)II 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 x 12 5 0 –3 –4 –3 0 5 12 y ) ב פרבולה ) ג x = 2 ד) x = 2 כן, ) ה הנקודות סימטריות ביחס לציר הסימטריה. ו ) נסמן את נקודות החיתוך של הפרבולה .B ו - A ב -x עם ציר ה - (בהתאם לסעיף הקודם). AT = BT מתקיים: ) ז כן. שיעורי הנקודות הם: .T (2 , 0) , B (4 , 0) , A (0 , 0) . = + 2 4 0 2 מתקיים השוויון: .III א) 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 x –7 0 5 8 9 8 5 0 –7 y ) ב פרבולה ) ג x =3 ד) .x = 3 כן, ) ה הנקודות סימטריות ביחס לציר הסימטריה. ו ) של קדקוד הפרבולה הואx . שיעור ה -x = 6 , x = 0 של נקודות החיתוךx ממוצע (חשבוני) של שיעורי ה - .x קדקוד = = + 3 0 6 2 .x של הפרבולה עם ציר ה - IV I V =       = + 4 x 4 0 8 2 של קדקוד הפרבולה הואx ) שיעור ה - 1( ) א .x = 4 ציר הסימטריה הוא . =       = + –2.5 x –2.5 –5 0 2 של קדקוד הפרבולה הואx ) שיעור ה - 2( .x =–2.5 ציר הסימטריה הוא ) ב (7 , 0) )2( (–8 , 0) )1( x y x y A B T x y

-91כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות 2 2 . x = –3 , (–3 , –1) ג) x = –2, (–2 , 4) ב) x = 0, (0,2) א) x = 2 , (2 , 9) ו) x = 0 , (0 , –2) ה) x = 2 , (2 , – 4) ד) .3 א) 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 x 7 0 –5 –8 –9 –8 –5 0 –7 y ) ב x = –3 ג) (–3, –9) 4 4 . .(1 , 2) ב) מקסימום x = 1 א) 5 5 . (–2 , –8) ב) (– 4 , 0) א) 6 6 . + = + = ⇓ = + = = x 10x 0 x(x 10) 0 x 0 x 10 0 x –10 2 או )2( − = ⇓ = − = = x(x 5) 0 x 0 x 5 0 x 5 או )1( ) . אI ) ב גבי עידן + = − = = ⇓ = = = – 2x 12x 0 / : ( 2) x – 6x 0 x(x – 6) 0 x 0 x – 6 0 x 6 2 2 או + = + = ⇓ = + = = = – 2x 12x 0 x(–2x 12) 0 x 0 – 2x 12 0 – 2x –12 x 6 2 או ) ג . לכןx = 0 ו - x = 6 הם–2x2 + 12x = 0 ) לפי סעיף ב' פתרונות המשוואה 1( .B (6 ,0) ו - A (0 , 0) . מכאן ש -(6,0) ו - (0 , 0) הןx נקודות החיתוך עם ציר ה - (3 , 18) )3( x = 3 )2( ) ד (–1 , –3) )2( (–2 , 0) , (0 , 0) )1( II I I y = –2x2 + 12x ⇒ x קדקוד = = = · – – 3 b 2a 12 2 (–2) א) y = 3x2 + 6x ⇒ x קדקוד · = = =− – – 1 b 2a 6 2 3 ) ב לאפס, ולכן נפתור את המשוואה y שווה ה -x ) בנקודות החיתוך עם ציר ה - 1( .x2 – 8x =0 x2 – 8x = 0 ⇒ x (x – 8) = 0 ⇒ x = 0 אוx = 8 (8 , 0) , (0 , 0) מכאן שנקודות החיתוך הן: x קדקוד = = + 4 8 0 2 ) דרך א' (ללא שימוש בנוסחה): 2( x קדקוד = = = · – – 4 b 2a –8 2 1 דרך ב' (עם שימוש בנוסחה): x = 4 ⇒ y = 42 – 8 · 4 = 16 – 32 = –16 )3( .(4 , –16) שיעורי נקודת הקדקוד הם x y

-92כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות )4( ) ג x קדקוד = = = – – –2 b 2a –12 –6 )1( y קדקוד = –3 (–2)2 – 12 · (–2) = –3 · 4 + 24 = –12 + 24 = 12 .(–2 , 12) שיעורי הקדקוד הן –3x2 – 12x = 0 / : –3 ⇒ x2 + 4x = 0 ⇒ x (x + 4) = 0⇒ x = 0 אוx = –4 )2( .(– 4 ,0) , (0 , 0) נקודות החיתוך הן )3( 7 7 . )3 , 9) ; x = 3 ; (6 , 0) , (0 , 0) )2( (1 , –1) ; x = 1 ; (2 , 0) , (0 , 0) )1( (1 , 3) ; x = 1 ; (2 , 0) , (0 , 0) )4( (2.5 , –12.5) ; x = 2.5 ; (5, 0) , (0, 0) )3( (–1 , 2) ; x = –1 ; (–2 , 0) , (0 ,0( )5( 8 8 . x = 5 ג) (5 , –25) ב) B (10 , 0) , A (0 , 0) א) יח"ר 125 יח' ו) 25 יח' ה) 10 ד) 9 9 . A (–6 , 0) , B (0 , 0) ב) (–3 , 27) א) ) ג מלבן. הסבר: (זווית בין הצירים). DBE = 90˚ (נתון) CDB = 90˚ (זוויות חד-צדדיות בין מקבילים) ECD = 180˚ – CDB = 180˚ – 90˚ = 90˚ אם במרובע יש שלוש זוויות ישרות, אזי גם הזווית הרביעית ישרה, והמרובע הוא מלבן. ) ד . S = 3 · 27 = יח"ר 81 , ולכן: CD = יח' 27 , DB = יח' 3 . הסבר:81 10 1 0 ג) טרפז ישר-זווית. C (0 , 0) , B (8 , 0) ב) (4 , 32) א) ) ד יח' 76.25 ו) יח"ר 192 ה) AK = יח' 32 , TA = יח' 4 , CB = יח' 8 x y (0,0) (8,0) (4,-16) (–2,12) (–4,0) (0,0) x y

-93כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות . א)I .11 3 2 1 0 –1 x 6 0 –2 0 6 f(x) 12 6 4 6 12 g(x) 1 –5 –7 –5 1 h(x) ) ב פרבולות ) ג (2) ) ד (1) ) ה f(x) = 2x2 – 4x על-ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציה יחידות כלפי מעלה. 7 ב- 3 2 1 0 –1 x 13 7 5 7 13 t(x) ו) הפרבולה שלx שיעור ה- קדקוד הפרבולה שלy שיעורי ה- קדקוד הפרבולה f(x) = 2x2 – 4x 1 –2 g(x) = 2x2 – 4x + 6 1 4 h(x) = 2x2 – 4x – 5 1 –7 t(x) = 2x2 – 4x + 7 1 5 . x = 1 והוא ,x ) לקדקודי הפרבולות יש אותו שיעור 1( כלפי מעלה או f(x) גדל או קטן בהתאם למספר יחידות ההזזה של הפרבולה y ) שיעור ה- 2( כלפי מטה. y y של קדקודy יחידות לעומת שיעור ה- 6 גדל ב- g(x) של קדקוד הפרבולהy שיעור ה- . –2 + 6 = 4 והוא: ,f(x) הפרבולה y y שלy יחידות לעומת שיעור ה- 5 קטן ב-h(x) של קדקוד הפרבולהy שיעור ה- . –2 – 5 = –7 , והואf(x) קדקוד הפרבולה y y של קדקודy יחידות לעומת שיעור ה- 7 גדל ב- t(x) של קדקוד הפרבולהy שיעור ה- . –2 + 7 = 5 , והוא:f(x) הפרבולה I I. של קדקודx שווה לשיעור ה-y = 2x2 – 4x + 3 של קדקוד הפרבולהx שיעור ה- � א) . x = 1 , ולכן הוא y = 2x2 – 4x הפרבולה של קדקוד הפרבולה בשתי דרכים:y ניתן לחשב את שיעור ה- � בנוסחה, ונקבל:x = 1 דרך א': נציב y קדקוד = 2 · 12 – 4 · 1 + 3 = 2 – 4 + 3 = 1 של קדקודy יחידות לעומת שיעור ה- 3 גדל ב- y דרך ב': שיעור ה- y קדקוד =–2 + 3 = 1 . לכן: y = 2x2 – 4x הפרבולה . (1 , 1) מכאן ששיעורי הקדקוד של הפרבולה הם x y f(x) g(x) t(x) h(x)

-189כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © גיאומטריה ארגז הכלים המצטבר בפרק זה נסכם את המשפטים והכללים שנלמדו בשנים שעברו. y y צלע, זווית, צלע (צ.ז.צ.) משפט חפיפה ראשון - אם שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן במשולש אחד שוות בהתאמה (אחת לאחת) לשתי הצלעות והזווית הכלואה ביניהן במשולש אחר, אזי המשולשים חופפים. y y זווית, צלע, זווית (ז.צ.ז.) משפט חפיפה שני - אם צלע ושתי הזוויות שלידה במשולש אחד שוות בהתאמה (אחת לאחת) לצלע ושתי הזוויות שלידה במשולש אחר, אזי המשולשים חופפים. y y צלע, צלע, צלע (צ.צ.צ.) משפט חפיפה שלישי - אם שלוש צלעות במשולש אחד שוות בהתאמה (אחת לאחת) לשלוש צלעות במשולש אחר, אזי המשולשים חופפים. y y משפט חפיפה של משולשים ישרי-זווית שני משולשים ישרי-זווית, שלהם ניצב שווה ויתר שווה, חופפים זה לזה. y y דמיון משולשים אם לשני משולשים זוויות שוות, אזי הם דומים, ולכן קיים יחס דמיון בין הצלעות, כלומר: AB KT =BC TP =AC KP ⇐ ΔABCΔKTP ⇐ A=K B=T C=P ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪ y y זוויות צמודות :180° משפט: סכום זוויות צמודות שווה ל - α + β = 180° B A C T K P αβ

-190כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ארגז הכלים המצטבר-המשך y y זוויות קדקודיות משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו: β = δ , α = γ y y :180° משפט: סכום שלוש הזוויות במשולש כלשהו הוא .α + β + γ = 180° y y :90˚ משפט: במשולש ישר-זווית סכום הזוויות החדות הוא a + b = 90˚ y y .180˚ (n – 2) צלעות הואn משפט: סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור בעל y y זווית חיצונית למשולש ✔ ✔ זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה: γ = α+β ✔ ✔ זווית חיצונית למשולש גדולה מכל זווית פנימית שאינה צמודה לה: g > b , g >a y y סכום אורכי שתי צלעות כלשהן במשולש גדול מאורכה של הצלע השלישית: c + b > a , a + c > b , a + b > c הערה: שלושת התנאים חייבים להתקיים בו-זמנית. α β δ γ α β γ α β γ α β γ α β b c a

-191כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ארגז הכלים המצטבר-המשך y y משולש שווה-שוקיים ✔ ✔ במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו: B =C⇐ AC = AB ✔ ✔ אם במשולש שתי זוויות שוות, אזי המשולש שווה-שוקיים (הצלעות, שמול הזוויות השוות, שוות זו לזו): AC = AB ⇐B =C ✔ ✔ במשולש שווה-שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס וגם תיכון לבסיס: ,A 1 =A 2 ו- AB = ACאם .BD = DC ו- AD⊥BC אזי ✔ ✔ במשולש שווה-שוקיים הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם תיכון לבסיס: ,AD⊥BC - ו AB = AC אם .BD = DC - ו A1 =A2 אזי ✔ ✔ במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם גובה לבסיס: ,BD = DC ו - AB = ACאם .AD⊥BC ו - A 1 = A 2 אזי y y משולש שווה-צלעות ✔ ✔ :60˚ במשולש שווה-צלעות כל זווית שווה ל - A =B =C = 60˚ ✔ ✔ , הוא משולש שווה-צלעות.60˚ משולש, שכל אחת מזוויותיו בת ✔ ✔ במשולש שווה-צלעות חוצה כל זווית במשולש הוא גם גובה לצלע שמול הזווית וגם תיכון לצלע שמול הזווית. A B C A B C 21 D A B C 21 D A B C 21 D A B C

-192כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ארגז הכלים המצטבר-המשך y y משפט פיתגורס בכל משולש ישר-זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר: a2 + b2 = c2 y y התיכון לצלע במשולש מחלק אותו לשני משולשים שווי - שטח: S ∆ABD = S ∆CBD y y דלתון ✔ ✔ בדלתון זוויות הצד שוות זו לזו: .B =D ✔ ✔ בדלתון האלכסון הראשי חוצה את זוויות הראש: .C1 =C2 , A1 =A2 ✔ ✔ בדלתון האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו: .AC⊥BD , BE = ED • ישרים מקבילים ✔ ✔ אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי: א. כל שתי זוויות מתחלפות שוות: 1 =7 , 2 =8 , 4 =6 , 3 =5 ב. כל שתי זוויות מתאימות שוות: 1 =5 , 4 =8 , 2 =6 , 3 =7 :180˚ ג. הסכום של כל שתי זוויות חד-צדדיות שווה ל- 3 +6 = 180˚ , 2 +7 = 180˚ 4 +5 = 180˚ , 1 +8 = 180˚ a c b C A B D B A D C 1 1 2 2 B E C D A 87 12 56 3 4

-193כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ארגז הכלים המצטבר-המשך ✔ ✔ אם שני ישרים נחתכים על-ידי ישר שלישי, וקיים: זוג אחד של זוויות מתחלפות שוות, או זוג אחד של זוויות מתאימות שוות, או הישרים מקבילים. , אזי180˚ זוג אחד של זוויות חד-צדדיות שסכומן .a || b ⇐ α + δ = 180º או γ = β או α = βלדוגמה: אם • טרפז ✔ ✔ .טרפזהגדרה: מרובע, שבו רק שתיים מהצלעות הנגדיות מקבילות, נקרא .בסיסים ) נקראות DC ׀׀ AB( הצלעות המקבילות .שוקיים) נקראות AD BC( הצלעות שאינן מקבילות ✔ ✔ .180˚ בטרפז סכום שתי הזוויות שליד כל שוק שווה ל- כלומר: ,)AB CD , BC ׀׀ AD( טרפז ABCD אם .C +D =180˚ , A +B =180˚ אזי ✔ ✔ טרפז שווה-שוקיים הוא טרפז ששוקיו שוות זו לזו: .PS = TR ✔ ✔ בטרפז שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו: P =T , S =R y y מקבילית הגדרה: מקבילית היא מרובע, שבו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות זו לזו: BC || AD , AB || DC δ c α a b γ β B A D C B A D C T R S P A B C D

-194כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ארגז הכלים המצטבר-המשך תכונות המקבילית ✔ ✔ במקבילית הצלעות הנגדיות שוות זו לזו: . BC = AD , AB = DC ✔ ✔ במקבילית הזוויות הנגדיות שוות זו לזו: . B =D , A =C ✔ ✔ :180˚ במקבילית סכום הזוויות הסמוכות שווה ל- A +D = 180˚ , B +C = 180˚ .D +C = 180˚ , A+B = 180˚ ✔ ✔ במקבילית חוצי זוויות סמוכות מאונכים זה לזה: BT⊥TC ✔ ✔ במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה: AE = CE , BE = DE תכונות מזהות של מקבילית ✔ ✔ מרובע, שכל שתי צלעותיו הנגדיות מקבילות זו לזו, הוא מקבילית (הגדרה): מקבילית.ABCD⇐BC || AD ו - AB || DC ✔ ✔ מרובע, שכל שתי צלעותיו הנגדיות שוות זו לזו, הוא מקבילית: מקבילית.ABCD⇐BC = AD ו- AB = DC ✔ ✔ מרובע, שכל שתי זוויותיו הנגדיות שוות זו לזו, הוא מקבילית: מקבילית .ABCD⇐B =D ו- A =C ✔ ✔ מרובע, שבו שתי צלעות נגדיות שוות ומקבילות, הוא מקבילית: מקבילית.ABCD⇐AB || DC ו- AB = DC ✔ ✔ מרובע, שאלכסוניו נחצים, הוא מקבילית: מקבילית .ABCD⇐BE = DE ו- AE = CE A D B C A D B C T A D B C E A D B C A D B C E

-195כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ארגז הכלים המצטבר-המשך y y שטחים ✔ ✔ שטח משולש: מחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו. S a h 2 = · ✔ ✔ שטח משולש ישר-זווית: מחצית מכפלת ניצביו. S a b 2 = · ✔ ✔ שטח מלבן: מכפלת שתי צלעותיו הסמוכות. S = a · b ✔ ✔ שטח דלתון: מחצית מכפלת אלכסוניו. S AC BD 2 = · ✔ ✔ שטח טרפז: מחצית מכפלת גובה הטרפז בסכום הבסיסים. S (BC AD) CE 2 = + · ✔ ✔ שטח מקבילית: מכפלת צלע בגובה לצלע זו. S = a · h a h a b a b B C D A B A D E C h a

-196כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מלבן בשנים הקודמות עסקנו במלבן. בפרק זה נרחיב את הלימוד בנושא זה. מה נלמד? ✔ ✔ נלמד את תכונות המלבן כמקרה פרטי של מקבילית. ✔ ✔ נלמד מהם התנאים המספיקים כדי לקבוע כי מרובע מסוים הוא מלבן. ✔ ✔ נלמד לפתור תרגילים, המשלבים את תכונות המלבן, חישוב ההיקף והשטח של המלבן, לרבות שימוש במשפט פיתגורס. ✔ ✔ נלמד לפתור תרגילים עם צורות גיאומטריות במערכת צירים. לדרך... תרגילים )293-287 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 1 1 . . א .A = 90˚ שבהABCDנתונה מקבילית ) במקבילית הזוויות הנגדיות שוות, ולכן מתקיים: 1( A =C = , ולכן מתקיים: 180° ) במקבילית סכום הזוויות הסמוכות שווה ל- 2( A +B = ⇓ +B = 180˚ ⇓ B = – = הגדרה y y מרובע שכל זוויותיו ישרות הוא מלבן. מלבן.ABCD , אזי A =B =C =D = 90˚ אם y y אם במרובע שלוש זוויות ישרות, אזי גם הזווית הרביעית ישרה, והמרובע הוא מלבן: הוא מלבן.ABCD ו- D = 90˚ אזיA =B =C = 90˚ אם A D B C A D B C B A C D

Made with FlippingBook

RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=