מתמטיקה לכיתה ח' - חלק א'

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 3262 אישור מס': 8.5.14 אושר בתאריך:

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה ואושר על ידי מתאים לתוכנית הלימודים החדשה, הספר "מתמטיקה לכיתה ח' – חלק א' – סדרת צמרת" משרד החינוך כספר לימוד לכיתות ההטרוגניות. תוכנית הלימודים החדשה של משרד החינוך לכיתות ח' מחולקת לשלושה סבבים. כל אחד מהסבבים הללו מחולק לשלושה תחומים: תחום אלגברי, תחום מספרי ותחום גיאומטרי. ומכיל: אחד מתוך שני כרכים בסדרה"מתמטיקה לכיתה ח' – חלק א' – סדרת צמרת" הוא – פונקציה קווית, פתרון משוואות ממעלה ראשונה ושאלות מילוליות. תחום אלגברי – יחס, פרופורציה, קנה מידה, שורש ריבועי. תחום מספרי – משולשים חופפים, דמיון משולשים ומצולעים, משפט פיתגורס. תחום גיאומטרי מה מיוחד בספר? • כל פרק מתחיל עם הסבר קצר וברור או משימת פתיחה, ועם תרגילי "מפתח". תרגילי ה"מפתח" נלמדים בכיתה ומהווים כלי עזר מצוין למורה לצורך הסבר החומר. • בסיום כל פרק מופיע סיכום המרכז את החומר הנלמד בפרק. • בכל פרק משולבים בין התרגילים, תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • וכולל בתוכו מספר רב של שאלות, המדורגות ברמות קושי לכל רמות הלימוד הספר מכיל תרגול רב שונות, והמאפשרות לכל התלמידים להתמודד עמן ברמות שונות של עומק. • בנוסף מופיעים תרגילים ברמת קושי גבוהה, המסומנים בסימון * או **, ומיועדים לתלמידים מתקדמים. • התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך" (ברוב המקרים) ולא רק תשובות סופיות. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה, ובו, בנוסף לרציונל הפדגוגי, מופיעים פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות והצעות לדרכי הוראה והמחשה. תמיכה בבתי הספר בתי ספר אשר ילמדו לפי ספר זה, יקבלו ליווי והדרכה. תודתנו נתונה לונסה זיימן ורווית דוידוב שקראו את הספר, העירו והאירו. הרבה תודה ואהבה על התמיכה והסבלנות נתונות למשפחותינו: בני זוגנו איתן וקרינה, וילדינו עידן, דניאל, מעין, נירם, גבי ואנסטסיה. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. אתי עוזרי & יצחק שלו

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים יחס 1................................................................................................................................. יחס בין מספרים 13. ............................................................................................................................. חלוקה ביחס נתון 22. ....................................................................................................................................... פרופורציה 32. .......................................................................................................................... יחס ישר ויחס הפוך 43. ....................................................................................................................................... קנה מידה 54. .......................................................................................................................................... תשובות הפונקציה הקווית 73. ............................................................................................. הפונקציה הקווית והייצוג האלגברי שלה 85. .......................................................................................................... התכונות של הפונקציה הקווית 102................................................................................................................. ישרים המקבילים לצירים 112................................................................................................ מציאת הייצוג האלגברי של הקו הישר 122........................................................................................... נקודות החיתוך של הקו הישר עם הצירים 129......................................................................................................... גרפים של שתי פונקציות קוויות 140................................................................................................. ייצוג תופעות בעזרת פונקציות קוויות 147.......................................................................................................................................... תשובות משוואות ממעלה ראשונה ופתרון שאלות מילוליות 171....................................................................................... ) משוואת ממעלה ראשונה ללא שברים (חזרה 175..................................................................................... משוואות ממעלה ראשונה בעלות מכנה מספרי 185................................................................................................................................. שאלות כלליות 198.................................................................................................................................. שאלות תנועה 208............................................................................................................................... שאלות הנדסיות 215.......................................................................................................................................... תשובות

כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © משולשים חופפים 226.................................................................................................................. משולשים חופפים - מבוא 235......................................................................................................... משפטי חפיפה - קדם דדוקטיבי 251................................................................................. משפטי חפיפה - קדם דדוקטיבי - תרגילים שונים 260.......................................................................................... חפיפת משולשים - גיאומטריה דדוקטיבית 282.......................................................................................................................................... תשובות דמיון משולשים ומצולעים 301............................................................................................................................... דמיון משולשים 321................................................................................................................................ דמיון מצולעים 331.......................................................................................................................................... תשובות משפט פיתגורס 338.................................................................................................................................... שורש ריבועי 344................................................................................................................................ משפט פיתגורס 362.......................................................................................................................................... תשובות נספחים 370................................................................................................................. נספח א' - דמיון משולשים 371..................................................................................................................... נספח ב' - המרת מידות 372............................................................................................................. נספח ג' - גיאומטריה - חזרה 374....................................................................................................................... נספח ד' - משימות פתיחה

-1כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחס יחס בין מספרים משימת פתיחה ראשונה נתונה סדרה של מלבנים. . א מהו האורך של הצלע הקצרה במלבן הרביעי שבסדרה? הסבירו את תשובתכם. . ב מהו האורך של הצלע הארוכה במלבן הרביעי שבסדרה? הסבירו את תשובתכם. . ג מהם ממדי המלבן החמישי שבסדרה? . ד על סמך התבוננות באורכי הצלעות הסמוכות של כל אחד מחמשת המלבנים הנ"ל, קבעו מהי התכונה המשותפת לכל אחד מהמלבנים שבסדרה. . ה ס"מ. על סמך התובנות מסעיף ד' ציינו27 אורך הצלע הקצרה של אחד המלבנים שבסדרה הוא מהו אורך הצלע הארוכה במלבן זה. הסבירו את תשובתכם. ו . ס"מ. על סמך התובנות מסעיף ד' ציינו96 אורך הצלע הארוכה של אחד המלבנים שבסדרה הוא מהו אורך הצלע הקצרה במלבן זה. הסבירו את תשובתכם. )375-374 (פתרון מפורט - בנספח ד' שבסוף הספר, עמ' משימת פתיחה שנייה נמלה וצב התיידדו והחליטו לעשות טיול מסביב לעולם. יום אחד הגיעו הנמלה והצב לשפת האגם. "אני לא יודעת לשחות", אמרה הנמלה. "מה הבעיה? תעלי על הגב שלי, אני אשחה, וכך אעביר אותך לצד השני של האגם", אמר הצב. הנמלה התיישבה על השריון של הצב, והצב החל לשחות. כשהגיע הצב למחצית הדרך, נרדמה הנמלה, והיא התעוררה כאשר הדרך שנותרה עד הצד השני של האגם היתה מחצית הדרך, שעבר הצב מרגע שהנמלה נרדמה ועד שהתעוררה. איזה חלק מהדרך עבר הצב בשחייה כאשר הנמלה היתה ערה? את המרחק שנשאר לצב לשחות עד הצד השני של האגם לאחר שהנמלה התעוררה.) x- (הדרכה: סמנו ב )376-375 (פתרון מפורט - בנספח ד' שבסוף הספר, עמ' מה נלמד? ✔ ✔ נלמד את המושג "יחס בין שניים (או שלושה) גדלים" ואת משמעותו. ✔ ✔ נלמד את כללי הכתיבה של היחס בין גדלים. ✔ ✔ נלמד כיצד משפיעה הגדלה/הקטנה של מספר איברי הקבוצות על היחס ביניהן. לדרך... , , ,... ס"מ 9 ס"מ 6 ס"מ 3 ס"מ 1 2 ס"מ 3 ס"מ

-2כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תרגילים ) 57 - 54 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 1 1 . ענו על השאלות הבאות. .I . א וורדים לבנים. 5וורדים אדומים ו- 10 לכבוד החג הביא יהונתן לאמו זר פרחים, ובו (( ( 1 פי כמה גדול מספר הוורדים האדומים ממספר הוורדים הלבנים? (( ( 2 פי כמה קטן מספר הוורדים הלבנים ממספר הוורדים האדומים? . ב ממספר עצי הרימון.2 מספר עצי התפוז בפרדס גדול פי (( ( 1 האם ניתן לדעת כמה עצי תפוז וכמה עצי רימון יש בפרדס? הסבירו. (( ( 2 תנו מספר דוגמאות למספר עצי התפוז ולמספר עצי הרימון שיכולים להיות בפרדס. . Ⅱ -א וקבעו:I עיינו בסעיף . א מהו היחס בין מספר הוורדים האדומים למספר הוורדים הלבנים? . ב מהו היחס בין מספר הוורדים הלבנים למספר הוורדים האדומים? מיניבוסים.20מכוניות פרטיות ו-30 בחנייה עירונית יש . Ⅲ . א מהו היחס בין מספר המכוניות הפרטיות למספר המיניבוסים שבחנייה? בחרו את התשובות הנכונות והסבירו. 2 3 )5( 1.5 )4( 30 20 )3( 20 30 )2( 3 2 )1( . ב מהו היחס בין מספר המיניבוסים למספר המכוניות הפרטיות? . ג תנו דוגמה אחרת, שבה היחס בין שני גדלים הוא כמו היחס בין מספר המכוניות הפרטיות למספר המיניבוסים שבשאלה זו. בלונים אדומים.25בלונים כחולים ו-20 במסיבת יום ההולדת של יאיר היו . Ⅳ . א מהו היחס בין מספר הבלונים הכחולים למספר הבלונים האדומים? . ב מהו היחס בין מספר הבלונים האדומים למספר הבלונים הכחולים? . ג מהו היחס בין מספר הבלונים הכחולים למספר הכולל של הבלונים? . ד מהו היחס בין מספר הבלונים האדומים למספר הכולל של הבלונים? הוא המנה (תוצאת החילוק) של שני מספרים (גדלים או כמויות) חיוביים, ומשמש להשוואהיחס בין שני הגדלים. מקובל לרשום את היחס בין המספרים כשבר מצומצם, אם זה אפשרי. למשל: y y . 2 5 , אך מקובל לרשום אותו כשבר מצומצם כך: 14 35 הוא35ו- 14 היחס בין המספרים y y . =5 15 3 , כי :5 הוא3 למספר 15 היחס בין המספר y y . = 3 15 1 5 ,כי : 1 5 הוא15 למספר 3 היחס בין המספר

-3כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . סיכום התרגיל Ⅴ 2 2 . כדורים לבנים.21כדורים שחורים ו-9 בשק יש . א מהו היחס בין מספר הכדורים השחורים למספר הכדורים הלבנים בשק? . ב מהו היחס בין מספר הכדורים הלבנים למספר הכדורים השחורים בשק? 3 3 . מדריכים.2 חניכים בקייטנה יש10 לכל . א מהו היחס בין מספר המדריכים למספר החניכים? . ב מהו היחס בין מספר החניכים למספר המדריכים? 4 4 . מצלמות.24מחשבים ו-16 ביום מסוים נמכרו בחנות למוצרי חשמל רק שני סוגי מוצרים: . א מהו היחס בין מספר המצלמות למספר המחשבים שנמכרו? . ב מהו היחס בין מספר המחשבים שנמכרו למספר כלל מוצרי החשמל שנמכרו? 5 5 . .28 קלפים בשני צבעים: שחור ולבן. מספר הקלפים השחורים בשק הוא77 בשק יש . א חשבו את היחס בין מספר הקלפים השחורים לבין המספר הכולל של הקלפים בשק. . ב מהו היחס בין מספר הקלפים השחורים למספר הקלפים הלבנים בשק? 6 6 . ק"מ מהמסלול שופצו.150 ק"מ.400 אורך מסלול של פסי רכבת הוא . א מהו היחס בין אורך המסלול הבלתי-משופץ לבין אורך המסלול המשופץ? . ב מהו היחס בין אורך המסלול כולו לבין אורך המסלול הבלתי משופץ? 7 7 . הן שתי זוויות צמודות.bו- aהזוויות .a = 30˚ ידוע כי .bלזווית aחשבו את היחס בין זווית הוא המנה (תוצאת החילוק) של שני מספרים (גדלים או כמויות) חיוביים, ומשמש להשוואהיחס בין שני הגדלים. הם מספרים חיוביים, אזי:yו- x אם המספרים ✔ ✔ . x y הואy למספר x היחס בין המספר ✔ ✔ . y x הואx למספר y היחס בין המספר אם ניתן לצמצם את השברים, מקובל לרשום אותם כשבר מצומצם. לייצוג זה נקרא יחס מצומצם.

-4כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 8 8 . נתונים שיעורי הנקודות: D (14, 4) , C (4 , 4) , B (–2 , 6) , A (–2 , 2) . א סמנו את הנקודות במערכת הצירים. (הדרכה: סרטטו מערכת צירים, שבה כל משבצת היא יחידה אחת.) . ב ?DC לאורך הקטע AB מהו היחס בין אורך הקטע 9 9 . .I ילדים. 18מבוגרים ו-24 א. בחוג לאמנות רשומים בחרו את היחס בין מספר הילדים למספר המבוגרים בחוג. 4 : 3 )4( 3 : 4 )3( 3 4 )2( 4 3 )1( . ב .4 : 5 בחפיסת קלפים היחס בין מספר הקלפים האדומים למספר הקלפים השחורים הוא ) תנו דוגמאות למספר הקלפים האדומים ולמספר הקלפים השחורים, המקיימים את היחס 1( הנתון. ) מהו היחס המצומצם בין מספר הקלפים האדומים למספר הכולל של הקלפים בכל אחת 2( .)1( - מהחפיסות שציינתם בדוגמאות שבסעיף ב ) מהו היחס המצומצם בין מספר הקלפים השחורים למספר הכולל של הקלפים בכל אחת 3( .)1( - מהחפיסות שציינתם בדוגמאות שבסעיף ב ) ללא הדוגמאות 3( - ) וב 2( - ) האם ניתן היה להסיק את היחסים שקיבלתם בסעיפים ב 4( ), אלא רק מתוך ידיעת היחס בין מספר הקלפים האדומים למספר הקלפים 1( - שבסעיף ב השחורים? הסבירו את תשובתכם. . ג בסלסילה יש שוקולד משני סוגים: שוקולד לבן ושוקולד שחור. היחס בין מספר השוקולדים .2 : 5 הלבנים לסך-כל השוקולדים שבסלסילה הוא ( 1) תנו דוגמאות למספר השוקולדים הלבנים ולמספר השוקולדים השחורים שיכולים להיות בסלסילה. יחס קוראים משמאל לימין. למשל: . 3 4 גם כ- 3 : 4 ". ניתן לרשום את היחס4 ל - 3קוראים משמאל לימין - "3 : 4 יחס . 6 7 גם כ- 6 : 7 ". ניתן לרשום את היחס7 ל - 6קוראים משמאל לימין - "6 : 7 יחס

-5כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ( 2) אילו מההיגדים הבאים מתאימים לשאלה? הסבירו את תשובתכם. ).)4(- (היעזרו בהסבר התשובה של סעיף ב .2 : 5 היחס בין מספר השוקולדים השחורים לסך-כל השוקולדים שבסלסילה הוא (i) .3 : 7 היחס בין מספר השוקולדים השחורים לסך-כל השוקולדים שבסלסילה הוא (ii) .3 : 5 היחס בין מספר השוקולדים השחורים לסך-כל השוקולדים שבסלסילה הוא (iii) .3 : 2 היחס בין מספר השוקולדים הלבנים למספר השוקולדים השחורים הוא (iiii) .2 : 3 היחס בין מספר השוקולדים הלבנים למספר השוקולדים השחורים הוא (iiiii) כדורים לבנים.12כדורים שחורים ו-8 בקופסה יש . Ⅱ . א מהו היחס בין מספר הכדורים השחורים למספר הכדורים הלבנים? (רשמו את היחס לאחר הצמצום, והשתמשו בסימן ":".) . ב מיכל חילקה את הכדורים שבקופסה למספר קבוצות, כך שבכל קבוצה היו כדורים בעלי אותו צבע. העתיקו את הסרטוט למחברתכם, וצבעו בצבע שחור את הכדורים השחורים בהתאם לחלוקה של מיכל. - א'? Ⅱ מה הקשר בין חלוקה זו ליחס שקיבלתם בסעיף . ג יעל חילקה את הכדורים למספר קבוצות בשונה מהחלוקה של מיכל, כך שהרכב הכדורים בכל אחת מהקבוצות היה זהה. העתיקו את הסרטוט למחברתכם, וצבעו בצבע שחור את הכדורים השחורים בהתאם לחלוקה של יעל. - א'? Ⅱ מה הקשר בין חלוקה זו ליחס שקיבלתם בסעיף . סיכום התרגיל Ⅲ y y חשוב להקפיד על קריאה נכונה של היחס משמאל לימין. למשל: .a : b היחס בין מספר הספרים שעל המדף למספר המחברות שעל המדף הוא מתאים למחברות.bמתאים לספרים, ו- aפירושו של דבר ש- y y בין מספר הספרים למספר המחברות ניתן להתייחס בשני אופנים: a : b ליחס (( ( 1 קבוצות מכילות רקaקבוצות השוות בגודלן, כאשרa + b חלוקת סך-כל הפריטים ל- -ב'). Ⅱ קבוצות מכילות רק מחברות (ראו את הדוגמה המופיעה בסעיףbספרים, ו- (( ( 2 a חלוקת סך-כל הפריטים למספר קבוצות השוות בגודלן, כך שבכל אחת מהן יש -ג'). Ⅱ מחברות (ראו את הדוגמה המופיעה בסעיף b- ספרים ו

-6כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 10 1 0 היחס בין מספר הבנים בכיתה שמרכיבים משקפיים למספר הבנים שאינם מרכיבים משקפיים .3:5 הוא . א מהו היחס בין מספר הבנים שאינם מרכיבים משקפיים למספר הבנים שמרכיבים משקפיים בכיתה? . ב מהו היחס בין מספר הבנים שמרכיבים משקפיים למספר הכולל של הבנים בכיתה? . ג מהו היחס בין מספר הבנים שאינם מרכיבים משקפיים למספר הכולל של הבנים בכיתה? 11 1 1 קוביות שחורות.27קוביות לבנות ו-18 בשק יש . א מה היחס בין מספר הקוביות הלבנות למספר הקוביות השחורות? . ב 2 קבוצות של קוביות, ובכל קבוצה יהיו9 ענת אמרה: "מכל הקוביות שבשק אני יכולה להרכיב קוביות שחורות". האם ענת צודקת? נמקו את תשובתכם.3קוביות לבנות ו- . ג 9 קבוצות של קוביות, ובכל קבוצה יהיו5 תמר אמרה: "מכל הקוביות שבשק אני יכולה להרכיב קבוצות-רק קוביות לבנות". האם תמר צודקת?2קבוצות יהיו רק קוביות שחורות, וב-3קוביות. ב- נמקו את תשובתכם. 12 1 2 כדורים לבנים.12כדורים שחורים ו-9 בקופסה יש . א חשבו את היחס בין מספר הכדורים השחורים למספר הכדורים הלבנים. . ב 7 קבוצות. בכל קבוצה יש3גבי חילק את כל הכדורים שבקופסה ל- כדורים, והרכב הכדורים מבחינת הצבעים זהה בכל הקבוצות. העתיקו את הסרטוט למחברתכם, וצבעו את הכדורים השחורים בהתאם לחלוקה של גבי. . ג 3 קבוצות. בכל קבוצה יש7עודד חילק את כל הכדורים שבקופסה ל- כדורים בעלי אותו צבע. העתיקו את הסרטוט למחברתכם, וצבעו את הכדורים השחורים בהתאם לחלוקה של עודד. 13 1 3 חפיסות של50חפיסות של שוקולד לבן ו-30 לקראת החג החליט בעל מעדנייה להכין שקיות שי. ברשותו שוקולד שחור. העתיקו את המשפטים למחברתכם והשלימו. . א היחס בין מספר חפיסות השוקולד הלבן למספר חפיסות השוקולד השחור הוא _______. . ב שקיות הזהות בהרכבן,10אם יארוז בעל המעדנייה את כל חפיסות השוקולד ב- הוא יכניס בכל שקית: _______ חפיסות שוקולד לבן. _______ חפיסות שוקולד שחור. . ג 10 אם יארוז בעל המעדנייה את כל חפיסות השוקולד בשקיות, כך שבכל שקית חפיסות שוקולד מאותו סוג, אזי יהיו: _______ שקיות ובהן שוקולד לבן. _______ שקיות ובהן שוקולד שחור.

-7כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 14 1 4 כדורים ירוקים.24כדורים אדומים ו-16 נתונים . Ⅰ . א מהו היחס בין מספר הכדורים האדומים למספר הכדורים הירוקים? . ב את כמות הכדורים משני הצבעים: .4 ) הקטינו פי 5( .2 ) הקטינו פי 4( .5 ) הגדילו פי 3( .3 ) הגדילו פי 2( .2 ) הגדילו פי 1( חשבו בכל אחד מהמקרים את מספר הכדורים האדומים, מספר הכדורים הירוקים ואת היחס ביניהם. . ג חשבו את מספר הכדורים האדומים והכדורים הירוקים ואת היחס ביניהם (בין מספר הכדורים את כמות הכדורים האדומים, ויגדילו פי2 האדומים למספר הכדורים הירוקים), אם יגדילו פי את כמות הכדורים הירוקים.3 . ד מה יהיה מספר הכדורים בכל אחד מהצבעים, ומה יהיה היחס ביניהם (בין מספר הכדורים את כמות הכדורים האדומים, ויקטינו2 האדומים למספר הכדורים הירוקים), אם יקטינו פי את כמות הכדורים הירוקים?4 פי . ה הסתמכו על הסעיפים הקודמים, וקבעו איזה משפט נכון מבין שני המשפטים הבאים: (( ( 1 .משתנהאם הערך של שני גדלים גָדֵל (או קָטֵן) בו-זמנית פי אותו מספר, היחס בין הגדלים (( ( 2 .לא משתנהאם הערך של שני גדלים גָדֵל (או קָטֵן) בו-זמנית פי אותו מספר, היחס בין הגדלים ו . הציגו מספר דוגמאות פרטיות, הממחישות את נכונות תשובתכם שבסעיף ה'. . = y x 2 3 , כלומר:2 : 3 שווה ליחסy : x . ידוע כי היחס x- ו y : נתונים שני גדלים . Ⅱ בטבלה שלפניכם נתונים כמה מערכי הגדלים הללו. השלימו את הטבלה (כלומר הוסיפו את הגדלים החסרים) והסבירו את דרך הפתרון. D C B A ? 60 ? 20 y 1.5 ? 60 ? x גלילים. 25קוביות ו-15 במשחקייה של גן הילדים יש קופסה, ובה . Ⅲ . א מהו היחס בין מספר הקוביות למספר הגלילים? . ב חשבו את מספר הקוביות, את מספר הגלילים, ואת היחס בין מספר הקוביות למספר הגלילים, אם את כמות הקוביות והגלילים: .5) יגדילו ב- 1( .20) יגדילו ב- 2( ) יגדילו במספר כלשהו (בחרו מספר כלשהו). 3( .5) יקטינו ב- 4( .10) יקטינו ב- 5( ) יקטינו במספר כלשהו (בחרו מספר כלשהו). 6( . ג העתיקו את המשפט הבא למחברתכם, ועל סמך הסעיפים הקודמים מחקו את המיותר. "אם ערך שני הגדלים גָדֵל (או קָטֵן) בו-זמנית באותו מספר, היחס בין הגדלים משתנה/לא משתנה".

-8כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ד האם מסקנתכם בסעיף ג' נכונה, כאשר מספר הקוביות שווה למספר הגלילים? המחישו את תשובתכם על מקרה פרטי. א'-ב'.) III (הדרכה: היעזרו בשאלות המופיעות בסעיפים . סיכום התרגיל Ⅳ 15 1 5 כיכרות לחם לבן.25כיכרות לחם שיפון ו-15 כל בוקר מזמינה מכולת ממאפייה . א מהו היחס בין מספר הכיכרות של לחם השיפון למספר הכיכרות של הלחם הלבן? . ב את מספר הכיכרות של לחם השיפון.2 באחד הימים הגדיל בעל המכולת פי פי כמה עליו להגדיל את כמות הכיכרות של הלחם הלבן, כדי שהיחס בין כמויות הלחם משני הסוגים יישמר? . ג חשבו את מספר הכיכרות לאחר ההגדלה שבסעיף ב'; ודאו שהתוצאה בסעיף ב' אכן נכונה. 16 1 6 . 4 7 היחס בין מספר הקלפים האדומים למספר הקלפים השחורים שבחפיסת קלפים הוא .4 הגדילו את כמות הקלפים בשני הצבעים פי מהו היחס בין מספר הקלפים האדומים למספר הקלפים השחורים לאחר השינוי בכמות הקלפים? הסבירו את תשובתכם. 17 1 7 את מספר הסדרנים וגם את מספר השומרים.3 בעקבות קיצוצים בכוח האדם בסופרמרקט הקטינו פי . 2 5 לאחר הקיצוצים היה היחס בין מספר השומרים למספר הסדרנים מה היה היחס בין מספר השומרים למספר הסדרנים לפני הקיצוצים? הסבירו את תשובתכם. 18 1 8 .2 . מאריכים כל ניצב פי3:5א. היחס בין אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הוא האם משתנה היחס בין אורכי הניצבים? אם לא, מדוע? אם כן, כתבו את היחס החדש. . ב ס"מ. מהו היחס בין הניצבים?8ס"מ ו-6 אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם ס"מ.2מאריכים כל צלע ב- האם משתנה היחס בין אורכי הניצבים? אם לא, מדוע? אם כן, רשמו את היחס החדש. y y עבור יחס נתון יש אינסוף זוגות מספרים, שהיחס ביניהם הוא היחס הנתון. מידיעת היחס וידיעת אחד מהמספרים ניתן לקבוע בוודאות מהו המספר השני. y y צמצום והרחבה של יחס נתון לא משנים אותו. y y הוספה או הורדה של אותו מספר איברים בשתי הקבוצות משנה את היחס ביניהן (למעט .)1 : 1 כאשר היחס הוא (הערה: במסגרת ספר זה הסתפקנו בהמחשת הכללים. בהמשך הלימוד, עם רכישת כלים מתאימים, ניתן להוכיח כל אחד מהכללים הללו.)

-9כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 19 1 9 עפרונות. 180עטים ו- 80 קלמרים,60 חנות לכלי-כתיבה רכשה ביום אחד שלושה סוגי מוצרים: א. מהו היחס בין מספר הקלמרים למספר העטים ולמספר העפרונות שרכשה החנות? .I . ב מהו היחס בין מספר הקלמרים למספר כלל המוצרים שרכשה החנות? . ג מהו היחס בין מספר העטים למספר כלל המוצרים שרכשה החנות? . ד מהו היחס בין מספר העפרונות למספר כלל המוצרים שרכשה החנות? . ה מהו היחס בין מספר הקלמרים לבין מספרם הכולל של העטים והעפרונות שרכשה החנות? ו . מהו היחס בין מספר העטים לבין מספרם הכולל של הקלמרים והעפרונות שרכשה החנות? . ז מהו היחס בין מספר העפרונות לבין מספרם הכולל של הקלמרים והעטים שרכשה החנות? א. אם בחנות יארזו את המוצרים בקופסאות זהות שתכולתן זהה, מהו המספר המרבי של .II* א.) I הקופסאות שלהן יזדקקו? (היעזרו בסעיף . ב בחנות החליטו לארוז את המוצרים בקופסאות באופן הבא: כל קופסה תכיל אותה כמות של פריטים, אבל רק מאותו סוג. כמה פריטים יש להכניס לכל אחת מהקופסאות כדי שמספרן של הקופסאות יהיה הקטן ביותר? כמה קופסאות יהיו לכל אחד מהסוגים? 20 2 0 ק"ג עגבניות.35 ק"ג מלפפונים ו-28 ק"ג כרוב,14 ביום א' רכשה מסעדה שלושה סוגי ירקות: I I . א. מה היחס בין כמות המלפפונים לכמות הכרוב ולכמות העגבניות שרכשה המסעדה? . ב מה היחס בין כמות העגבניות לכמות כלל הירקות שרכשה המסעדה? . ג מה היחס בין כמות הכרוב לכמות שאר הירקות שרכשה המסעדה? II I I .2 א. ביום ב' רכשה המסעדה את אותם שלושת סוגי הירקות כמו ביום א', אך בכמויות הגדולות פי מה היחס בין כמות המלפפונים לכמות הכרוב ולכמות העגבניות, שרכשה המסעדה ביום ב'? . ב ביום ג' רכשה המסעדה את אותם שלושת סוגי הירקות כמו ביום א', אך בכמויות גדולות יותר. מזו שנרכשה ביום א'. התברר שהיחס בין3 ידוע כי כמות הכרוב, שנרכשה ביום ג', גדולה פי כמויות הירקות, שנרכשו ביום ג', היה כמו היחס בין כמויות הירקות שנרכשו ביום א'. פי כמה גדלו כמות המלפפונים וכמות העגבניות, שנרכשו ביום ג', לעומת הכמויות של ירקות אלה שנרכשו ביום א'? .ג * ק"ג מלפפונים וכמויות לא ידועות של כרוב ועגבניות.14ביום ד' רכשה המסעדה התברר שהיחס בין כמויות הירקות הללו היה כמו היחס בין כמויות הירקות, שנרכשו ביום א'. האם הכמויות של הכרוב והעגבניות, שנרכשו ביום ד', קטנו - או גדלו - לעומת הכמויות שנרכשו ביום א'? ואם כן, פי כמה?

-10כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 21 2 1 אופנועים.28 מכוניות ו-20 משאיות,12 במגרש חנייה נמצאים I I . א. מהו היחס בין מספר האופנועים למספר המשאיות ולמספר המכוניות שבמגרש החנייה? . ב מהו היחס בין מספר המכוניות למספר האופנועים ולמספר המשאיות שבמגרש החנייה? . ג מהו היחס בין מספר המשאיות למספר כלל הרכבים שבמגרש החנייה? . ד מהו היחס בין מספר האופנועים למספר שאר הרכבים שבמגרש החנייה? II I I , האם היה4 א. אם הכמות של כל אחד מכלי הרכב שבחנייה היתה גדלה פי - א'? אם לא, הסבירו. אם כן, מהו היחס החדש? I משתנה היחס שבסעיף . ב , האם היה4 אם הכמות של כל אחד מכלי הרכב שבחנייה היתה גדלה ב- - א'? אם לא, הסבירו. אם כן, מהו היחס החדש? I משתנה היחס שבסעיף . ג , האם היה2 אם הכמות של כל אחד מכלי הרכב שבחנייה היתה גדלה פי - א'? אם לא, הסבירו. אם כן, מהו היחס החדש? I משתנה היחס שבסעיף .ד * ; כמות המכוניות היתה נשארת ללא שינוי;2אם כמות המשאיות שבחנייה היתה גדלה ב- - א'? I , האם היה משתנה היחס שבסעיף2וכמות האופנועים היתה קטנה ב- אם לא, הסבירו. אם כן, מהו היחס החדש?

-11כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © סיכום הפרק (יחס בין מספרים) y y הוא המנה של שני מספרים (גדלים או כמויות) חיוביים.יחס y y יחס משמש להשוואה בין שני הגדלים. y y חשוב להקפיד על קריאה נכונה של היחס. יחס קוראים משמאל לימין. , כלומר:bמתאים ל-yוש- aמתאים ל-x, פירושו ש- a : b הואyל- x אם היחס בין = x y a b y y , כלומר:3 : 4 אם היחס בין מספר הכדורים השחורים בשק למספר הכדורים הלבנים שבשק הוא 3 4 = מספר הכדורים השחורים מספר הכדורים הלבנים ניתן אז להסיק את המסקנות הבאות: .I 4 3 = מספר הכדורים הלבנים מספר הכדורים השחורים . Ⅱ = + 3 3 4 3 7 = מספר הכדורים השחורים סך-כל הכדורים . Ⅲ = + 4 4 3 4 7 = מספר הכדורים הלבנים סך-כל הכדורים כדורים:7 . ניתן לחלק את כל הכדורים שבשק לכמה קבוצות, ובכל קבוצה יהיו IV לבנים. למשל: 4שחורים ו-3 כדורים לבנים, היחס הוא: 20כדורים שחורים ו-15 אם בשק יש = = 15 20 3 4 = מספר הכדורים השחורים מספר הכדורים הלבנים קבוצות, כך שבכל קבוצה 5ניתן לחלק את כל הכדורים ל- כדורים לבנים, ומתקיים: 4כדורים שחורים ו-3 יהיו = = 3 4 3 · 5 4 · 5 15 20 מספר הקבוצות מספר הכדורים השחורים בקבוצה מספר הקבוצות מספר הכדורים הלבנים בקבוצה

-12כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © סיכום - המשך קבוצות השוות בגודלן (כלומר בכל קבוצה יהיה7. ניתן לחלק את כל הכדורים שבשק ל- V קבוצות יהיו רק4קבוצות יהיו רק כדורים שחורים, וב-3מספר זהה של כדורים); ב- כדורים לבנים. כדורים לבנים, היחס הוא: 20כדורים שחורים ו-15 למשל: אם בשק יש = = 15 20 3 4 = מספר הכדורים השחורים מספר הכדורים הלבנים כדורים מאותו צבע:5 קבוצות, ובכל אחת מהן יהיו7 ניתן ליצור קבוצות של כדורים לבנים.4קבוצות של כדורים שחורים, ו-3 . אם נכפול או נחלק את המונה והמכנה של היחס באותו מספר, נקבל גדלים שונים, אבל VI היחס ביניהם יהיה זהה ליחס הנתון. למשל: = = 3 4 3 · 9 4 · 9 27 36 .3 : 4 זהה ליחס 27 : 36 כלומר: היחס = = 3 4 3 : 2 4 : 2 1.5 2 .3 : 4 זהה ליחס 1.5 : 2 כלומר: היחס = = 3 4 3 · 5 4 · 5 15 20 מספר הכדורים בכל קבוצה מספר הקבוצות של הכדורים השחורים מספר הכדורים בכל קבוצה מספר הקבוצות של הכדורים הלבנים

-54כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות תשובות - יחס 1 1 . 2 ) פי 2( 2 ) פי 1( ) . אI ) ב ) לא, יש אינסוף תשובות. 1( ) למשל: 2( עצי רימון. 5עצי תפוז ו- 10 עצי רימון. 6עצי תפוז ו- 12 עצי רימון. 15עצי תפוז ו- 30 II I I )1 : 2 (או 1 2 ) ב)2 : 1 (או 2 א) III I I )4( ,)3( ,)1( ) א ) ב )2 : 3 (או 2 3 ) ג יש אפשרויות רבות, למשל: עטים. 4עפרונות ו- 6 בקלמר יש )3 : 2 (או 3 2 היחס בין מספר העפרונות למספר העטים שבקלמר הוא IV I V )5 : 4 (או 5 4 ) ב)4 : 5 (או 4 5 א) )5 : 9 (או 5 9 ד) )4 : 9 (או 4 9 ג) 2 2 . )7 : 3 (או 7 3 ) ב)3 : 7או ( 3 7 א) 3 3 . 2 5 ב) 3 2 א) .4 )5 : 1 (או 5 ) ב)1 : 5 (או 1 5 א) 5 5 . 8 5 ב) 5 3 א) .6 4 7 ב) 4 11 א) 7 7 . 1 5 8 8 . 2 5 ב) א) סרטוט 9 9 . )3( ,)2( ) . אI .) = 8 10 4 5 קלפים שחורים (היחס:10קלפים אדומים ו-8 ) למשל: 1( ) ב .) = 16 20 4 5 קלפים שחורים (היחס:20קלפים אדומים ו-16 או 5 : 9 )3( 4 : 9 )2( . נרחיב את השבר 4 5 ) כן; היחס בין מספר הקלפים האדומים למספר הקלפים השחורים הוא 4( . = 4 5 4x 5x :x על-ידי הכפלת המונה והמכנה במשתנה כלשהו בין מספר הקלפים האדומים למספר הקלפים השחורים, פירושו שיש 4 5 ניתן לומר כי היחס קלפים, 5x קלפים, וקבוצת קלפים שחורים, שבה יש4x קבוצת קלפים אדומים, שבה יש .4x + 5x = 9x כלומר סך-כל מספר הקלפים הוא: . 4x 9x מכאן שהיחס בין מספר הקלפים האדומים למספר הכולל של הקלפים הוא = = = = ·1 4x 9x 4·x 9·x 4 9 · x x 4 9 4 9 אם נצמצם, נקבל: . = 5x 9x 5 9 בהתאם לכך היחס בין מספר הקלפים השחורים למספר הכולל של הקלפים הוא:

-55כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות ,4:5 מכאן שמספיק לדעת שהיחס בין מספר הקלפים האדומים למספר הקלפים השחורים הוא ולפי זה ניתן להסיק את המסקנה כי: ✔ ✔ . = + 4 4 5 4 9 היחס בין מספר הקלפים האדומים למספר הכולל של הקלפים הוא: ✔ ✔ . = + 5 4 5 5 9 היחס בין מספר הקלפים השחורים למספר הכולל של הקלפים הוא: ) ג .) = 4 10 2 5 שוקולדים שחורים (היחס:6שוקולדים לבנים ו-4 ) למשל: 1( .) = 6 15 2 5 שוקולדים שחורים (היחס:9שוקולדים לבנים ו-6 או כן (iiiii) לא (iiii) כן (iii) לא (ii) לא (i) )2( II I I 2 : 3 א) ) ב ,2 : 3 בהתאם לחלוקה (2 + 3) קבוצות5מיכל חילקה את סך-כל הכדורים ל- קבוצות מכילות רק כדורים3קבוצות מכילות רק כדורים שחורים, ו-2 כאשר בא לידי ביטוי ביחס בין מספר הקבוצות, כאשר כל 2 : 3 לבנים. כלומר היחס אחת מהקבוצות מורכבת מכדורים הזהים בצבעם. ) ג יעל חילקה את סך-כל הכדורים לקבוצות הזהות בהרכבן, כאשר היא שיבצה .2 : 3 את הכדורים בכל אחת מהקבוצות ביחס בא לידי ביטוי ביחס בין מספר הכדורים בתוך כל אחת 2 : 3 כלומר היחס מהקבוצות. 10 1 0 5 8 ג) 3 8 ב) 5 3 א) 11 1 1 2 3 א) ) ב קוביות לבנות, ולכן יש בסך-הכול:2 הקבוצות יש9 כן. הנימוק: בכל אחת מ - קוביות שחורות, ולכן יש בסך-הכול:3 קוביות לבנות; ו -18 = 9 · 2 קוביות שחורות.27 = 9 · 3 ) ג הקוביות לבנות, ולכן יש בסך-הכול:9 הקבוצות כל2 כן. הנימוק: ב - הקוביות שחורות, ולכן יש בסך-הכול:9 הקבוצות כל3 קוביות לבנות; ב -18 = 9 · 2 קוביות שחורות.27 = 9 · 3 12 1 2 ב) ג) 3 4 א) 13 1 3 חפיסות שוקולד שחור.5 חפיסות שוקולד לבן;3 ב) 3 5 א) ) ג שקיות ובהן שוקולד שחור.5 שקיות ובהן שוקולד לבן;3 14 1 4 2 3 א) .Ⅰ . 2 3 ; היחס:48 ירוקים: ;32 ) אדומים: 1( ב) . 2 3 ; היחס:72 ירוקים: ;48 ) אדומים: 2(

-56כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות . 2 3 ; היחס:120 ירוקים: ;80 ) אדומים: 3( . 2 3 ; היחס:12 ירוקים: ;8 ) אדומים: 4( . 2 3 ; היחס:6 ירוקים: ;4 ) אדומים: 5( ) ג . 4 9 ; היחס:72 ירוקים: ;32 אדומים: ) ד . 4 3 היחס: ;6 ירוקים: ;8 אדומים: ) ה .)2משפט ( סוכריות חמוצות; היחס בין סוכריות הטופי לסוכריות3סוכריות טופי ו-9 למשל: בשקית יש . =3 9 3 החמוצות הוא . =3 27 9 , נקבל שהיחס הוא3 אם מגדילים את כמויות הסוכריות משני הסוגים פי II I I כדי לפתור את התרגיל יש לבצע צמצום או הרחבה של היחס. x = 30 :Aעמודה . = = = = 2 3 20 2 · 10 2 · 10 3 · 10 20 30 y = 40 :Bעמודה . = = = = 2 3 60 3 · 20 2 · 20 3 · 20 40 60 x = 90 :Cעמודה . = = = = 2 3 60 2 · 30 2 · 30 3 · 30 60 90 y = 1 :Dעמודה . = = = 2 3 1.5 2 : 2 3 : 2 1 1.5 III I I 3 5 א) ) ב . 2 3 ; היחס:30 ; גלילים:20 ) קוביות: 1( . 7 9 ; היחס:45 ; גלילים:35 ) קוביות: 2( . 1 2 ; היחס:20 ; גלילים:10 ) קוביות: 4( . 1 3 ; היחס:15 ; גלילים:5 ) קוביות: 5( ) ג "אם הערך של שני גדלים גדל (או קטן) בו-זמנית באותו מספר, היחס בין הגדלים משתנה" ) ד היחס לא משתנה. 15 1 5 . 30 50 3 5 = ; היחס:50 ; לחם לבן:30 . ג) לחם שיפון:2 ב) להגדיל פי 3 5 א) 16 1 6 . 4 7 היחס נשאר 17 1 7 2 5 18 1 8 .4 : 5 ; היחס לאחר השינוי הוא3 : 4 . ב) היחס לפני השינוי הוא3:5 א) היחס נשאר 19 1 9 9 7 ז) 1 3 ו) 3 13 ה) 9 16 ד) 1 4 ג) 3 16 ב) 3 : 4 : 9 . א) I

-57כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות עפרונות. 9 עטים, 4 קלמרים,3 קופסאות, ובכל קופסה:20 . א) II ) ב פריטים מאותו סוג על-פי הפירוט הבא: 20 בכל קופסה יש להכניס קופסאות של קלמרים.3 קופסאות של עטים.4 קופסאות של עפרונות.9 20 2 0 2 : 9 ג) 5 : 11 ב) 4 : 2 : 5 . א) I II I I .2 . ג) קטנו פי3 ב) גדלו פי 4 : 2 : 5 א) 21 2 1 7 : 8 ד) 1 : 5 ג) 5 : 7 : 3 ב) 7 : 3 : 5 . א) I II I I א) לא .4 : 2 : 3 ב) כן. היחס החדש הוא ג) לא 13 : 7 : 10 ד) כן. היחס החדש הוא 22 2 2 גדלים גדל בו-זמנית פי אותו מספר, היחס בין הגדלים לא משתנה. 2 , מכיוון שאם הערך של 2 3 . א)I ) ב )1( לבנים. 12שחורים ו-8 כדורים;20 )2( 2 3 )3( ) ג לבנים. 27שחורים ו-18 כדורים;45 )1( 2 3 )2( ) ד בסדרה.20) המקום ה- 1( לבנים. 60שחורים ו-40 )2( 2 3 )3( 2 5 )4( 3 5 )5( ) ה 2 3 )1( 3 5 , 2 5 )2( = = · 2 80 · 32 80 5 2 5 )3( קופסה רביעית

-226כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © משולשים חופפים משולשים חופפים - מבוא למדנו שצורות חופפות הן צורות, שאפשר להניח אחת מהן על האחרת, והיא תכסה אותה בדיוק. לשם כך ניתן להזיז, לסובב את הצורות, וגם להפוך אותן. מה נלמד? ✔✔ נגדיר מהם משולשים חופפים. ✔ ✔ נלמד לזהות צלעות שוות וזוויות שוות במשולשים חופפים. ✔ ✔ נלמד צורת רישום של משולשים חופפים. לדרך... תרגילים )284-282 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 1 1 . לפניכם שני משולשים: .I . א העתיקו את המשולשים על נייר אפייה או נייר שקוף וגזרו אותם. האם ניתן להניח משולש אחד על האחר, כך שיכסה אותו בדיוק? . ב העתיקו למחברתכם והשלימו (היעזרו בסעיף הקודם). PS = P = = NQ =Q PT = =N . Ⅱ S T P R Q N y y , אם ניתן להניח משולש אחד על האחר באופן שיכסה אותוחופפיםשני משולשים נקראים בדיוק. y y במשולשים חופפים שוות בהתאמה (אחת לאחת) שלוש הצלעות ושלוש הזוויות. הצלעות שוות: הזוויות שוות: AB = KE A = K BC = EM B = E AC = KM C = M ∆ABC≅∆KEM ורושמים באופן הבא: ≅ משתמשים בסימן חופףבמקום המילה .)∆KEM חופף למשולש∆ABC (משולש y y שימו לב! הצלעות השוות והזוויות השוות בשני המשולשים שבסרטוט מסומנות בהתאמה באותו אופן, כלומר: הצלעות מסומנות באמצעות קווים, והזוויות מסומנות באמצעות קשתות. B C A E M K

Made with FlippingBook

RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=