4631 מספר אישור: 31.12.25 אושר בתאריך: תכנון ליניארי, גיאומטריה במרחב, ראייה מרחבית מבחני מתכונת יח״ל 3 רמת
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2025 © 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-73 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-91-8 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 4631 מספר אישור: 31.12.25 אושר בתאריך: תכנון ליניארי, גיאומטריה במרחב, ראייה מרחבית מבחני מתכונת יח״ל 3 רמת
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה יח"ל. 3 הספר "מתמטיקה לכיתה י״ב – חלק ב' ״ מתאים לתכנית הלימודים החדשה ברמת ספר זה הוא השני מתוך שני ספרים, ועוסק בתכנים מתמטיים בהקשרים של תופעות מתחום המדעים וחברה ומתחום הפיננסי כלכלי. הספר מכיל את הנושאים הבאים: תכנון ליניארי, גיאומטריה במרחב, ראייה מרחבית ומבחני מתכונת. העקרונות, שלפיהם נכתב הספר, הם: בסיס אורייני - מתמטי ורלוונטיות לחיי היום יום; הבנה ועיבוד של מידע; תובנה מספרית, מילולית, גרפית וגיאומטרית ועוד. ?מה מיוחד בספר • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • יחידות לימוד. 3 בסוף הספר מצורף נוסחאון מתמטיקה - מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו, רתם פרוידנברג וצילה פרידמן, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. באתרנו, ובקובץ הדיגיטלי של הספר. סריקת הקוד מקשרת QR שאלה, שבה מופיע קוד ליישומון, סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע, הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול.
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1............................................................................................................................ חלק ב' - פתיח 2............................................................................................. יחידה ראשונה – תכנון ליניארי פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי – הישר ניצב לציר . א 3 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� זיהוי הפתרון הגרפי . ב 8 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� סימון הפתרון הגרפי פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי – הישר משופע . א 14 ��������������������������������������������������� זיהוי וסימון של הפתרון הגרפי כאשר הישר המשופע מסורטט . ב 20 ��������������������������������������������������������������������������� סרטוט הישר המשופע וסימון הפתרון הגרפי מערכת אי-שוויונות ליניאריים והתחום המתאים לה . א 23 ������������������������������������������������������������ סרטוט תחום המתאים למערכת אי-שוויונות ליניאריים . ב 30 ��������������������������������������������������� רישום מערכת אי-שוויונות ליניאריים המתאימה לתחום נתון 35 מערכת אילוצים ופונקציית מטרה........................................................................................................ 47 מציאת הקדקודים של תחום אפשרי..................................................................................................... מציאת הערך המקסימלי/המינימלי של פונקציית מטרה . א 58 ���������������������������������������������������������� ערך מקסימלי/מינימלי המתקבל בקדקוד של תחום סגור . ב 63 ����������������������������������������������������������������������� ערך מינימלי המתקבל בקדקוד של תחום פתוח . ג 67 �������������������������������������������������� ערך מקסימלי/מינימלי המתקבל לאורך צלע של תחום אפשרי 72 תרגול משולב................................................................................................................................... 81 בדיקת ניצול משאבים....................................................................................................................... שינוי בפונקציית המטרה או באילוץ . א 87 ������������������������������������������������������������������������������������������������������� שינוי בפונקציית המטרה . ב 93 ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� שינוי באילוץ 99 שאלות הכוללות פרמטר..................................................................................................................... 106 תרגול נוסף...................................................................................................................................... 116 תשובות .......................................................................................................................................... 129................................................................................... יחידה שנייה – גיאומטריה במרחב 131 משמעות הנפח, שטח המעטפת ושטח הפנים ........................................................................................ 133 תיבה (כולל קובייה).......................................................................................................................... 149 מנסרה ישרה שבסיסה משולש.......................................................................................................... 163 גליל ישר.........................................................................................................................................
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 174........................... חרוט ישר ............................................................................................................ 185................... כדור ........................................................................................................................... פירמידה . א 192 פירמידה ישרה.................................................................................................................... . ב 206 פירמידה לא ישרה .............................................................................................................. 211 תרגול משולב .................................................................................................................................. 214 שינוי בממד אחד או יותר ................................................................................................................. 221 השוואה וקבלת החלטות .................................................................................................................. 228 תרגול מסכם ................................................................................................................................... 232 תשובות ......................................................................................................................................... 239...................................................................................... יחידה שלישית – ראייה מרחבית תרשים מבטים . א 241 מעבר ממבנה של קוביות לתרשים מבטים ............................................................................. . ב 245 מעבר מתרשים מבטים למבנה של קוביות ............................................................................. 249 קביעת מספר הקוביות הלא מוסתרות והמוסתרות במבנה..................................................................... 254 זיהוי גוף תלת-ממדי מנקודות מבט שונות .......................................................................................... תרשים מספרי . א 258 מעבר מתרשים מספרי למבנה מקוביות................................................................................. . ב 261 מעבר ממבנה מקוביות לזיהוי וסרטוט של תרשים מבטים ותרשים מספרי.................................. . ג 267 מעבר מתרשים מספרי לזיהוי וסרטוט של תרשים מבטים ......................................................... 271 התאמת תרשימים למבנה מקוביות ................................................................................................... 277 תרגול מסכם ................................................................................................................................... 285 תשובות ......................................................................................................................................... 290........................................................................................................................ מבחני מתכונת 360 תשובות ......................................................................................................................................... 372 מיון השאלות במתכונות לפי הנושאים ............................................................................................... נספח 373 יחידות לימוד ................................................................................................ 3 נוסחאון מתמטיקה -
1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © חלק ב' – פתיח • בספר זה יידרש שימוש במיומנויות, שנרכשו בחטיבת הביניים ובכיתות י' ו-י"א, והן: 4 פתרון משוואות ומערכות משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה. 4 קריאה וסימון של נקודות במערכת צירים. 4 מערכת צירים, שיעורי נקודות וסימון נקודות במערכת צירים. 4 משוואת הקו הישר. 4 תכונות משולשים, מרובעים (כולל חישוב שטח והיקף). 4 שטח עיגול והיקף מעגל. • יחידות: 3 חלק ב' של הספר מכיל 4 יחידה ראשונה: למידת הנושא תכנון ליניארי. ביחידה זו נלמד לזהות משתנים רלוונטים בסיפור האורייני הכלכלי/הפיננסי, לתרגם את מערכת האילוצים למערכת אי-שוויונות שתוצג בדרך גרפית. נשתמש בהצגה הגרפית ובטכניקה אלגברית פשוטה על מנת למצוא את הפתרון האופטימלי לבעיה. 4 יחידה שנייה: למידת הנושא גיאומטריה במרחב. ביחידה זו נלמד על התכונות של הגופים במרחב. נכיר את הנוסחאות לחישוב נפח, שטח מעטפת ושטח פנים של הגופים: תיבה (כולל קובייה), מנסרה ישרה שבסיסה משולש, גליל ישר, חרוט ישר, כדור, פירמידה ישרה (שבסיסה מלבן – כולל ריבוע, משולש) ופירמידה לא ישרה, שאחד מהמקצועות הצדדיים שלה מאונך לבסיס. 4 יחידה שלישית: למידת הנושא ראייה מרחבית. ביחידה זו נלמד להסתכל על גוף תלת-ממדי נתון מנקודות מבט שונות. נקבע כיצד יכול להיראות גוף תלת-ממדי, הבנוי מקוביות, על סמך תרשים מבטים ועל סמך תרשים מספרי.
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה תכנון ליניארי ביחידה זו נלמד על ענף במתמטיקה שימושית, שפותח בשנות הארבעים של המאה העשרים. מטרת ענף מתמטי לבעיות מורכבות בתחומים שונים, כגון: כלכלה, ניהול, תעשייה, חקלאות, תזונה פתרון אופטימליזה היא למצוא וכדומה. ביחידה זו יושם דגש בהיבט הכלכלי. במציאות הבעיות מכילות לרוב מספר גדול של משתנים, ונהוג לפתור אותן באמצעות מחשבים, אך הבעיות שיוצגו ביחידה זו יכילו שני משתנים, וכך ניתן לענות עליהן באמצעות שיטות גרפיות פשוטות. ביחידה זו נלמד לזהות משתנים רלוונטיים בסיפור האורייני כלכלי/פיננסי (או בסיפור אורייני בתחום אחר), לתרגם את מערכת האילוצים למערכת אי-שוויונות, להציג את מערכת אי-השוויונות בדרך גרפית, ולהשתמש בהצגה הגרפית ובטכניקה אלגברית פשוטה על מנת למצוא את הפתרון האופטימלי לבעיה. ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושאים הבאים: 4 קריאה וסימון של נקודות במערכת צירים. 4 משוואת ישר – משמעות המקדמים, סרטוט במערכת צירים. 4 מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים כפתרון מערכת משוואות ליניאריות. משימת פתיחה חקלאי מגדל כרוב וברוקולי. בשל מגבלות השטח, ההשקיה, זמן הגידול ומשאבים נוספים הוא יכול לגדל בכל עונה כמות מוגבלת מכל ירק. השטח הצבוע בסרטוט מתאר כמה דונמים יכול החקלאי לגדל מכל ירק לאור המגבלות. . א ?D ,C ,B ,A כמה דונמים של כרוב וכמה דונמים של ברוקולי יכול החקלאי לגדל לפי הנקודות . ב ציינו שיעורי נקודה, המתארת את הגידול של הכרוב בלבד. ציינו שיעורי נקודה, המתארת את הגידול של הברוקולי בלבד. . ג דונמים של ברוקולי? 20 דונמים של כרוב ו- 20 האם החקלאי יכול לגדל שקלים לדונם של ברוקולי. 1200 שקלים לדונם של כרוב ו- 800 החקלאי מרוויח . ד ?D ,C ,B ,A מה יהיה הרווח של החקלאי לפי הנקודות . ה רווח החקלאי יהיה הגדול ביותר? D ,C ,B ,A באיזו נקודה מבין הנקודות .116 התשובות למשימת הפתיחה – בעמ' y 25 20 35 10 15 30 5 10 30 35 15 5 20 25 מספר הדונמים של ברוקולי x מספר הדונמים של כרוב B C A D
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי – הישר ניצב לציר בפרק זה נתמקד בזיהוי ובסימון פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי כאשר הישר ניצב לאחד הצירים, כלומר: זיהוי וסימון של התחום, שעבורו מתקיים אי-השוויון במשתנה אחד. נתייחס גם למצבים אורייניים מחיי היום יום. מה נלמד? 4 זיהוי הפתרון הגרפי. 4 סימון הפתרון הגרפי. .117-116 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ׳ .א זיהוי הפתרון הגרפי הסבר ודוגמה פתורה - זיהוי הפתרון הגרפי דוגמה במוזיאון מסוים ניתנת הדרכה לקבוצות שבהן ילדים ומבוגרים. את מספר המבוגרים בקבוצה. y את מספר הילדים בקבוצה, וב- x נסמן ב- . א , המסומנות במערכת E ,D ,C ,B ,A מה מתארת כל אחת מהנקודות הצירים שלפניכם? ילדים. 20 בקבוצה המיועדת לסיור במוזיאון יכולים להיות לכל היותר . ב אילו מהנקודות המסומנות במערכת הצירים מתאימות למגבלה (1) לגבי מספר הילדים? ( 2) .x = 20 משוואת הישר המסורטט היא היכן ממוקמות הנקודות, המתאימות למגבלה לגבי מספר הילדים ביחס לישר המסורטט? נזכיר! מורכב משני אגפים של ביטויים אלגבריים, שביניהם מופיע אחד מהסימנים:אי-שוויון .≠ , ≥ , ≤ , > , < .x ≠ 2 , y > 5 , x ≤ 0 , y ≥ 3 , x < 1 למשל: y מספר המבוגרים x מספר הילדים B A D 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 E C
4 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ג מהו התחום המסומן (הצבוע), המתאים למגבלה לגבי מספר הילדים? מבוגרים. 10 במוזיאון הוחלט שבקבוצה של הסיור יהיו לפחות . ד מהו התחום המסומן, המתאים למגבלה לגבי מספר המבוגרים? פתרון: . א מבוגרים. 40 ילדים ו- 30 – הנקודה מתארת מצב, שבו יש בסיור המודרך A(30 ,40) מבוגרים. 35 ילדים ו- 10 – הנקודה מתארת מצב, שבו יש בסיור המודרך B(10 ,35) מבוגרים. 15 ילדים ו- 20 – הנקודה מתארת מצב, שבו יש בסיור המודרך C(20 ,15) מבוגרים. 10 ילדים ו- 10 – הנקודה מתארת מצב, שבו יש בסיור המודרך D(10 ,10) ילדים ואין בו מבוגרים. 20 – הנקודה מתארת מצב, שבו יש בסיור המודרך E(20 ,0) . ב ילדים. 20 ילדים, כלומר לא יותר מ- 20 המגבלה לגבי מספר הילדים היא לכל היותר (1) ילדים), תתאמנה למגבלה, כלומר 20 ילדים (כולל 20 לכן הנקודות שמתארות מצב, שבו יש עד .E ו- D , C , B הנקודות הן: ( 2) .x = 20 ועל הישר x = 20 הנקודות המתאימות למגבלה לגבי מספר הילדים נמצאות משמאל לישר . ג . הנקודות המתאימות למגבלה לגבי מספר הילדים נמצאות בתחום (2) התחום המתאים הוא תחום .בקו רציף שמסומן x = 20 , כולל הישר (2) המסומן בסרטוט )2( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 )1( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 )1( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 )2( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 )3( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 )4( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40
5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ד .)4 התחום המתאים הוא ( מבוגרים. 10 מבוגרים, כלומר לא פחות מ- 10 המגבלה לגבי מספר המבוגרים היא לפחות , בתחום המסומן y = 10 ועל הישר y = 10 לכן הנקודות המתאימות למגבלה זו נמצאות מעל הישר .בקו רציף שמסומן y = 10 ), כולל הישר 4 בסרטוט ( הערה: ,y ≥ 0 וגם x ≥ 0 , כלומר בתחום שבו ברביע הראשוןהתחומים המסומנים במערכת הצירים מופיעים רק מכיוון שמספר הילדים וגם מספר המבוגרים לא יכול להיות שלילי. בתחום זה נתייחס רק לנקודות ששיעוריהן מספרים שלמים. . 1 בעלון פרסומי יש תמונות וכתבות. את מספר הכתבות שיש בו. y את מספר התמונות שיש בעלון, וב- x נסמן ב- y 5 4 7 2 3 6 1 2 6 7 3 1 4 5 מספר הכתבות x מספר התמונות B C A D E . א , המסומנות במערכת הצירים שלפניכם? E ,D ,C ,B ,A מה מתארת כל אחת מהנקודות תמונות כדי למנוע עומס ויזואלי. 5 בעלון הפרסומי מכניסים לכל היותר . ב ) אילו נקודות מתאימות למגבלה לגבי מספר התמונות בעלון? 1( ( 2) .x = 5 משוואת הישר המסורטט היא היכן ממוקמות הנקודות, המתאימות למגבלה לגבי מספר התמונות בעלון, ביחס לישר המסורטט? . ג מהו התחום המסומן, המתאים למגבלה לגבי מספר התמונות בעלון? )1( y 5 4 7 2 3 6 1 2 6 7 3 1 4 5 x )2( y 5 4 7 2 3 6 1 2 6 7 3 1 4 5 x
10 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © סיכום • אי-שוויון ליניארי כאשר הישר ניצב לציר והתחום המתאים לו: x ישר הניצב לציר ה- y ישר הניצב לציר המשוואה x = מספר y = מספר אי-שוויון x ≤ 2 x < 2 y ≤ 2 y < 2 x ≥ 2 x > 2 y ≥ 2 y > 2 • – לא כולל את הנקודות שעל הישר.קו מקווקו – כולל את הנקודות שעל הישר. קו רציף • . ≥ , ≤ ביחידה זו נתמקד באי-שוויונות מהסוג: 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x X=2 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x y=2 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x
19 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 16 בכל סעיף התאימו לכל אי-שוויון את הסרטוט המתאים לו. (הדרכה: הציבו נקודה לבדיקה או התייחסו לסימן אי-השוויון.) ) מקיימת את אי-השוויון. 0,0 לגבי כל אי-שוויון בדקו אם הנקודה ( . א 3x + 2y ≥ 6 (2) 3x + 2y ≤ 6 (1) .Ⅰ y 1 3 4 2 -1 -3 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 x .Ⅱ y 1 3 4 2 -1 -3 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 x . ב 2x + 3y ≤ 6 (2) 2x + 3y ≥ 6 (1) .Ⅰ 1 3 4 2 -1 -3 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 x y .Ⅱ 1 3 4 2 -1 -3 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 x y . 17 סרטוטים. התאימו לכל אי-שוויון את הסרטוט שלו. 6 אי-שוויונות ו- 6 לפניכם y ≤ ‒ x + 4 א. y ≥ x ‒ 4 ג. y ≤ x ‒ 4 ה. y ≥ ‒ x ‒ 4 ב. y ≤ ‒ x ‒ 4 ד. y ≥ ‒ x + 4 ו. )1( 1 3 4 2 -1 -3 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 x y )2( 1 3 4 2 -1 -3 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 x y )3( 1 3 4 2 -1 -3 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 x y )4( 1 3 4 2 -1 -3 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 x y )5( 1 3 4 2 -1 -3 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 x y )6( 1 3 4 2 -1 -3 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 x y
25 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © כל אחד שלא מתאר - מחיקת התחוםדרך ב' מאי-השוויונות. בדרך זו התחום אפשרי (התחום המשותף), הוא התחום שנשאר "נקי", כלומר ללא קווקו. .ראו בדוגמה הבאה דוגמה סדנאות בשבוע. y הרצאות ו- x מרצה מעבירה . א מצאו את התחום האפשרי (התחום המשותף) של מערכת אי-השוויונות, המתאימה למגבלות של המרצה. x ≥ 1 y ≥ 0 x + y ≤ 4 y ≥ x ‒ 2 . ב ) מקיימת את מערכת אי-השוויונות. 2 ,1 הראו בדרך גרפית ובדרך אלגברית שהנקודה ( פתרון: . א נסרטט בהדרגה באותה מערכת צירים כל אחד מהישרים, ונמחק את התחום שהוא לא מתאר. נקפיד לרשום את משוואת הישר בסרטוט. • .x = 1 נסרטט את הישר הוא השטח שמימין x ≥ 1 התחום המתואר על ידי אי-השוויון לישר (או עליו), ולכן נמחק את השטח שמשמאלו. • .y = 0 נוסיף לסרטוט את הישר הוא השטח שמעל y ≥ 0 התחום המתואר על ידי אי-השוויון לישר (או עליו), ולכן נמחק את השטח שמתחתיו. x y x=1 5 4 2 3 1 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 x y x=1 y=0 5 4 2 3 1 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 x y x=0 y=0 x+y=4 1 2 3 4 5 5 4 2 3 1
26 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © • .x + y = 4 נוסיף לסרטוט את הישר כדי לסרטט את הישר נבנה טבלת ערכים (שתי נקודות החיתוך עם הצירים ונקודה נוספת): 1 4 0 x 3 0 4 y נסמן את הנקודות במערכת הצירים, ונסרטט את הישר העובר דרכן. הוא השטח שמתחת x + y ≤ 4 התחום המתואר על ידי אי-השוויון לישר (או עליו), ולכן נמחק את השטח שמעליו (נוכל גם למצוא את .))0,0 התחום המתאים לאי-השוויון על ידי הצבת נקודה כלשהי למשל ( • . נבנה טבלת ערכים: y = x ‒ 2 נוסיף לסרטוט את הישר 1 2 0 x ‒1 0 ‒2 y נסמן את הנקודות במערכת הצירים, ונסרטט את הישר העובר דרכן. הוא השטח שמעל y ≥ x ‒ 2 התחום המתואר על ידי אי-השוויון לישר (או עליו), ולכן נמחק את השטח שמתחתיו. התחום האפשרי (התחום המשותף), המהווה את הפתרון של מערכת אי-השוויונות, הוא התחום המרובע שנותר לאחר שמחקנו את התחומים "הלא-מתאימים", כולל הקטעים התוחמים תחום זה. ניתן להדגיש בצבע אחר את השטח שנותר לא מחוק (כאן הודגש בצהוב). . ב ) מקיימת את מערכת אי-השוויונות. 2 ,1 הנקודה ( – הנקודה נמצאת בתחום האפשרי (התחום המשותף), כלומר שיעוריה מקיימים כל אחד בדרך גרפית מאי-השוויונות המרכיבים את המערכת. – נראה על ידי הצבה: בדרך אלגברית x y x=1 y=0 x+y=4 -1 -2 -3 5 4 2 3 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y x=1 y=0 x+y=4 5 4 2 3 1 -1 -2 -3 -3 -2 -1 תחום אפשרי 1 2 3 4 5 y=x-2 x ≥ 1 y ≥ 0 x + y ≤ 4 y ≥ x ‒ 2 2 ≥ 1 1 ≥ 0 2 + 1 ≤ 4 1 ≥ 2 ‒ 2 3 ≤ 4 1 ≥ 0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
27 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 24 סמנו את התחום האפשרי של מערכות אי-השוויונות הבאים. (מומלץ למחוק את התחום ש"אינו מתאים" לאי-השוויון). א. x ≥ 0 y ≤ 3 ד. x ≥ 2 y ≤ x + 4 y ≤ ‒ x + 10 ב. x ≤ 4 y ≥ 1 ה. 2x ≥ 6 3y ≥ ‒ x y ≤ x + 7 ג. x ≥ 5 y ≥ 1 y ≤ x ו. x ≥ 0 y ≤ 6 y ≥ ‒ 3x + 9 ‒ x + 2y ≥ ‒18 x y y=-3x+9 -x+2y=-18 x=0 y=6 סיכום כדי למצוא את הפתרון הגרפי של מערכת אי-שוויונות, כלומר מציאת התחום האפשרי (התחום המשותף) של אי-השוויונות המרכיבים את המערכת, נפעל לפי השלבים הבאים: • נסרטט כל אחד מהישרים, שמשוואתם מתקבלת ממערכת אי-השוויונות. כל אחד מהישרים תוחם את התחום האפשרי, כלומר מהווה את הגבול של התחום האפשרי, והוא חלק מהתחום. • לגבי כל ישר נמחק את התחום "הלא מתאים" לפי סימן אי-השוויון שלו. • .התחום האפשרי הוא התחום שיישאר לבן ("נקי"), והוא נקרא התחום המשותף x=0 y y=3 x y x y=x+4 y=-x+10 x=2 y=1 x=4 y x y x y=x+7 3y=-x 2x=6 y=1 y=x x=5 y x
47 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מציאת הקדקודים של תחום אפשרי בפרקים קודמים עסקנו בשני סוגים של תחומים אפשריים: מוגבל מכל צדדיו.תחום סגור מוגבל רק בחלק מצדדיו. לא ניתן לסרטט את כולו, כי התחום אינסופי לפחות בצד אחד.תחום פתוח במציאת קדקודי בפרק זה נעסוק במציאת התחום האפשרי המתאים למערכת אילוצים, ונתמקד : תחום סגור ותחום פתוח.התחום האפשרי .122-121 התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' דוגמה פתורה - מציאת קדקודים של תחום אפשרי סגור בנגרייה מייצרים שני סוגים של כיסאות: כיסא מטבח וכיסא סלוני. התהליך מורכב משני שלבים עיקריים: חיתוך ועיבוד. שעות לכל היותר, 10 במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את ציוד החיתוך במשך שעות לכל היותר. 8 ואת ציוד העיבוד אפשר להפעיל במשך פירוט הזמן הדרוש לכל שלב בייצור כיסא אחד נתון בטבלה הבאה: זמן החיתוך (בשעות) זמן העיבוד (בשעות) הרווח (בשקלים) כיסא מטבח 1 2 50 כיסא סלוני 2 1 200 . א רשמו את מערכת האילוצים המתאימה לשאלה. הנגרייה מעוניינת להשיג רווח מקסימלי. . ב רשמו את פונקציית המטרה. . ג סרטטו את התחום האפשרי ומצאו את קדקודיו. - צורתו מצולעתחום סגור תחום פתוח y x y x y x
48 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון: . א את מספר הכיסאות הסלוניים. מספריהם אינם y את מספר כיסאות המטבח, וב- x נסמן ב- • .x ≥ 0 , y ≥ 0 :שני האילוצים הראשוניםשליליים, ולכן נקבל את • מתקבל מהנתונים לגבי זמן החיתוך:האילוץ השלישי שעות לחיתוך. 1 ∙ x כיסאות מטבח דרושות x שעה לחיתוך, ולכן ל- 1 לכל כיסא מטבח דרושה שעות לחיתוך. 2 ∙ y כיסאות סלוניים דרושות y שעות לחיתוך, ולכן ל- 2 לכל כיסא סלוני דרושות .x + 2y ≤ 10 שעות לכל היותר, ולכן: 10 במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את ציוד החיתוך במשך • מתקבל מהנתונים לגבי זמן העיבוד:האילוץ הרביעי שעות לעיבוד. 2 ∙ x כיסאות מטבח דרושות x שעות לעיבוד, ולכן ל- 2 לכל כיסא מטבח דרושות שעות לעיבוד. 1 ∙ y כיסאות סלוניים דרושות y שעה לעיבוד, ולכן ל- 1 לכל כיסא סלוני דרושה .2x + y ≤ 8 שעות לכל היותר, ולכן: 8 במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את ציוד העיבוד במשך תשובה: מערכת האילוצים היא: . ב נתון שהנגרייה מעוניינת להשיג רווח מקסימלי, כלומר מטרתה להשיג רווח מקסימלי. לכן פונקציית המטרה תייצג את הרווח של הנגרייה. המידע לגבי הרווח של הנגרייה מוצג בטור השמאלי בטבלה. כיסאות מטבח הרווח שלה יהיה x שקלים עבור כל כיסא מטבח, ולכן עבור 50 הנגרייה מרוויחה שקלים. 50x כיסאות סלוניים הרווח שלה יהיה y שקלים עבור כל כיסא סלוני, ולכן עבור 200 הנגרייה מרוויחה שקלים. 200y .50x + 200y הרווח הכולל הוא: .f(x,y) = 50x + 200y תשובה: פונקציית המטרה היא: . ג נסרטט את מערכת האילוצים במערכת הצירים. • שני האילוצים הראשונים מגבילים את התחום לרביע הראשון. נמחק את התחום שאינו מתאים: x ≥ 0 y ≥ 0 x + 2y ≤ 10 2x + y ≤ 8 מספר הכיסאות הסלוניים מספר כיסאות המטבח 1 3 5 4 6 2 7 9 8 y x=0 y=0 4 6 1 3 5 2 10 7 8 9 11 x -1 -1
49 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © • נסרטט את הישר המתאים לאי-השוויון השלישי .x + 2y = 10 במערכת האילוצים: נבנה טבלה ערכים: 4 10 0 x 3 0 5 y .(0 ,5) ,(10 ,0) ,(4,3) נסרטט ישר העובר דרך הנקודות: x + 2y ≤ 10 נמחק את התחום שאינו מתאים לאי-השוויון: • נסרטט את הישר המתאים לאי-השוויון הרביעי .2x + y = 8 במערכת האילוצים: נבנה טבלה ערכים: 1 4 0 x 6 0 8 y .(0 ,8) ,(4 ,0) ,(1 ,6) נסרטט ישר העובר דרך הנקודות: 2x + y ≤ 8 נמחק את התחום שאינו מתאים לאי-השוויון: • התחום האפשרי הוא התחום המרובע שנשאר ללא קווקו. ניתן להדגיש בצבע את השטח שנותר (כאן הודגש בצהוב). התחום האפשרי שהתקבל ממערכת האילוצים הוא התחום המשותף, המתאים לכל האילוצים, כולל הנקודות שעל הצלעות שתוחמות את התחום האפשרי. שצורתו מרובע.תחום סגורבשאלה זו התחום האפשרי הוא , ונמצא את שיעוריהם. A ,B ,C ,D נסמן את קדקודיו בעד כה יכולנו לקרוא את שיעורי הנקודות מתוך הסרטוט. כעת נמצא את שיעוריהן באמצעות הכלים שלמדנו בגיאומטריה אנליטית. .A(0, 0) ), כלומר y = 0 ו- x = 0 היא ראשית הצירים (נקודת החיתוך של הישרים: A נקודה .y עם ציר ה- x + 2y = 10 היא נקודת החיתוך של הישר B נקודה .B(0 ,5 נקודה זו מופיעה בטבלת הערכים: ( .2x + y = 8 עם הישר x + 2y = 10 היא נקודת החיתוך של הישר C נקודה כלומר עלינו לפתור את מערכת המשוואות: x+2y=10 2x+y=8 A B D C y x=0 y=0 x -1 -1 1 3 5 4 6 2 7 9 8 4 6 1 3 5 2 10 7 8 9 11 מספר הכיסאות הסלוניים מספר כיסאות המטבח x + 2y = 10 2x + y = 8 y x=0 y=0 x -1 -1 x+2y=10 1 3 5 4 6 2 7 9 8 4 6 1 3 5 2 10 7 8 9 11 מספר הכיסאות הסלוניים מספר כיסאות המטבח
50 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דרך א' - השוואת המקדמים ) ונחבר את המשוואות.‒2 נכפול את המשוואה הראשונה ב-( x + 2 ∙ 4 = 10 במשוואה הראשונה, ונקבל: y = 4 נציב x + 8 = 10 / ‒8 .C(2 ,4) נקודת החיתוך של הישרים היא: דרך ב' - שיטת ההצבה x + 2y = 10 ⇒ x = 10 ‒ 2y במשוואה הראשונה: x נבודד את 2x + y = 8 ⇒ 2 ∙ (10 ‒ 2y) + y = 8 נציב את הביטוי שהתקבל במשוואה השנייה: 20 ‒ 4y + y = 8 20 ‒ 3y = 8 /‒20 ‒3y = ‒12 /:(-3) x + 2 ∙ 4 = 10 /‒8 במשוואה הראשונה, ונקבל: y = 4 נציב .C(2 ,4) נקודת החיתוך של הישרים היא: .x עם ציר ה- 2x + y = 8 היא נקודת החיתוך של הישר D נקודה .D(4 ,0) נקודה זו מופיעה בטבלת הערכים: .A(0 ,0) , B(0 ,5) , C(2 ,4) , D(4 ,0) תשובה: שיעורי הקדקודים של התחום האפשרי הם: .56 שירה מכינה תליונים ועגילים. חרוזים. 2 חרוזים, ובכל עגיל היא משבצת 4 בכל תליון משבצת שירה חרוזים. 40 לשירה יש את מספר העגילים. y את מספר התליונים, וב- x סמנו ב- . א רשמו את מערכת האילוצים המתאימה לשאלה. שקלים. 20 שקלים, ועלות ההכנה של עגיל היא 25 עלות ההכנה של תליון היא שירה מעוניינת שהעלות שלה תהיה מינימלית. . ב רשמו את פונקציית המטרה. . ג סרטטו את התחום האפשרי ומצאו את קדקודיו. + x + 2y = 10 / ∙ (‒2) 2x + y = 8 ‒3y = ‒12 / : (‒3) y = 4 ‒2x ‒ 4y = ‒20 2x + y = 8 x = 2 y = 4 x = 2
72 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תרגול משולב בפרק זה נפתור שאלות מחיי היום יום, שבהם נעשה שימוש בכלים שלמדנו עד כה בתכנון ליניארי. השאלות כוללות את כל שלבי הפתרון. .124-123 התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ׳ דוגמה פתורה - כוללת את כל שלבי הפתרון בתכנון ליניארי מפעל קטן מייצר שני סוגים של יוגורט: יוגורט טבעי ויוגורט פירות. הכנת מארזי היוגורט נעשית באמצעות שתי מכונות: מכונה א' מייצרת את היוגורט. מכונה ב' יוצקת את היוגורט לקופסאות וסוגרת בנייר. דקות. 15 ק"ג יוגורט פירות ב- 1 דקות, ו- 40 ק"ג יוגורט טבעי ב- 1 מכונה א' מייצרת דקות. 15 ק"ג יוגורט פירות ב- 1 דקות, ו- 20 ק"ג יוגורט טבעי ב- 1 מכונה ב' יוצקת ואורזת שעות לכל היותר במחזור ייצור אחד. 3 מכונה א' יכולה לעבוד ברציפות שעות לכל היותר במחזור ייצור אחד. 2 מכונה ב' יכולה לעבוד ברציפות . א בנו את מערכת האילוצים המתאימה לשאלה. . ב סרטטו את התחום האפשרי המתאים למערכת האילוצים. . ג מצאו את שיעורי קדקודיו של התחום האפשרי. שקלים. 20 ק"ג יוגורט פירות הוא 1 שקלים, והרווח לכל 30 ק"ג יוגורט טבעי הוא 1 הרווח של המפעל לכל . ד רשמו את פונקציית המטרה. . ה מהי הכמות (בק"ג) של יוגורט מכל סוג שכדאי למפעל לייצר במחזור ייצור אחד, כדי שהרווח של המפעל יהיה מקסימלי? פתרון: . א ק"ג יוגורט. 1 מומלץ לארגן את הנתונים בטבלה עבור זמן הייצור (בדקות) זמן היציקה והאריזה (בדקות) יוגורט טבעי 40 20 יוגורט פירות 15 15 • את הכמות (בק"ג) של יוגורט פירות. y את הכמות (בק"ג) של יוגורט טבעי, וב- x נסמן ב- :שני האילוצים הראשוניםהכמויות של היוגורטים אינן שליליות, ולכן נקבל את x ≥ 0 , y ≥ 0
73 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © • מתקבל מהנתונים לגבי זמן הייצור במכונה א':האילוץ השלישי ק"ג יוגורט טבעי הוא x דקות, כלומר זמן הייצור של 40 ק"ג יוגורט טבעי הוא 1 זמן הייצור של דקות. 40 ∙ x ק"ג יוגורט פירות הוא y דקות, כלומר זמן הייצור של 15 ק"ג יוגורט פירות הוא 1 זמן הייצור של דקות. 15 ∙ y .40x + 15y ≤ 180 ) לכל היותר, ולכן: 3 ∙ 60 = דקות 180 שעות ( 3 מכונה א' יכולה לעבוד ברציפות • מתקבל מהנתונים לגבי זמן היציקה והאריזה במכונה ב':האילוץ הרביעי דקות, כלומר זמן היציקה והאריזה של 20 ק"ג יוגורט טבעי הוא 1 זמן היציקה והאריזה של דקות. 20 ∙ x ק"ג יוגורט טבעי הוא x דקות, כלומר זמן היציקה והאריזה של 15 ק"ג יוגורט פירות הוא 1 זמן היציקה והאריזה של דקות. 15 ∙ y ק"ג יוגורט פירות הוא y .20x + 15y ≤ 120 ) לכל היותר, ולכן: 2 ∙ 60 = דקות 120 שעות ( 2 מכונה ב' יכולה לעבוד ברציפות תשובה: מערכת האילוצים היא: שימו לב! ק"ג יוגורט y ק"ג יוגורט טבעי ו- x לטבלה שרשמנו בתחילת סעיף א' ניתן להוסיף את המידע לגבי פירות ולרשום את האילוצים. זמן הייצור (בדקות) זמן היציקה והאריזה (בדקות) ק"ג יוגורט טבעי x 40x 20x ק"ג יוגורט פירות y 15y 15y x ≥ 0 , y ≥ 0 180 לכל היותר 40x + 15y ≤ 180 120 לכל היותר 20x + 15y ≤ 120 . ב שני האילוצים הראשונים מגבילים את התחום לרביע הראשון. כדי לסרטט את משוואות הישרים, המתאימות לשני האילוצים האחרונים, נבנה טבלאות ערכים. x ≥ 0 y ≥ 0 40x + 15y ≤ 180 20x + 15y ≤ 120 20x + 15y = 120 3 6 0 x 4 0 8 y 40x + 15y = 180 3 4.5 0 x 4 0 12 y
74 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 3 לגבי כל אחד מהישרים נסמן את הנקודות שמצאנו, ונסרטט את הישר. נסמן את התחום האפשרי על ידי מחיקת התחומים הלא-מתאימים. התחום שאינו מחוק הוא התחום האפשרי. . ג קדקודים. 4 התחום האפשרי הוא תחום סגור שיש לו נמצא את שיעורי הקדקודים של התחום. .A)0 ,0( הוא ראשית הצירים, ולכן A נקודה 20x + 15y = 120 היא נקודת החיתוך של הישר B נקודה .B(0 ,8) . נקודה זו מופיעה בטבלת הערכים: y עם ציר ה- היא נקודת החיתוך של הישרים: C נקודה .40x + 15y = 180 ו- 20x + 15y = 120 ) ונחבר את המשוואות.‒1 נכפול את המשוואה הראשונה ב-( 40 ∙ 3 + 15 ∙ y = 180 במשוואה הראשונה, ונקבל: x = 3 נציב 120 + 15y = 180 /‒120 15y = 60 /:15 .C(3 ,4) נקודת החיתוך של הישרים היא: . נקודה זו מופיעה בטבלת x עם ציר ה- 40x + 15y = 180 היא נקודת החיתון של הישר D נקודה .D(4.5 ,0) הערכים: .A(0 ,0) , B(0 ,8) , C(3 ,4) , D(4.5 ,0) תשובה: שיעורי הקדקודים של התחום האפשרי הם: . ד שקלים. 20 ק"ג יוגורט פירות הוא 1 שקלים, והרווח לכל 30 ק"ג יוגורט טבעי הוא 1 הרווח של המפעל לכל פונקציית המטרה מתארת את הרווח הכולל של המפעל ממכירת שני סוגי היוגורטים. y x A y x D B C ● ● ● ● ● 40x + 15y = 180 /∙ (‒1) 20x + 15y = 120 ‒40x ‒ 15y = ‒180 20x + 15y = 120 + ‒20x = ‒60 / : (‒20) x = 3 y = 4 y x
75 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ק"ג של יוגורט טבעי הרווח יהיה x ק"ג של יוגורט טבעי, ולכן עבור 1 שקלים עבור כל 30 המפעל מרוויח שקלים. 30x ק"ג של יוגורט פירות הרווח יהיה y ק"ג של יוגורט פירות, ולכן עבור 1 שקלים עבור כל 20 המפעל מרוויח שקלים. 20y .30x + 20y הרווח הכולל של המפעל הוא: .f(x,y) = 30x + 20y תשובה: פונקציית המטרה היא: . ה נציב בפונקציית המטרה את שיעורי כל אחד מהקדקודים שמצאנו. f(x,y) = 30x + 20y A: f(0,0) = 30 ∙ 0 + 20 ∙ 0 = שקלים 0 B: f(0,8) = 30 ∙ 0 + 20 ∙ 8 = שקלים 160 C: f(3,4) = 30 ∙ 3 + 20 ∙ 4 = שקלים 170 D: f(4.5,0) = 30 ∙ 4.5 + 20 ∙ 0 = שקלים 135 שקלים. 170 . בנקודה זו הרווח הוא C(3 ,4) הרווח המקסימלי מתקבל בנקודה ק"ג יוגורט פירות. 4 ק"ג יוגורט טבעי ו- 3 הנקודה מייצגת כמות של ק"ג 4 ק"ג יוגורט טבעי ו- 3 תשובה: כדי שהרווח יהיה מקסימלי על המפעל לייצר במחזור ייצור אחד יוגורט פירות. סיכום שלבי הפתרון בשאלות בתכנון ליניארי: • .y ו- x הגדרת המשתנים • בניית מערכת אילוצים לפי הסיפור האורייני. • סרטוט הישרים המתאימים לכל אחד מהאילוצים. • סימון התחום האפשרי (סגור או פתוח). • מציאת הקדקודים של התחום האפשרי. • בניית פונקציית המטרה. • הצבת שיעורי הקדקודים בפונקציית המטרה ומציאת הערך המקסימלי/המינימלי שלה. שימו לב! ייתכן שחלק מהשלבים ניתנו בשאלה, ולכן יש לבצע רק את השלבים האחרים. הערה: • בכל כתיבת אילוץ יש להקפיד על יחידות אחידות. בדוגמה זו היתה המרה של יחידות זמן משעות לדקות.
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=