حسب الربنامج التعليمي الجديد عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ يتسحاك شاليڤ إيتي عوزيري الرياضيّات للصف العارش وحدات 3 مستوى الجزء الثاين عنقود اإللمام في المستوى والفراغ 10.06.2024 4576 ב’ - وزارة الرتبية والتعليم رقم املصادقة: تاريخ املصادقة:
مينع نسخ أو نرش هذا الكتاب أو أجزاء منه بأي شكل أو واسطة - الكرتونية أو ميكانيكية (مبا يف ذلك التصوير أو التسجيل)، بدون إذن خطّي من املؤلّفني .للمؤلفني محفوظة الحقوق جميع ,2024 © 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 املوزع: لوين كوهني م.ض. 03-9522326 , 03-9518418 تلفون: 03-9410902 , 03-9518415 فاكس: 776-66 داناكود: ISBN: 978-965-7210-84-0 رقم اإليداع الدويل: shalevozeri@mathstar.co.il بريد إلكرتوين: www.mathstar.co.il املوقع: www.mathstarshop.co.il الحانوت االفرتايض: 054-5437989 هاتف خليوي / واتس أب: يتسحاك شاليڤ 077-4200154 تلفون: 08-8676797 فاكس: إيتي عوزيري 09-9559222 تلفون: 09-9555885 فاكس:
جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ الرياضيّات للصف العارش وحدات) 3 (مستوى الجزء الثاين حسب الربنامج التعليمي الجديد 10.06.2024 4576 ב’ - وزارة الرتبية والتعليم رقم املصادقة: تاريخ املصادقة:
جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني ©
جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © مقدّمة وحدات. 3 كتاب "الرياضيّات للصف العارش - الجزء الثاين - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ" مناسب للمنهج الجديد عىل مستوى هذا الكتاب هو الثاين من ثالثة كتب. توضّح األسئلة يف هذا العنقود إمكانيّة التطبيق الواسع للهندسة يف الحياة اليوميّة. ما الّذي مييّز الكتاب؟ . يتم تدريس املهمّة يف الفصل وهي أداة ممتازة الفتتاحيّة املوضوع قيد الدراسة. تبدأ كل وحدة مبهمّة افتتاحيّة مميّزة بعالمة • تحتوي كل وحدة عىل فصول دراسيّة، ويحتوي كل فصل عىل أقسام دراسيّة. • يتم دمج التذكريات واألمثلة املحلولة والتفسريات والتعليقات يف الخلفيّة الرماديّة لكل فصل؛ وذلك لتمكني التدريس الفعّال واملريح. • يحتوي الكتاب عىل الكثري من التامرين. • يف معظم الحاالت، تكون اإلجابات املرفقة بالتامرين "توضيحيّة" وليست مجرّد إجابات نهائيّة. • يوجد يف نهاية الكتاب ثالثة مالحق حول املواد الّتي متّت دراستها يف املرحلة اإلعداديّة، وهي مطلوبة لدراسة مواد هذا الكتاب. • مرشد املعلّم الكتاب مرفق مبرشد للمعلّم. باإلضافة إىل املنطق الرتبويّ، فإنّه يحتوي عىل حلول مفصّلة لبعض األسئلة، وعىل اقرتاحات لطرق التدريس والتوضيح. نتوجّه بالشّكر إىل الدكتورة متارا أفيرش-زيلديس والسيّدات تايل روش، نيتسا فيرنو، روتيم فرويدنربغ وياعيل رحاڤي، الّذين شاركوا يف كتابة املواد التعليميّة يف الكتاب. نأمل أن يساعد هذا الكتاب املعلّمني يف عملهم، ويقود التالميذ إىل النجاح. يتسحاق شاليڤ وإيتي عوزيري
جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © قراءة مهمّة افتتاحيّة، عادة يف بداية دراسة الوحدة. ستتم دراسة املهمّة يف الفصل بتوجيه من املعلّم. سؤال للمناقشة يف الصف - يف مجموعات أو يف نقاش صفّيّ، بتوجيه من املعلّم. سؤال تفكري - سؤال بدرجة عالية من التفكري يتم حلّه يف الصف أو يف املنزل وفقًا لتقدير املعلّم. ، يجب تنزيل تطبيق عىل الهاتف لقراءة الرمز. مسح الرمز يوصلكم إىل برنامج صغري QR سؤال يظهر فيه رمز أو فيديو أو مزيد من املعلومات. معظم األسئلة ال تتضمّن معلومات رضوريّة لحل السؤال نفسه، بل معلومات إضافيّة تتعلّق مبوضوع السؤال، م يسمح باإلثراء أو املقارنة أو املامرسة.
جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © املحتويات 1.................................................................................................................. عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - افتتاحيّة 2................................................................................................................. الوحدة األوىل - محيطات األشكال الهندسيّة املحيط يف الحياة اليوميّة محيط املثلّث 5........................................................................................................................................................................ أ. محيط املثلّث 7................................................................................................................................................................. ب. نظريّة فيثاغوروس 10..................................................................................................................................... ت.. محيط املثلّث مع نظريّة فيثاغوروس 19............................................................................................................................................................... محيط األشكال الرباعيّة 33............................................................................................................................................................................. محيط الدائرة 39.................................................................................................................................................... محيط األشكال الهندسيّة املركّبة تأثري تغيري القياسات عىل املحيط 47............................................................................................................................. ) أشكال مستطيلة (يشمل املربّعات أ. 51.......................................................................................................................................................... ب. أشكال دائريّة 55............................................................................................................................................... املحيط - مقارنة و/أو اتّخاذ قرارات 63....................................................................................................................................................................................... إجابات 68................................................................................................................................................. الوحدة الثانية - املسارات أطوال املسارات 69............................................................................................................................................... أ. مسائل بدون أشكال هندسيّة 76................................................................................................................................................... ب. مسائل مع أشكال هندسيّة 85..................................................................................................................................................................................... تخطيط مسارات 90...................................................................................................................................................................................... اختيار املسارات 102..................................................................................................................................................................................... إجابات 126. .................................................................................................................... الوحدة الثالثة - مساحات األشكال الهندسيّة توضيح مفهوم املساحة ووحدة املساحة وحساب املساحة (يشمل التقدير) 107. .................................................................................................................................................... توضيح مفهوم املساحة أ. 107. ...................................................................................................................................... ب. وحدة املساحة وحساب املساحة 109. ................................................................................................................................................................. ت.. تقدير املساحة 111. .................................................................................................................................................................................... مساحة املثلّث مساحة األشكال الرباعيّة..................................................................................................................................................................
جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © 133.......................................................................................................................................................................... مساحة الدائرة 139................................................................................................................................................ مساحة األشكال الهندسيّة املركّبة تأثري تغيري القياسات عىل املساحة 148........................................................................................................................... ) أشكال مستطيلة (يشمل املربّعات أ. 153........................................................................................................................................................ ب. أشكال دائريّة 157........................................................................................................................................... املساحة - مقارنة و/أو اتّخاذ قرارات 163. ............................................................................................................................................................................................... إجابات 168. ............................................................................................................................................ الوحدة الرابعة - التبليط مضلّعات 186. ....................................................................................................................................... أ. مجموع الزوايا يف مضلّع محدّب 197. ........................................................................................................................... ب. حجم الزاوية الداخليّة يف املضلّع املنتظم 203. .................................................................................................................................................. ت. مساحة املسدّس املنتظم 176........................................................................................................................................................... التبليط يف الحياة اليوميّة 178....................................................................................................................................... تبليط املستوى بواسطة أشكال هندسيّة 181............................................................................................................................................................ّ الدمج بني التبليط والفن 184......................................................................................................... حساب املساحات وتكاليف التبليط بواسطة أشكال هندسيّة 192.................................................................................................................................................. اتّخاذ القرارات بالنسبة للتبليط 198..................................................................................................................................................................................... إجابات 201. ............................................................. الوحدة الخامسة - محيطات ومساحات أشكال هندسيّة يف سياق أديب 201.............................................................................................................................................. املحيط واملساحة يف الحياة اليوميّة 203................................................................................................................................... املحيط واملساحة ألشكال هندسيّة أساسيّة 208...................................................................................................................................... املحيط واملساحة ألشكال هندسيّة مركّبة 217................................................................................................. املحيط واملساحة ألشكال هندسيّة - تكبري/تصغري قياسات الشكل 221...................................................................................................... املحيط واملساحة ألشكال هندسيّة - مقارنة و/أو اتّخاذ قرارات 227..................................................................................................................................................................................... إجابات املالحق 230. .............................................................................................................................. امللحق "أ" - تعريفات وخصائص األشكال الهندسيّة 233. ........................................................................................................................... امللحق "ب" - محيطات ومساحات األشكال الهندسيّة 235. ............................................................................................................................................................ امللحق "ت" - تحويل الوحدات 239. .................................................................................................................................................................... امللحق «ث» - اختبارات
1 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - افتتاحيّة يركّز هذا العنقود عىل كائنات العامل الحقيقيّ. توضّح املشكالت الّتي تم حلّها يف هذا العنقود إمكانيّة تطبيق الهندسة عىل نطاق واسع يف • حياة اإلنسان اليوميّة. املحتوى الريايض يف العنقود (مبا يف ذلك املفاهيم الرياضيّة) • محيطات ومساحات األشكال الهندسيّة. ✔ تحويل الوحدات. ✔ تقدير. ✔ املحتوى األديب يف العنقود • األمثلة املعروضة مستقاة من الحياة اليوميّة للتالميذ. ✔ يتم عرض التطبيقات املحدّدة يف وحدات منفصلة. ✔ وحدات 5 • عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ يحتوي عىل الوحدة األوىل: محيطات األشكال الهندسيّة (مثلّثات، أشكال رباعيّة، دوائر، أشكال مكوّنة من مستطيالت و/أو دوائر و/أو أجزاء ✔ من دوائر). الوحدة الثانية: مسارات تشمل حساب الرسعة. ✔ الوحدة الثالثة: مساحات األشكال الهندسيّة (مثلّثات، أشكال رباعيّة، دوائر، أشكال مكوّنة من مستطيالت و/أو دوائر و/أو أجزاء ✔ من دوائر). الوحدة الرابعة: التبليط. ✔ الوحدة الخامسة: محيطات ومساحات األشكال الهندسيّة. ✔ يوجد يف نهاية الكتاب مالحق للموضوعات الّتي متّت دراستها يف املرحلة اإلعداديّة، واملطلوب دراستها يف هذا العنقود. •
2 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © الوحدة األوىل محيطات األشكال الهندسيّة سنتناول يف هذه الوحدة املواضيع التالية: نظريّة فيثاغورس. • • خصائص األشكال الهندسيّة (مثلّث متساوي الساقني، مثلّث متساوي األضالع، مثلّث قائم الزاوية، متوازي األضالع، مستطيل، مع ّ، مربّع، شبه منحرف). • محيط األشكال الّتي تتكوّن حوافّها من أجزاء (مبا يف ذلك املثلّث، متوازي األضالع، املستطيل، املع واملربّع). • محيط الدائرة. • محيط األشكال الّتي تتكوّن حوافّها من أجزاء دائرة أو دائرة. استخدام مجموعة من األشكال الهندسيّة يف سياق تعليميّ. • تأثري تغيري واحد أو أكرث من أبعاد الشكل (املستطيل أو الدائرة) عىل محيط الشكل – يف سياق تعليميّ. • تطبيق اعتبارات الجدوى يف حاالت تعليميّة تتطلّب املقارنة، مع حساب محيط األشكال الهندسيّة و/أو حساب التكاليف املطلوبة. • تذكري يساوي مجموع أطوال جميع أضالعه.محيط املضلّع املحيط = a + b + c + d مهمّة افتتاحيّة أمامك بركتا سباحة. طُلب من حسّان تقديم تسعرية لسياج أمان حول بركتي السباحة، ولهذا عليه حساب املحيط. احسبوا محيط بركة السباحة يف الشكل «أ» (املعطيات باملرت). أ. أي بركة محيطها أكرب: ب. الربكة يف الرسم «أ» أو الربكة يف الرسم «ب» (املعطيات باملرت)؟ عللّوا إجابتكم. .63 إجابة مهمّة االفتتاحيّة ص a c d b 4 2 1 6 4 3 الرسم "أ" 6 6 4 4 الرسم "ب"
3 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © محيط اإلصبع (ملّم) مقاس الخاتم 44.5 3 46.5 4 49.2 5 52.4 6 54 7 57.2 8 محيط المعصم (سم) مقاس السوار 14-14.5 XS 14.5-15.5 S 15.5-16.5 M 16.5-17.5 L 17.5-18.5 XL املحيط يف الحياة اليوميّة يف هذا الفصل، سوف نوضّح - بطريقة ملموسة - مواقف من الحياة اليوميّة، يتم فيها استخدام املحيط، وسنشري إىل معنى املحيط فيام يتعلّق باملوقف املعروض. .63 إجابات متارين هذا الفصل – ص مثال محلول أمامكم جدول مقاسات األساور النسائيّة. سم. 16.2 أ. محيط معصم متارا ما هو مقاس السوار املناسب لها؟ .L اشرتت عناية سوارًا مقاس ب. ماذا ميكنك أن تقول عن محيط معصمها؟ .6 وخاتم مقاس L يقدّم متجر املجوهرات علبة بسوار مقاس سم 16.6 ت. محيط معصم علياء ملّم. 52.4 ومحيط إصبعها هل السوار والخاتم املوجودان يف العلبة مالمئان لعلياء؟ عللّوا. الحلّ: سم، 16.2 أ. محيط معصم متارا سم. 16.5-15.5 وهو يف حدود .M ولذلك فإن حجم السوار املناسب لها هو سم. 17.5-16.5 يناسب محيط املعصم يف حدود L ب. مقاس السوار يناسب 6 ملّم، لذا فإن الخاتم مقاس 52.4 يناسبها. محيط إصبع علياء هو L سم، لذا فإن السوار مقاس 16.6 ت. محيط معصم علياء هو أيضًا محيط إصبعها، والغرضان املوجودان يف العلبة يناسبان قيايس علياء. أعطوا مثا من الحياة اليوميّة ملواقف تتطلّب حساب املحيط. .1
4 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © أمامكم قياسات املالبس الرجاليّة للقمصان / البلوزات / املعاطف .2 يف رشكة أزياء معيّنة. سم، وهو مهتم برشاء معطف. 112 أ. محيط صدر خالد ما الحجم الّذي يجب أن يطلبه؟ سم، 106 ب. يوسف مهتم برشاء بلوزة. محيط صدره سم. ما هو املقاس الّذي يجب أن يطلبه؟ 41 ومحيط رقبته ت. يريد خليل رشاء قميص بأزرار، لكنّه اكتشف أنّه تبقّى يف فقط. XXL و XL و M املوقع قمصان بأزرار لألحجام سم. 97 سم، ومحيط صدره 39 محيط رقبته هل هناك قميص بالحجم املناسب له؟ علّلوا. األرض كوكب سيّار. .3 أ. ما هي وحدات القياس املنطقيّة لقياس محيط األرض حول خط االستواء؟ ابحثوا يف شبكة اإلنرتنت عن املعلومات املتعلّقة باألسئلة التالية: ّ ب. ما هو محيط األرض حول خط االستواء؟ ت. ما هو محيط األرض عىل طول الدائرة الّتي متر بالقطبني الشاميل والجنويب (تسمّى هذه الدائرة «خط الطول»)؟ . محيط رأس الطفل من أهم القياسات الّتي يتم اختبارها. 4 قد يؤدّي محيط الرأس غري الطبيعي إىل اضطراب يف التطور الطبيعي للدماغ. سم. 37 سم، وأقل من 32 يبلغ محيط الرأس الطبيعي للطفل الذكر أثناء الوالدة أكرث من املوجود يف نهاية السؤال، وابحثوا عن معلومات تتعلّق بالزيادة الطبيعيّة يف محيط رأس الطفل الذكر، QR امسحوا رمز وفقًا للمنحنى األخرض (األوسط): يف األشهر الستّة األوىل من حياته. أ. ب. من جيل سنة إىل سنتني. ) (من موقع وزارة الصحّة منحنيات النمو لألوالد – محيط الرأس حسب العمر: القياس محيط الصدر (سم) محيط الرقبة (سم) XS 88-92 36 S 93-98 38 M 99-104 40 L 105-110 42 XL 111-116 44 XXL 117-125 46 XXXL 126-132 48ّ الشمالي ّالقطب الجنوبي القطب خط االستواء
5 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © محيط املثلّث (قائم الزاوية، مختلف األضالع، متساوي الساقني، محيط املثلّث وهي يف املرحلتني االبتدائيّة واإلعداديّةسرناجع يف هذا الفصل مادّة كانت تدرّس الّتي متّت دراستها يف املرحلة اإلعداديّة.ونظريّة فيثاغورسمتساوي األضالع) سنتعامل مع مواقف من الحياة اليوميّة، حيث يكون من الرضوري حساب محيط املثلّثات. . امللحق «ج»وتحويل وحدات الطول يفامللحق «أ» سوف تستخدم األسئلة خصائص املثلّثات يف يف كتاب عنقود العلوم واملجتمع.امللحق «أ»،يف بعض متارين هذا الفصل سوف نستخدم حل معادالت من الدرجة األوىل والدرجة الثانية املوجودة يف ماذا سوف نتعلّم؟ نظريّة فيثاغورس. ✔ محيط املثلّث. ✔ محيط املثلّث - مع نظريّة فيثاغورس. ✔ .63-64 إجابات متارين هذا الفصل – ص أ. محيط املثلّثات تذكري يساوي مجموع أطوال أضالعه:محيط املثلّث P = a + b + c ،Perimeter . مشتقّة من الكلمة اإلنجليزيّة املحيط لتحديد P يتم استخدام الحرف ومعناها املحيط. مثال محيط املثلّث يف الرسم (املعطيات بالسنتيمرت) هو: P = 2 + 3 + 4 = سم 9 . جدوا محيط كل مثلّث من املثلّثات التالية (البيانات بالسنتيمرت). 5 أ. مثلّث مختلف األضالع ب. مثلّث متساوي الساقني ت. مثلّث متساوي االضالع 8 11 13 8 11 5 a c b 2 3 4
6 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © . جدوا أطوال األضالع الناقصة يف املثلّثات التالية حسب املعطيات (البيانات بالسنتيمرت). 6 محيط املثلّث متساوي سم. 27 األضالع 7 محيط املثلّث متساوي سم. 31 الساقني 10 13 محيط املثلّث سم. 29 هو أ. ب. ت. املخبوزة املوجودة يف الصورة عىل شكل مثلّث. .7 استعينوا باملعطيات املوجودة يف الرسم، وجدوا محيط املخبوزة. القالدة املوجودة يف الصورة عىل شكل مثلّث متساوي الساقني. .8 سم. 2.5 طول قاعدة املثلّث سم من طول القاعدة. 1 طول الساق أكرب مبقدار أ. جدوا طول ساق القالدة. ب. جدوا محيط القالدة. النافذة يف الصورة عىل شكل مثلّث متساوي الساقني. .9 م. 1.5 طول قاعدة املثلّث سم من طول القاعدة. 30 طول الساق أقل بـ أ. جدوا طول الساق بالسنتيمرت. سم) 100 = م 1 : (توجيه ب. جدوا محيط النافذة. سم. 30 يساوي AB . الساعة املوجودة يف الصورة مثلّثة الشكل. طول الضلع 10 .AC ، جدوا طول الضلع AB سم من طول الضلع 8 أقل مبقدار AC أ. طول الضلع .BC . جدوا طول الضلع AB مرّة من طول الضلع 1.5 أكرب بـ BC ب. طول الضلع ت. جدوا محيط إطار الساعة املثلّثة الشكل. سم 5 سم 6 سم 7 سم 2.5 م 1.5 B C A سم 30
7 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © . يوجد يف متجر املعجّنات بسكويت عىل شكل مثلّث متساوي األضالع. 11 سم. 18 محيط كل قطعة بسكويت أ. ما هو طول ضلع الكعكة مثلّثة الشكل؟ يوجد يف وسط كل قطعة بسكويت مثلّث آخر متساوي األضالع، طول ضلعه أصغر أضعاف طول ضلع البسكويت. 3 بـ ) ما طول ضلع املثلّث الداخيلّ؟ 1( . ب ) ما محيط املثلّث الداخيلّ؟ 2( ب. نظريّة فيثاغورس تاريخيّة وخلفيّة تذكري تذكري . درجة. تم وضع عالمة يف الرسم عىل النحو التايل: 90 الزاوية اليمنى هي زاوية • .) ∢C = 90°( املثلّث القائم الزاوية هو مثلّث تكون إحدى زواياه قامئة • يف املثلّث القائم الزاوية، األضالع املتعامدة مع بعضها البعض (الزاوية بينهام قامئة) .وتر، والضلع الثالث يُسمّى أضالع قامئةتُسمّى .AB ، والوتر هو BC و AC يف الرسم، األضالع القامئة هام فيثاغورس قبل امليالد). 495 قبل امليالد – حوايل 570 فيثاغورس فيلسوف وعامل رياضيّات يوناين عاش يف جزيرة ساموس (حوايل قبل امليالد استقر يف كروتوين يف جنوب إيطاليا، وأسّس حوله املدرسة الفيثاغوريّة - وهي مجتمع ديني فلسفيّ، 529 ويف عام يدعو إىل أسلوب حياة بسيط مخصّص للدراسة والتأمُّل. اشتهر فيثاغورس بالنظريّة الّتي سُمّيت باسمه. نظريّة فيثاغورس سُمّيت النظريّة التالية نسبة السم فيثاغورس، ويُنسب إليها أوّل دليل عام عىل النظريّة، لكن ليس هناك يقني يف ذلك. النظريّة نفسها دون دليل كانت معروفة قبل فيثاغورس مبئات السنني، وهناك دليل عىل ذلك يف مرص القدمية وبابل والصني. تصف النظريّة العالقة بني األضالع الثالثة للمثلّث القائم الزاوية، وذلك باستخدام املربّعات املبنيّة عىل أضالعه. مساحة املربّع تساوي تربيع طول ضلعه.تذكري: a c b A B C
8 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © النظريّة هي: مجموع مساحتي املربّعني املبنيّني عىل القامئني يف مثلّث قائم الزاوية، يساوي مساحة املربّع املبني عىل الوتر: a2 + b2 = c2 نظريّة فيثاغورس لديها مئات الرباهني. ومن بني أصحاب الرباهني ليوناردو دا فينيش، جيمس جارفيلد (الرئيس العرشين للواليات املتّحدة األمريكيّة) وألربت أينشتاين (يف شبابه). نظريّة فيثاغورس - صياغة أخرى يف أي مثلّث قائم الزاوية، مجموع مربّعات القامئني يساوي مربّع الوتر: • a2 + b2 = c2 انتبهوا! .a + b = c ال تأدّي إىل املساواة: a2 + b2 = c2 املساواة: تطبيق لتوضيح نظريّة فيثاغورس: • • فيديو يعرض نظريّة فيثاغورس برصيًّا (من متحف بلومفيلد للعلوم يف القدس): أمثلة محلولة مثال أ سم. 12 ، سم 9 : أطوال القامئني يف املثلّث قائم الزاوية هام جدوا طول الوتر. الحلّ: سم لطول الوتر. x سنشري بـ ، فإن مجموع مربّعات القامئني يساوي مربّع الوتر، وبالتايل:لنظريّة فيثاغورسوفقًا 92 + 122 = x2 81 + 144 = x2 225 = x2 x = ±15 a c b a2 b2 c2 وتر قائم b c a قائم 9 12 x
9 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © ملحوظة هامّة! .x = −15 أو x = 15 : لها ح ّن x2 = 225 املعادلة طول الضلع، لذلك يجب أن يكون طوله موجبًا. x ميثّل لذلك، من اآلن فصاعدًا، سوف نشري يف الهندسة فقط إىل النتيجة اإليجابيّة للنتيجتني اللّتني تم الحصول عليهام. سم. 15 اإلجابة: طول الوتر مثال ب سم. 8 سم، وطول اآلخر يف مثلّث قائم الزاوية، طول أحد القامئني جدوا طول القائم الثاين. الحلّ: سم. وفقًا لنظريّة فيثاغورس: x سنحدّد طول القائم الثاين بـ ( )2 + x2 = 82 4 ∙ 3 + x2 = 64 12 + x2 = 64 / −12 x2 = 52 (الحل السالب مرفوض) x = 7.21 سم. 7.21 اإلجابة: طول القائم الثاين يف املثلّثات القامئة التالية (املعطيات بالسنتيمرت). x . جدوا 12 ت. ب. أ. 9 7 x x 15 20 12 5 x يف املثلّثات القامئة التالية (املعطيات بالسنتيمرت). x . جدوا 13 ت. ب. أ. x 17 22 12 10 x 5 4 x 8 x
10 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © يف املثلّثات القامئة الزاوية التالية (املعطيات بالسنتيمرت). x . جدوا 14 x 3 12 x 3 x ب. أ. ت. هل تعلمون؟ تُسمّى ثالثيّة فيثاغورس، إذا كانت األعداد تحقّق املساواة املنصوص عليها يف a,b,c ) أن ثالثيّة األعداد الطبيعيّة (الصحيحة واملوجبة .a2 + b2 = c2 نظريّة فيثاغورس: .32 + 42 = 52 هي ثالثيّة فيثاغورسيّة، ألنّها أعداد طبيعيّة وهي تحقّق أيضًا: 3،4،5 فمث ً: األعداد ،)1 ثالثيّة فيثاغورس األوّليّة هي ثالثيّة ليس لها قاسم مشرتك (غري .5,12,13 أو 3,4,5 : عىل سبيل املثال ثالثيّة فيثاغورس غري األوّليّة هي ثالثيّة يتم الحصول عليها من ثالثيّة فيثاغورس األوّليّة مرضوبة يف نفس العدد الطبيعيّ. عىل سبيل املثال: .10 يف 3،4،5 هي ثالثيّة فيثاغورس غري أوّليّة، ألنّه تم الحصول عليها من رضب الثالثيّة األوّليّة 30،40،50 . قدّمت مجموعة من الطالبات االدّعاءات التالية. استعينوا بخصائص مثلّث فيثاغورس، ولكل ادّعاء اذكروا إذا 15 كان صحيحًا أم ال، وعلّلوا. هي ثالثيّة فيثاغورسيّة. 1،2،3 : أ. قالت متارا إن األعداد الثالثة هي ثالثيّة فيثاغورسيّة أوّليّة. 8،15،17 : ب. قالت مريم إن األعداد الثالثة هي ثالثيّة فيثاغورسيّة. 6،8،10 : ت. قالت هالة إن األعداد الثالثة هي ثالثية فيثاغورسيّة. 1.5،2،2.5 : ث. قال صادق إن األعداد الثالثة ج. قال نعيم إن هناك عددًا ال نهائيًّا من ثالثيّات فيثاغورس. ت. محيط املثلّثات - مع نظريّة فيثاغورس مثال محلول سم. 8 هو AB ( طول القائم ∢B = 90°) ∆ABC يف مثلّث قائم الزاوية .AB من طول القائم 25% أقل بنسبة BC وطول القائم .BC أ. جدوا طول القائم .AC ب. جدوا طول الوتر .∆ABC ت. جدوا محيط املثلّث 8 A B C
11 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © الحلّ: سم. 8 الّذي يبلغ طوله AB من طول القائم 25% أصغر بنسبة BC أ. طول القائم .)100% - 25% = 75%( AB من طول 75% هو BC أي أن طول BC = 0.75 ∙ 8 = سم 6 : وبالتايل سم. 6 هو BC اإلجابة: طول القائم يتحقّق:لنظريّة فيثاغورس ب. وفقًا 62 + 82 = AC2 36 + 64 = AC2 AC2 = 100 (الحل السالب مرفوض) AC = سم 10 سم. 10 بساوي AC اإلجابة: طول الوتر ت. جدوا محيط املثلّث: P = 6 + 8 + 10 P = سم 24 سم. 24 اإلجابة: محيط املثلّث سم. 4 . يف املثلّث قائم الزاوية، طول القائم القصري هو 16 طول الوتر أكرب مبرّتني من طول القائم القصري. أ. جدوا طول القائم الطويل. ب. جدوا محيط املثلّث. سم. 10 يساوي AB (، طول القائم ∢B = 90°) ∆ABC . يف املثلّث قائم الزاوية 17 .AB من طول القائم 20% أكرب بنسبة AC طول الوتر .AC أ. جدوا طول الوتر .BC ب. جدوا طول القائم .∆ABC ت. جدوا محيط املثلّث 4 10 A B C
63 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود اإلملام يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © إجابات اإلجابات - محيطات األشكال الهندسيّة مهمّة إفتتاحيّة نحسب محيط بركة السباحة عن طريق حساب مجموع أطوال أضالعها: أ) املحيط = 4 + 6 + 3 + 4 + 1 + 2 = م 20 مرتًا. 20 اإلجابة: محيط حوض السباحة يف الرسم (أ) هو ب) محيط بركة السباحة يف الرسم «ب» هو: املحيط = 4 + 6 + 4 + 6 = م 20 يتم توضيح املساواة بني املحيطات يف الرسامت التالية: 4 2 1 6 4 3 6 6 4 4 → → 4 2 1 6 4 3 4 1 اإلجابة: للربكتني نفس املحيط. املحيط يف الحياة اليوميّة . عىل سبيل املثال: حساب طول السور الّذي تريد وضعه حول مربّع عىل شكل دائرة؛ حساب طول األلواح ال ّزمة لوضعه يف غرفة عىل شكل مستطيل 1 أو مربّع؛ الحسابات املتعلّقة بجسم اإلنسان، مثل: محيط الرأس، ومحيط الخرص؛ حساب طول حدود الدولة. L ) ب XL ) أ .2 سم أكرب قلي فقط 99-104 سم ومحيط الصدر 40 مناسب لخالد، ألن محيط الرقبة M ت) نعم املقاس كبرية جدًّا بالنسبة له. XXL و XL سم). مقاسات 97( سم)، ومحيط صدره 39( من محيط رقبة يوسف كم 40007.86 ) كم ت 40075.016 ) ب أ) كم .3 سم (تقريبًا). 43.3 سم إىل 34.5 أ) يف األشهر الستة األوىل من حياة الطفل الذكر، هناك زيادة يف محيط الرأس من .4 سم (تقريبًا). 48.2 سم إىل 46.1 ب) يف السنة الثانية من حياة الطفل الذكر، حدثت زيادة يف محيط الرأس من محيط املثلّثات سم 15 ) ت سم 30 ) ب سم 32 ) أ .5 سم 9 ) ت سم 12 ) ب سم 6 ) أ .6 م 3.9 = سم 390 ) ب سم 120 ) . أ 9 سم 9.5 ) ب سم 3.5 ) . أ 8 سم 18 .7 سم 97 ) ت سم 45 ) ب سم 22 ) أ .10 سم 6 )2( سم 2 )1( ) ب سم 6 ) أ .11 13.96 ) ت 6.63 ) ب 3 ) . أ 13 ت) 25 ) ب 13 ) أ .12 سم 18 ) ت سم 10 ) ب سم 7 ) أ .14 12 + 22 ≠ 32 أ) غري صحيح، ألنّ: .15 .82 + 152 = 172 ) وتحقّق أيضًا: 1 ب) صحيحة، ألنّها ثالثة أعداد طبيعيّة ليس لها قاسم مشرتك (غري .62 + 82 = 102 ت) صحيح، ألنّها ثالثة أعداد طبيعيّة وتحقّق: ث) غري صحيح. يجب أن تكون األعداد الثالثة يف ثالثيّة فيثاغورس (أوليّة أم ال) أعدادًا طبيعيّة، حتّى لو حققّت نظريّة فيثاغورس. ج) صحيح، ألنّه من املمكن رضب أي ثالثيّة يف عدد ال نهايئ من األعداد الطبيعيّة والحصول عىل عدد ال نهايئ من الثالثيّات. 4 2 1 6 4 3 الرسم "أ" 6 6 4 4 الرسم "ب"
68 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود التمكّن يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © الوحدة الثانية املسارات سنتناول يف هذه الوحدة املواضيع التالية: املسارات الّتي تتكوّن من سلسلة من األقسام والدوائر أو أجزاء من الدوائر: أطوال املسارات، وتخطيط املسارات واختيارها. • • معادلة تربط بني املسافة والرسعة والزمن: املسافة = الرسعة ∙ الزمن • سيتم استخدام خصائص األشكال الهندسيّة (مثلّث متساوي الساقني، مثلّث متساوي األضالع، مثلّث قائم الزاوية، متوازي األضالع، املستطيل، املع ّ، املربّع، شبه املنحرف والدائرة) ويف نظريّة فيثاغورس. هذه الوحدة هي تطبيق الستخدام حسابات املحيطات، ويف إطارها سيتم عرض أسئلة تكامليّة، مثل: دمج النسب املئويّة، دمج الرسعة، إلخ. .يف امللحق «ج»ستتطلب بعض األسئلة حل معادلة من الدرجة األوىل، وسيتطلّب بعضها اآلخر تحويل الوحدات الزمنيّة مهمّة افتتاحيّة أمامكم خريطة لحي خُطّط عىل شكل مستطيل يعيش فيه هادي ونوري. .A وكالهام يعيشان يف املبنى املجاور للنقطة توجد صالة األلعاب الرياضيّة الخاصّة بهام. يذهب هادي إىل الصالة C بالقرب من النقطة .B عىل املسار املحيط بالحي (باللّون األصفر)، ومير عرب النقطة .D يذهب نوري إىل صالة األلعاب الرياضيّة عىل الطريق الّذي يحيط بالحيّ، ومير عرب النقطة ويف أحد األيّام ذهب كالهام للتدرّب يف نفس الوقت. إذا وصال معًا، ماذا ميكنكم القول عن رسعتهام؟ أ. ب. إذا وصل هادي قبل نوري، فامذا ميكنكم القول عن رسعته مقارنة برسعة نوري؟ ت. إذا كانت رسعة نوري أعىل مرّتني من رسعة هادي، ماذا ميكنك أن تقول عن الوقت الّذي مىش فيه كل واحد؟ .102 إجابة مهمة االفتتاحيّة يف صفحة A D B C
71 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود التمكّن يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © . غادر عادل الخضرية باتّجاه هرتسليّا، وغادر كريم هرتسليّا ملقابلة عادل. 2 غادر كالهام يف نفس الوقت، والتقيا يف منتصف الطريق بالضبط. ماذا ميكن أن يُقال عن رسعة سفر عادل: ) تساوي رسعة سفر كريم؟ 1( ) أكرب من رسعة سفر كريم؟ 2( ) أقل من رسعة سفر كريم؟ 3( علّلوا إجابتكم. . غادرت نوال حيفا متّجهة إىل تل أبيب. خرجت شريين من تل أبيب 3 كم. 100 باتّجاه نوال. املسافة بني تل أبيب وحيفا كلتاهام غادراتا يف نفس الوقت، والتقيتا يف نتانيا الّتي تبعد كم عن تل أبيب. 30 ماذا ميكن أن يُقال عن رسعة نوال: ) تساوي رسعة سفر شريين؟ 1( ) أكرب من رسعة سفر شريين؟ 2( ) أقل من رسعة سفر شريين؟ 3( علّلوا إجابتكم. ثانية. 336 م ملدّة 504 . مشت هالة مسافة 4 أ. ما هي رسعة ميش هالة (باألمتار يف الثانية)؟ ثانية؟ 560 ب. ماذا يجب أن تكون رسعة هالة حتّى تقطع املسافة يف هو أطول شارع يف إرسائيل، 90 . شارع رقم 5 كم. 480 ويربط إيالت يف الجنوب باملطلّة يف الشامل. ويبلغ طوله كم/ساعة. 90 كانت هناك سيّارة تسري عىل هذا الطريق برسعة أ. ما هو وقت السفر بالسيّارة من إيالت إىل املطلّة؟ ، ففي أي وقت ستصل إىل املطلّة، إذا مل تتوقّف يف الطريق؟ 8:00 ب. إذا غادرت السيّارة إيالت الساعة من إيالت إىل املطّلة ملدّة ست ساعات دون توقّف. كم كانت رسعة أمني؟ 90 ّ ت. قاد أمني السيّارة عىل الطريق رقم تعترب السباحة يف بحرية طربيّا أكرب حدث شعبي للسباحة يف إرسائيل، وهي تتم .6 عادة يف أشهر الخريف. كم. 4.2 هناك عدّة مسارات يف بح ّة طربيّا. ويبلغ طول أحد مسارات بح ّة طربيّا دقائق. 6 أنهى أحد السبّاحني سباحة املسار يف ساعتني و دقيقة) 60 = (توجيه: الساعة الواحدةأ. سجّلوا وقت السباحة بالساعات. ب. كم كانت رسعة السبّاح؟ كم 4.2 إيالت المطلّة كم 480 م 504 الخضيرة هرتسليا أبيب ّتل نتانيا حيفا كم 100 كم 30
81 جميع الحقوق محفوظة - يتسحاك شاليڤ وإيتي عوزيري - الرياضيّات للصف العارش - عنقود التمكّن يف املستوى والفراغ - مينع النسخ دون إذن خطّي من املؤلّفني © م 20 . أقام جريس ويوسف وتامر يف فندق. يوجد يف الفندق ح ّم سباحة عىل شكل دائرة بقطر 27 ،B عىل محيط الربكة، ويوسف عند النقطة A (انظروا الصورة أ). يتواجد جريس عند النقطة (انظروا الصورة «ب»). C وتامر عند النقطة زاوية قامئة). A مثلّث قائم الزاوية (الزاوية ∆ABC هو قطر ح ّم السباحة. املثلّث BC .C إىل A م. سبح جريس إىل تامر من النقطة 16 املسافة بني جريس ويوسف أ. ما املسافة الّتي سبحها جريس؟ ثوانٍ. كم كانت رسعته؟ 10 يف C إىل A ب. سبح جريس من .C إىل النقطة B ت. خرج يوسف من ح ّم السباحة ومىش عىل طول حافّة ح ّم السباحة من النقطة ما املسافة الّتي قطعها يوسف؟ . يتكوّن مضامر الجري من ثالثة جوانب ملستطيل ونصف دائرة 28 م. 250 ، م 200 (انظروا الرسم). أطوال أضالع املستطيل أ. ما هو طول املسار؟ م، 50 ب. إذا أطلنا الضلع الطويل للمستطيل األصيل مبقدار بكم مرت سيزيد طول املسار؟ م، فكم مرتًا سيقل طول املسار؟ 20 ت. إذا صغّرنا الضلع القصري من املستطيل األصيل مبقدار من طوله، فبكم مرت وبأي نسبة 10% ث. إذا أطلنا كل ضلع من أضالع املستطيل األصيل بنسبة سيزداد طول املسار؟ . يتكوّن مسار الجري من ثالثة أضالع ملستطيل ونصف دائرة (انظروا الرسم). 29 م. 350 ، م 300 أطوال أضالع املستطيل أ. جدوا طول مسار الجري. .10% ب. صغّروا طول الضلع القصري من املستطيل األصيل بنسبة بكم مرت سيتم تقليل محيط املسار؟ دقيقة. 42 ت. دار داؤود حول املسار القصري ثالث مرّات ملدّة ما هي رسعته (بوحدات م/ث)؟ (توجيه: سجّلوا الوقت بالثواين.) ث. يدور وليد حول املسار برسعة ثابتة. الوقت الّذي دار فيه حول املسار مرّة واحدة قبل أن نق ّه، ثانية أطول من الوقت الّذي دار حوله بعد تقصريه. 47.6 (م/ث) لرسعة وليد الثابتة. x أشريوا بـ تقصريه.قبل عن الوقت الّذي دار فيه وليد حول املسار مرّة واحدة x ) ع ّوا بواسطة 1( تقصريه.بعد عن الوقت الّذي دار فيه وليد حول املسار مرّة واحدة x ) ع ّوا بواسطة 2( اكتبوا معادلة مناسبة وجدوا رسعة وليد الثابتة. )3( م 300 م 350 م 250 م 200 B C A ب م 20 أ
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=