מתמטיקה יצחק שלו & אתי עוזרי י׳ מוכנות לכיתה יח״ל 4-5 רמת (כולל הכנה למבחן מפמ״ר לכיתה ט')
בספר המודפס יש 164 עמודים. כאן מוצגת הגרסה המקוצרת של הספר לצורך התרשמות ובה עמודים בודדים מהספר .
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2022 © 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-61 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-79-6 : מסת״ב mathstar@bezeqint.net אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
י׳ מוכנות לכיתה מתמטיקה יצחק שלו & אתי עוזרי (כולל הכנה למבחן מפמ״ר לכיתה ט') יח״ל 4-5 רמת
הקדמה יח״ל במתמטיקה. החוברת מתאימה לתוכנית 4-5 חוברת זו מיועדת לתלמידים העולים לכיתה י׳ לרמת הלימודים של משרד החינוך לכיתה ט׳. הכנה וגם עבודת קיץ בסיום כיתה ט׳, ,הכנה לקראת מבחני המפמ״ר שבסוף כיתה ט׳היא יכולה לשמש לקראת כיתה י׳. חוברת זו ייחודית, שכן: . א היא מכילה את הנושאים הנדרשים ללימודי המתמטיקה בחטיבה העליונה. . ב יש בה הסברים בהירים וידידותיים בליווי דוגמאות פתורות. . ג נושאי הלימוד כתובים בצורה המאפשרת לתלמידים לחזור על החומר ולתרגל אותו בצורה עצמאית. . ד ניתן לרשום את הפתרונות בתוך החוברת, וכך לשמור את כל החומר שנלמד ולחזור עליו. . ה מבחנים בסדר קושי עולה, המאפשר לילדים לבדוק את ידיעותיהם. 10 בסוף החוברת יש מקבץ של בסוף שנת הלימודים של כיתה ט׳, כהכנה למבחני המפמ״ר ו/או למבחני אנו ממליצים לתלמידים לתרגל בחוברת .במהלך חופשת הקיץ, כהכנה מצוינת ללימודי המתמטיקה בחטיבה העליונה, וגם סיום שנת הלימודים תודתנו נתונה לניצה פיינרו וטלי רואש שעברו על החוברת, העירו והאירו. תקוותנו שחוברת זו תסייע למורים בעבודתם ותוביל את התלמידים להצלחה בלימודי המתמטיקה. יצחק שלו & אתי עוזרי להתרשמות גרסה
תוכן העניינים אלגברה 1................................................................................................................................. חזקות ושורשים 7............................................................................................................................... טכניקה אלגברית 13. .............................................................................................. משוואות ואי-שוויונות ממעלה ראשונה 19. ................................................................................. ) משוואות ואי-שוויונות ממעלה שנייה (ריבועיות 24. ............................................................................................................................. שאלות מילוליות 31. ........................................................................................................................... הפונקציה הקווית 36. ........................................................................................................................ הפונקציה הריבועית 42. .............................................................................................................. גרפים של פונקציות כלליות 46. .................................................................................................................................. סטטיסטיקה 51. ....................................................................................................................................... הסתברות גיאומטריה במישור 55. ...................................................................................................................... ארגז הכלים המצטבר 58. ........................................................................................ משולש שווה-שוקיים ומשולש שווה-צלעות 63. ............................................................................................................................................ דלתון 66. .............................................................................................................................. ישרים מקבילים 69. ............................................................................................................................................. טרפז 73. ........................................................................................................................................ מקבילית 77. ............................................................................................................................................. מלבן 81. ............................................................................................................................................. מעוין 85. ............................................................................................................................................. ריבוע 89. ............................................................................................................................ מרובעים - סיכום 91. ....................................................................................................................................... משולשים 97. ..................................................................................................................... קטע אמצעים במשולש 100....................................................................................................................... קטע אמצעים בטרפז להתרשמות גרסה
גיאומטריה במרחב 104. ....................................................................................................... שימושי משפט פיתגורס במרחב (תיבה, קובייה, מנסרה משולשת ישרה, גליל) 109. ........................................................................................................................................ תשובות מבדקים 115. ............................................................................................................................... 1 מבדק מספר 119. ............................................................................................................................... 2 מבדק מספר 123. ............................................................................................................................... 3 מבדק מספר 128. ............................................................................................................................... 4 מבדק מספר 133. ............................................................................................................................... 5 מבדק מספר 138. ............................................................................................................................... 6 מבדק מספר 143. ............................................................................................................................... 7 מבדק מספר 148. ............................................................................................................................... 8 מבדק מספר 153. ............................................................................................................................... 9 מבדק מספר 159. ............................................................................................................................. 10 מבדק מספר להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 1 חזקות ושורשים y .an = a · a · a · ... · a , ומשמעותו: an יירשם בצורת n בחזקה a המספר ✔ נקרא "בסיס החזקה", והוא מספר כלשהו. a ✔ נקרא "מעריך החזקה", והוא מספר טבעי (חיובי ושלם). n (–9)4 = (–9) · (–9) · (–9) · (–9) , 73 = 7 · 7 · 7 דוגמאות: y .חיובי, ערך החזקה הוא a > 0 הוא מספר חיובי, an כאשר בסיס החזקה 43 = 64 , 52 = 25 דוגמאות: y במעריך: תלוי, ערך החזקה a < 0 הוא מספר שלילי, an כאשר בסיס החזקה ✔ חיובית. an הוא מספר זוגי, החזקה n כאשר המעריך ✔ שלילית. an הוא מספר אי–זוגי, החזקה n כאשר המעריך דוגמאות: , כלומר מספר זוגי. 6 הוא חיובי, כי המעריך הוא (–10)6 ערך הביטוי , כלומר מספר אי–זוגי. 7 הוא שלילי, כי המעריך הוא (–10)7 ערך הביטוי y a , ערך החזקה הוא n = 1 , כלומר 1 הוא an כאשר מעריך החזקה .a1 = a שווה למספר עצמו): 1 (כל מספר בחזקת ( ) = = = – – , (–6) – 6 , 8 8 3 4 3 4 1 1 1 דוגמאות: y .0n = 0 , ערך החזקה הוא אפס: a = 0 , הוא אפס an כאשר בסיס החזקה 013 = 0 , 06 = 0 , 04 = 0 דוגמאות: y פעולה בסוגריים קודמת לפעולות אחרות. בהיעדר סוגריים פעולת החזקה קודמת לפעולות הכפל והחילוק, ואלה קודמות לפעולות החיבור והחיסור. 43 : 23 + 5 · 32 = 64 : 8 + 5 · 9 = 8 + 45 = 53 דוגמה: כללי חזקות y 63 · 64 = 63 + 4 = 67 דוגמה: ,) טבעיים k ו – n( an · ak = an + k y = = 5 5 5 5 7 2 7–2 5 דוגמה: ,( טבעיים k ו – n , n > k , a ≠ 0( =a a a n k n–k y (34) 8 = 34 · 8 = 332 דוגמה: ,) טבעיים k ו – n( (an)k = ak · n = an · k y (3·7)5 = 35 · 75 דוגמה: ,( טבעי n( (a · b)n = an · bn y ( ) = 4 5 4 5 2 2 2 דוגמה: ,) טבעי n , b ≠ 0( ( ) = a b a b n n n y (–2)0 = 1 דוגמה: אינו מוגדר, 00 (a ≠ 0) a0 = 1 פעמים n ( – ) אי–זוגי = – , ( – ) זוגי = + להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 2 y = (–3) 1 (–3) –4 4 דוגמה: ,) טבעי n , a ≠ 0( = a 1 a –n n y =3 1 3–5 5 דוגמה: ,) טבעי n , a ≠ 0( =a 1 a– n n y 2 3 3 2 4 4 ( ) ( ) = − דוגמה: ,) טבעי n , b ≠ 0 , a ≠ 0( ( ) ( ) = − a b b a n n y הערה: כללי החזקות עבור מעריכים טבעיים תקפים גם עבור כל המעריכים השלמים. כתיבה מדעית y .10 ) כפול חזקה של 10 (לא כולל 10 ל– 1 בכתיב מדעי המספר נכתב כמספר בין ✔ מספר טבעי. n – ו 1 ≤ a < 10 , a · 10n נוהגים לרשום מספר גדול בכתיב מדעי כך: .א 54,689,328 = 5.4689328 · 107 ≈ 5.47 · 107 דוגמאות: .ב 10,000 = 104 ✔ מספר טבעי. n ו – 1 ≤ a < 10 , a · 10–n נוהגים לרשום מספר קטן בכתיב מדעי כך: .ג 0 000017 1 7 10 0 000017 1 7 10 17 1 000 000 17 10 1 7 10 6 5 5 . . . . , , . = = = = ⋅ = ⋅ − −5 דוגמה: שורשים ריבועיים • (תזכורת) הגדרה ✔ .b2 = a הוא תמיד מספר אי–שלילי המקיים = b a שאינו שלילי, a לכל מספר דוגמאות: . א .6 הוא 36 כלומר: השורש הריבועי של .6 ≥ 0 ו – 62 = 36 , כי = 36 6 . ב .0 הוא 0 . כלומר: השורש הריבועי של 02 = 0 , כי = 0 0 ✔ שורש ריבועי של מספר שלילי לא מוגדר במספרים הממשיים. y .a לכל = a a 2 y לגבי שורשים מתקיימים הכללים הבאים: ✔ (a ≥ 0 , b ≥ 0) a b a b > = ⋅ ✔ (a ≥ 0 , b > 0) = a b a b ✔ .b > 0 ו – a > 0 לכל a b a b a b a b a b a b 2 2 + ≠ + − ≠ − + ≠ + , , שימו לב! ✔ a a k k ( ) = טבעי מתקיים הכלל: k – ו a ≥ 0 עבור 5 הזזות או להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 3 תרגילים )109 (התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' חזקות 1 . חשבו. 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16 .א (–3)4 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = 81 .ח 53 = .ב (–4)3 = .ט 16 = .ג 1 3 3 ( ) − = .י 1 3 3 ( ) = .ד –(–5)2 = .יא 2 3 2 ( ) = .ה –26 = .יב (1.5)2 = .ו 3 4 3 ( ) − = .יג (0.1)3 = .ז –(–82) = .יד 2 . השלימו את מעריך החזקה / בסיס החזקה כדי שיתקיים שוויון. 2 16 4 = .א − = ( 5) 125 .ד ± = 8 64 2 .ז 1 7 = − .י 3 27 = .ב − ( ) = 1 3 1 81 .ה 1000 3 = .ח 1 81 4 = − .יא ( 2) 32 − = − .ג ( ) − = − 2 3 4 9 .ו 4 2 = − .ט = 16 25 2 .יב 3 . חשבו. 20 + 62 = 20 + 36 = 56 .א 10 – 25 = .ב 5 ∙ (–3)2 = .ג (–7)2 – 23 = .ד 102 : (–52) = .ה 2 ∙ 53 – 82 : 23 = 2 ∙ 125 – 64 : 8 = 250 – 8 = 242 .ו 43 : 24 + 3 ∙ 25 = .ז (–3)3 ∙ 2 – 102 : 22 = .ח להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 4 48 : ( 2) 1 3 4 2 ( ) − ⋅ − = = .ט –3 ∙ (–5)2 – (34 – 5 ∙ 12) = –3 ∙ 25 – (81 – 60) = –75 – 21 = –96 .י –(–17) ∙ 2 – (53 – 4 ∙ 15) = .יא 30−5⋅ 3⋅ 1 4+ − 1 2 ( ) 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥= = .יב –3 ∙ [2 ∙ (–32) + 32 : 23] = .יג –52 ∙ 4 – [8 – 3 · (12 – (–4)2)] = .יד 4 . חשבו. 5 + 70 = .א ( 2) ( 6) 3 0 − ⋅ − = .ג ( 1) 4 6 − − = .ה –8 ∙ (–4)0 = .ב 9 ∙ 3–3 = .ד 5 ( 10) 2 − − = .ו 5 . .( x , y , a , b ≠ 0) פשטו את הביטויים הבאים 2 2 2 2 5 6 4 3 ⋅ ⋅ = .א 3 x x 9 x x 2 8 4 9 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − = .ז 3 4 3 4 15 20 7 8 ⋅ ⋅ − − − = .ב 20a b 4 a b 5 3 2 7 ⋅ − ⋅ ⋅ − − − − = .ח ⋅ ⋅ − − 5 (5 ) (5 ) (5 ) 30 3 6 2 3 4 5 = .ג 12 (a ) (a ) 2 (a ) a 3 2 6 0 4 3 6 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − − = .ט (7 ) (3 ) (7 ) (3 ) 4 0 8 1 2 6 5 2 ⋅ ⋅ − − − − − = .ד ⋅ ⋅ ⋅ − − − (x y ) (x ) (x ) (y ) 3 4 2 2 5 0 3 1 8 = .י ⋅ ( ) ⋅ − (2 3) 2 3 5 3 = .ה ( ) ( ) ⋅ − − a b b a 3 2 5 3 2 4 = .יא (3 5) (5 ) (3 5) 6 4 0 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ − − − − = .ו ( ) ( ) ⋅ − − − − x y y x 2 3 5 6 4 3 = .יב להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 5 6 . רשמו בכתיב חזקות. 2 32 16 (2 ) (2 ) 2 2 4 3 5 4 4 3 20 12 8 = = = .א 125 25 2 3 − − = .ג 81 27 3 4 − = .ב 16 8 32 5 9 2 ⋅ − − = .ד 87 ∙ 12–9 ∙ 27–3 = .ה 32 125 50 2 3 6 ⋅ = − − = .ו 7 . במשוואות הבאות. n מצאו את הערך של 2n = 8 .א 5n = 254 .ג 81 = 3n .ב 6n = 363 .ד 8 . מצאו איזה מספר גדול יותר. 274 או 97 .א 1 16 4 ( ) או 1 8 10 ( ) .ד 259 או 1255 .ב 4 9 7 ( ) או 8 27 4 ( ) .ה 250 או 340 .ג 1 81 2 ( )− או 1 9 3 ( )− .ו 9 . רשמו את המספרים הבאים בכתיב מדעי. 46257 = 4.6257 · 104 .א 0.0048 = 0.0048 = 4.8 · 10–3 .ה 8000 = .ב 0.0006 = .ו 52000 = .ג 0.352 = .ז 3179000 = .ד 0.000075 = .ח להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 6 1 0. רשמו בכתיב מדעי. 5 · 104 · 6 = .א 9 10 3 10 6 2 ⋅ ⋅ = − = ג. 4 ∙ 10–6 · 3 ∙ 10–5 = .ב 1.6 10 5 10 40 10 4 6 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − = ד. 1 1. .= או < , > איזה מספר גדול יותר? השלימו 2 ∙ 10–5 19 ∙ 10–6 ג. 100 ∙ 104 106 ב. 39 · 107 4 · 108 א. שורשים ריבועיים 1 2. חשבו ללא מחשבון. 36 − = .א 2 25 = .ה 9 100 = .ט 16 − − = .ב 21: 49 = .ו 60 15 = .י 0 = .ג 4 81 ⋅ = .ז 61 4 = .יא 0.36 − = .ד 12 3 ⋅ = .ח 27 9 = .יב − 3 16 100 5 = .יג 20 3 64 4 ( 2)2 − − ⋅ − = .יד 8 ( 3) 4 ( 2) 40 2 3 ⋅ − − ⋅ − − = .טו 1 3. .= , < , > בלי להיעזר במחשבון רשמו 5 4 7 2 ג. 2 3 3 2 ב. 4 2 32 א.
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 19 משוואות ואי–שוויונות ממעלה שנייה (ריבועיות) y ,(a ≠ 0) ax2 + bx + c = 0 , יש להביא אותן לצורה הסטנדרטית משוואות ריבועיותכדי לפתור . = − ± − x b b 2 4ac 2a 1,2 ואז לפתור אותן באמצעות נוסחת השורשים: ניתן לפתור חלק מהמשוואות גם באמצעות אחת השיטות לפירוק לגורמים. ✔ לפישוט המשוואה ולהבאתה לצורה כללית זו יש להשתמש בכללי הפישוט ובכינוס איברים. ✔ אם המשוואה כוללת נעלם במכנה, יש לציין לפני פתרון המשוואה את תחום ההצבה, או לחלופין לפתור את המשוואה ולוודא שהתוצאה לא מאפסת שום מכנה במשוואה המקורית. ✔ ניתן לפתור משוואה ריבועית (במיוחד משוואות ריבועיות חסרות) בדרכים קצרות יותר, ללא שימוש בנוסחת השורשים. y היא מערכת משוואות הכוללת שני נעלמים, ובסופו של דבר מערכת משוואות עם שני נעלמים ממעלה שנייה מוביל פתרונה לפתרון משוואה ריבועית עם נעלם אחד. y ניתן לבצע אותן פעולות כמו בפתרון אי–שוויונות ממעלה שנייהבדומה לאי–שוויון ממעלה ראשונה, גם ב משוואות – אך בהבדל אחד: אם כופלים או מחלקים את שני אגפי האי–שוויון במספר שלילי, יש להפוך את הכיוון של סימן האי–שוויון. תרגילים )110 (התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' משוואות ריבועיות דוגמאות פתורות פתרו את המשוואות הבאות. x2 – 36 = 0 א. .x2 נבודד את x2 = 36 x = ±6 x2 – 7x = 0 ב. נוציא את הגורם המשותף. x(x – 7) = 0 x = 0 או x – 7 = 0 x = 7 x2 – 3x – 10 = 0 ג. נקבע את המקדמים. a = 1 , b = –3 , c = –10 ניתן לפתור גם באמצעות פירוק לגורמים של טרינום. X1 2 2 3 3 4 1 10 2 1 3 7 2 5 3 7 2 3 7 2 2 , ( ) ( ) = ± − − ⋅ ⋅ − ⋅ + = = ± − = − להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 20 1 . פתרו את המשוואות הבאות. א. 3x2 – 75 = 0 ב. 5x2 + 60x = 0 ג. x3 – x2 – 12x = 0 ד. (1 + x)2 – (5 + 2x)(2x – 5) = 2(13 + x) ה. (3x – 1)2 + (2x – 3)(2x + 3) = 3x2 – 5x – 6 ו. (x + 5)3 = x(x2 – 3x) + 75x + 143 ז. 1 4 4 1 2 8 1 4 2 2 3 x x x x x − + − − = − ח. x x x x x + − + + + − + = 4 2 2 9 2 1 18 3 3 2 2 0 ט. 6 4 3 10 3 2 6 5 6 2 2 2 x x x x x x x x + + − + + + = + + + להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 21 מערכת משוואות 2 . פתרו את מערכות המשוואות הבאות. א. y=−2x−2 y=x2+2x+2 ⎧ ⎨ ⎩ ב. y=2x2 – 6x+9 y=x2 +2x – 6 ⎧ ⎨ ⎩⎪ ג. y=6x2 – x+3 y+x2 =4x –12 ⎧ ⎨ ⎩⎪ דוגמה פתורה פתרו את מערכת המשוואות הבאה. 2y+x=9 y=−3x2+4x+12 ⎧ ⎨ ⎩ פתרון: .y במקום הערך של –3x2 + 4x + 12 ניעזר בשיטת ההצבה, ונציב במשוואה הראשונה את הביטוי 2(–3x2 + 4x + 12) + x = 9 ⇒ –6x2 + 8x + 24 + x – 9 = 0 ⇒ –6x2 + 9x + 15 = 0 .2x2 – 3x – 5 = 0 , ונקבל (–3) נחלק את המשוואה ב - 2x2 – 3x – 5 = 0 ⇒ x 1 = 2.5 , x2 = –1 x1 = 2.5 ⇒ y1 = –3·2.52 + 4·2.5 + 12 = 3.25 x2 = –1 ⇒ y2 = –3·(–1) 2 + 4·(–1) + 12 = 5 (–1 , 5) , (2.5 , 3.25) תשובה: להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 36 הפונקציה הריבועית y או פונקציה ממעלה שנייה, נקראת (a ≠ 0) y = ax2 + bx + c כל פונקציה, הנתונה באמצעות הנוסחה , והגרף שלה הוא פרבולה. פונקציה ריבועית y ,(a ≠ 0) y = ax2 + bx + c כל פונקציה ריבועית ניתן להציג בצורה הסטנדרטית ; אך לא ניתן להציג כל פונקציה ריבועית בצורת המכפלה (a ≠ 0) y = a (x – p)2 + k ובצורה הקדקודית , מכיוון שיש פונקציות ריבועיות, שלגרף שלהן אין נקודות אפס. (a ≠ 0) y = a (x – t) (x – r) y בהצגות הסטנדרטית, הקדקודית והכפלית של אותה פונקציה ריבועית הוא זהה. a המקדם , לפרבולה יש נקודת מינימום. a > 0 אם , לפרבולה יש נקודת מקסימום. a < 0 אם y :(a ≠ 0) y = a (x – p)2 + k בייצוג הקדקודי ✔ .x = p ציר הסימטריה הוא ✔ .(p , k) שיעורי נקודת הקדקוד היתרון של הייצוג הקדקודי הוא שבאמצעותו ניתן לזהות את ציר הסימטריה, את הקדקוד ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. y :(a ≠ 0) y = ax2 + bx + c בייצוג הסטנדרטי ✔ x=– b 2a ציר הסימטריה הוא ✔ שיעורי נקודת הקדקוד: x קדקוד = x – b 2a y קדקוד = בייצוג האלגברי x קדקוד מציבים את ✔ .(0 , c) היא y נקודת החיתוך עם ציר ה - .y היתרון של הייצוג הסטנדרטי הוא שבאמצעותו ניתן לזהות את נקודת החיתוך עם ציר ה- y :(a ≠ 0) y = a (x – t) (x – r) בייצוג כמכפלה ✔ .(t , 0) ו - (r , 0) נקודות האפס הן ✔ . x= r+t 2 ציר הסימטריה הוא ✔ .x קדקוד = r+t 2 של הקדקוד הוא x שיעור ה - היתרון של הייצוג כמכפלה הוא שבאמצעותו ניתן לזהות את נקודות האפס ואת תחומי החיוביות והשליליות. להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 37 y מעבר בין הייצוגים השונים של הפונקציה הריבועית. ✔ לייצוג סטנדרטי. פתיחת סוגריים וכינוס איברים מייצוג קדקודי ✔ לייצוג קדקודי. השלמה לריבוע או שיעורי הקדקוד מייצוג סטנדרטי ✔ לייצוג סטנדרטי. פתיחת סוגריים וכינוס איברים מייצוג כמכפלה ✔ לייצוג כמכפלה (כאשר זה אפשרי). פירוק לגורמים מייצוג סטנדרטי ✔ לייצוג קדקודי. נקודות אפס מייצוג כמכפלה ✔ לייצוג כמכפלה (כאשר זה אפשרי). נקודות אפס מייצוג קדקודי y נקודות החיתוך של שתי פרבולות, או של פרבולה וקו ישר, היא פתרון מערכת המשוואות של שתי הפונקציות הללו. תרגילים )111–112 (התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' דוגמה פתורה .f(x) = –x + 4 ו– g(x) = x2 – 8x + 10 בציור מתוארים הגרפים של הפונקציות . א התאימו לכל פונקציה את הגרף שלה. . ב (קדקוד הפרבולה). M , B , A מצאו את שיעורי הנקודות . ג מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפרבולה. . ד מצאו את משוואת ציר הסימטריה של הפרבולה. . ה .f(x) > g(x) מצאו את התחום שבו פתרון: היא ריבועית, ולכן הגרף שלה הוא פרבולה. g(x) = x2 – 8x + 10 הפונקציה � א. .AB היא קווית ומתאימה לישר f(x) = –x + 4 הפונקציה � הן נקודות החיתוך של הפרבולה והקו הישר, ולכן נפתור את מערכת המשוואות הבאה. B ו– A � ב. y = x2 – 8x + 10 y = – x + 4 ⎧ ⎨ ⎩ ⇒ x2 – 8x + 10 = –x + 4 ⇒ x2 – 7x + 6 = 0 ⇒ x = 1 , x = 6 x = 1 ⇒ y = –x + 4 ⇒ y = –1 + 4 = 3 ⇒ A(1 , 3) x = 6 ⇒ y = –x + 4 ⇒ y = –6 + 4 = –2 ⇒ B(6 , –2) x y A B M להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 38 1 . .y = x2 – 10x + 21 נתונה הפונקציה . א (קדקוד הפרבולה). M , C , B , A מצאו את שיעורי הנקודות . ב מצאו את משוואת ציר הסימטריה של הפונקציה. . ג מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. . ד מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה. . ה מצאו את הייצוג כמכפלה והייצוג הקדקודי של הפונקציה. 2 . .y = –(x + 1)(x + 6) נתונה פרבולה שמשוואתה .B ו– A חותך את הפרבולה בשתי נקודות y = 4 הישר . א (קדקוד הפרבולה). T , D , C , B , A מצאו את שיעורי הנקודות . ב .ΔTAB מצאו את שטח המשולש x y A C B M x y A D B C T היא קדקוד הפרבולה. M הנקודה � x קדקוד =− = − −⋅ = b 2a 8 2 1 4 y קדקוד = 42 – 8 ∙ 4 + 10 = 16 – 32 + 10 = –6 ⇒ M(4 , –6) . ג .x < 4 , תחום הירידה: x > 4 תחום העלייה: . ד .x = 4 משוואת ציר הסימטריה היא . ה .1 < x < 6 הוא התחום, שבו הקו הישר נמצא מעל הפרבולה, כלומר f(x) > g(x) התחום שבו להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 39 . ג .ABCD מצאו את שטח הטרפז . ד מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפרבולה. . ה מצאו את התחום שבו הפרבולה חיובית ועולה. ו . מצאו את הייצוג הסטנדרטי והייצוג הקדקודי של הפרבולה. 3 . .g(x) = –2x – 1 ו– f(x) = x2 – 4 נתונות הפונקציות . א מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפרבולה והישר. . ב מצאו את שיעורי נקודת הקדקוד של הפרבולה. . ג .f(x) > g(x) מצאו את התחום שבו . ד נמצאת על הפרבולה? הסבירו. (3 , 6) האם הנקודה . ה .f(x) < 0 מצאו את התחום שבו ו . .g(x) > 0 מצאו את התחום שבו . ז .f(x) ∙ g(x) > 0 מצאו את התחום שבו . ח מצאו את משוואת הישר, העובר דרך קדקוד הפרבולה ומקביל לישר הנתון. x y להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 51 הסתברות y היא מספר הפעמים שפריט מסוים מופיע בקבוצה. שכיחות .2 היא c , השכיחות של 1 היא b , השכיחות של 3 היא a השכיחות של .a,a,a,b,c,c למשל: נתונה הקבוצה y . השכיחות של הערך סכום כל השכיחויות = של ערך מסוים שכיחות יחסית . 3 1 = 6 2 היא a בדוגמה הקודמת השכיחות היחסית של y .0 והסתברותה תוצאה בלתי אפשרית, תוצאה, שהתממשותה בלתי אפשרית, נקראת .7 למשל: בהטלת קובייה הוגנת, ההסתברות לקבל את המספר y .1 והסתברותה תוצאה ודאית, תוצאה, שהתממשותה ודאית, נקראת (כולל). 6 ל- 1 למשל: בהטלת קובייה הוגנת, ההסתברות לקבל מספר שלם בין y .1 ל- 0 והסתברותה בין תוצאה אפשרית, תוצאה, שהתממשותה אפשרית, אך לא ודאית, נקראת . 1 6 , והסתברותה 4 למשל: בהטלת קובייה הוגנת, תוצאה אפשרית היא לקבל את המספר y תוצאות אפשריות, כאשר לכל אחת מהתוצאות יש אותה הסתברות להתקבל, n אם ניסוי מורכב מסך-הכול ), היא: n תוצאות אפשריות (מתוך k שיתקבל מאורע, המורכב מ - ההסתברותאזי p (מאורע) =k n p (מאורע) = סך-כל מספר התוצאות האפשריות של המאורע סך-כל מספר התוצאות האפשריות של הניסוי , שפירושה הסתברות. probability משמשת לסימון ההסתברות. מקורה במילה האנגלית P האות y ניתן להשיג ביצועים דו-שלביים באמצעות שלושה מודלים: . א מודל הטבלה המורחבת, שבה יש פירוט של כל התוצאות האפשריות בניסוי. . ב מודל הטבלה המצומצמת - טבלה במודל של השטח. . ג מודל של דיאגרמת העץ, שבה: y לקווים המרכיבים את הדיאגרמה קוראים ענפי עץ. y ענפים. 2 כל מסלול מורכב מ - y .1 בכל פיצול סכום ההסתברויות שליד הענפים הוא y כופלים את ההסתברויות הרשומות לאורך המסלול. y כאשר מצרפים מסלולים, מחברים את ההסתברויות של המסלולים. מסלול פיצול להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 52 תרגילים )113 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 1 . בכיתה נערך מבחן. התקבלה התפלגות הציונים הבאה. הציון 9 8 7 6 10 מספר התלמידים 6 7 3 5 4 . א מהו הממוצע? . ב מהו החציון? . ג מהו השכיח? בוחרים באקראי תלמיד אחד בכיתה. מה ההסתברות: . ד ?8 שציונו גבוה מ- . P= 13 25 , לכן 25 , מספר התלמידים בכיתה הוא (6 + 7) 13 הוא 8 מספר התלמידים שציונם גבוה מ- . ה שציונו נמוך מהממוצע? ו . ?7 שציונו גבוה מ- . ז ?9 או 7 שציונו . ח (כולל)? 9 ל- 6 שציונו בין . ט ?7 מהי השכיחות היחסית של הציון 2 . .6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 מטילים קובייה שעל דופנותיה רשומים המספרים: .I . א מה ההסתברות לקבל מספר זוגי? . P= = 3 6 1 2 . לכן 6 מתוך 3 , כלומר 6 , 4 , 2 המספרים הזוגיים הם . ב ?5 מה ההסתברות לקבל מספר קטן מ- . ג ?3 מה ההסתברות לקבל מספר שמתחלק ב- y זה בזה, אם הידיעה על התרחשות האחד משנה את ההסתברות תלוייםהגדרה: שני מאורעות להתרחשות האחר. ✔ במאורעות תלויים התוצאה בשלב השני תלויה בתוצאה של השלב הראשון. y כאשר נוסף מידע רלוונטי, תוספת המידע יכולה לשנות את ההסתברות. ✔ מילות המפתח בחישוב הסתברות, כאשר נוסף מידע, הן בדרך כלל: אם ידוע, אם, בהינתן, בתנאי, נתון. הערה: בהסתברות מותנית ניתן לפתור תרגילים באמצעות שלושת המודלים: מודל הטבלה המורחבת, מודל הטבלה המצומצמת (מודל השטח) ומודל דיאגרמת העץ. להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 58 משולש שווה-שוקיים ומשולש שווה-צלעות • .AB = AC - משולש ששתיים מצלעותיו שוות: משולש שווה-שוקיים הגדרה: ✔ .AC ו- AB שוקיים - הצלעות השוות של המשולש: ✔ .BC בסיס - הצלע הנוספת: ✔ .C ו- B זוויות הבסיס - שתי הזוויות שליד הבסיס: ✔ .A זווית הראש - הזווית שבין השוקיים: משפטים המציגים תכונות של משולש שווה-שוקיים משפטים המאפשרים לזהות משולש שווה-שוקיים ✔ במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות. ✔ במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס, הגובה לבסיס וחוצה זווית הראש מתלכדים. ✔ אם במשולש שתי זוויות שוות, אזי המשולש שווה-שוקיים. ✔ אם במשולש התיכון והגובה מתלכדים, אזי המשולש שווה-שוקיים. ✔ אם במשולש חוצה הזווית והגובה מתלכדים, אזי המשולש שווה-שוקיים. ✔ אם במשולש התיכון וחוצה הזווית מתלכדים, אזי המשולש שווה-שוקיים. y .AB = AC = BC - משולש שכל צלעותיו שוות: הגדרה: משולש שווה-צלעות √ .∢A = ∢B = ∢C = 60° :60° במשולש שווה-צלעות כל זווית שווה ל- √ , הוא משולש שווה-צלעות. 60° משולש, שכל אחת מזוויותיו בת √ במשולש שווה-צלעות חוצה כל זווית במשולש הוא גם גובה לצלע שמול הזווית וגם תיכון לצלע שמול הזווית. בסיס זוויות הבסיס זווית הראש A B C שוק שוק תרגילים )113 בעמ' –(התשובות לתרגילים בפרק זה להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 59 דוגמה פתורה .BC תיכון לבסיס AE .(AB = AC) הוא שווה-שוקיים ∆ABC המשולש הוא שווה-שוקיים. ∆BTC הוכיחו: המשולש הוכחה: דרך א' , נתון BE = CE צ. התיכון ∆ABC , במשולש שווה-שוקיים ∢E1 = ∢E2 = 90° ז. לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים. , צלע משותפת TE = TE צ. ⇓ , לפי משפט החפיפה צ.ז.צ. ∆TBE ≅ ∆TCE , במשולשים חופפים הצלעות שוות בהתאמה. TB = TC ⇓ הוא שווה-שוקיים. ∆BTC מש״ל דרך ב' , נתון BE = CE התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים. ∆ABC , במשולש שווה-שוקיים ∢E1 = ∢E2 = 90° ⇓ הוא שווה-שוקיים, כי אם במשולש התיכון והגובה מתלכדים, אזי המשולש הוא שווה-שוקיים. ∆BTC מש"ל A T C B E 1 2 1 . .(EC = EB , AB = AC) הם שווי-שוקיים ∆BEC ו- ∆ABC המשולשים .AB היא אמצע הקטע T . הנקודה AC היא אמצע הקטע K הנקודה .ET = EK הוכיחו: B C A K T E להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 97 קטע אמצעים במשולש תרגילים )114 בעמ' ‒(התשובות לתרגילים בפרק זה דוגמה פתורה נתון: ∆ABC במשולש .KO = OE , TO = OC , AT = TB . א הוא מקבילית. TKCE הוכיחו: המרובע . ב .BE = EC הוכיחו: . ג . TE = AC 1 2 ⋅ הוכיחו: הוכחה: . א , נתון TO = OC , נתון KO = OE ⇓ , מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית. מקבילית TKCE B T K O E A C :קטע אמצעים במשולשהגדרה: קטע, המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש, נקרא AE = EC ו - AD = DB ⇓ .DABC קטע אמצעים במשולש DE משפטים המציגים תכונות של קטע אמצעים במשולש משפטים המאפשרים לזהות קטע אמצעים במשולש ✔ קטע, המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. ✔ קטע, המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש, הוא קטע אמצעים במשולש (הגדרה). ✔ אם קטע חותך שתי צלעות של המשולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה, אזי הוא קטע אמצעים במשולש. ✔ קטע, החוצה צלע אחת של המשולש ומקביל לצלע השנייה, חוצה את הצלע השלישית. A D B C E להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 98 . ב , במקבילית הצלעות הנגדיות מקבילות זו לזו. TE ∥ AC , נתון AT = TB ⇓ , קטע, החוצה צלע אחת של המשולש ומקביל BE = EC לצלע השנייה, חוצה את הצלע השלישית. . ג , מסעיף ב'. ∆ABC קטע אמצעים במשולש TE ⇓ , קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. TE = AC 1 2 ⋅ מש"ל B T K O E A C 1 . נתון: ∆ABC במשולש .∢C = 45˚ , BT = ס"מ 6 , DE = ס"מ 5 , AT ⊥ BC .∆ABC קטע אמצעים במשולש DE . א .AT , BC מצאו את אורכי הקטעים . ב , ומצאו את יחס הדמיון. ∆ADE ∼ ∆ABC הוכיחו: . ג .∆ABC מצאו את שטח המשולש 2 . .(AB = AC) הוא שווה-שוקיים ∆ABC המשולש בהתאמה. BC ו- AC , AB הן אמצעי הקטעים E ו- K , T הנקודות . א מעוין. AKET הוכיחו: . ב ? הוכיחו. ∆KEC מה הסוג של המשולש C T B D E A B C E K T A להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 159 10 מבדק מספר אלגברה ופונקציות 1 . פתרו את המשוואות הבאות. . א x x x x + − + − + = 7 5 1 4 23 5 4( 5) . ב x x x x x x x + − + − + − + = 2 7 10 25 4 3 10 2 2 2 . ג 3x 1 3 x + + = . ד 5 1 2 1 4 2 1 x x − − + = 2 . מצאו את ערך הביטויים: b ו- a . מבלי לחשב את ab = 60 , a – b = 7 נתון: a2 – b2 (3) (a + b)2 (2) a2 – 2ab + b2 (1) 3 . פתרו את האי-שוויונות הבאים. . א 1 6 3 15 4 10 − − − + x x x < . ב (4x – 1)(3 – x) < –3(x – 2)2 + 3 4 . פתרו את מערכות המשוואות הבאות. . א x y x y x y x y x y x y + + − + + + − = + − = + 3 2 4 2 6 2 2 5 5 6 4 3 2 . ב xy x y = − + = 10 1 2 7 ( )( ) 5 . .(a ≠ 0 , 1) a a a x x x x 2 2 5 1 8 − − − + = פתרו את המשוואה 6 . חיידקים. 3 ∙ 106 חיידקים, ובמבחנה ב' יש 6 ∙ 104 במבחנה א' יש סמנו את הטענה הנכונה: ( 1) חיידקים יותר ממבחנה ב'. 2 מבחנה א' מכילה פי ( 2) ממספר החיידקים שבמבחנה ב'. 1 2 מבחנה א' מכילה ( 3) ממספר החיידקים שבמבחנה ב'. 1 25 מבחנה א' מכילה ( 4) ממספר החיידקים שבמבחנה ב'. 1 50 מבחנה א' מכילה 7 . פשטו את הביטויים הבאים (רשמו תחילה את תחום ההצבה). . א x x x x x 4 2 5 4 3 4 4 4 − + + . ב x x ax a x a x a x 2 2 2 2 2 2 3 3 4 + − − − + − ⋅ . ג 9 25 5 6 36 9 30 25 2 2 2 2 b b b b b b − − − − + + ⋅ . ד 5 20 20 1 3 3 6 12 8 2 2 2 2 3 3 2 x x x x x x x x x − + + + + − + − + : להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 160 8 . מהמחיר של פיצה אישית. 3 המחיר של פיצה משפחתית בפיצרייה גבוה פי בפיצרייה הכריזו על מבצע: הנחה על קניית פיצה משפחתית. 30% הנחה על קניית פיצה אישית, 20% פיצות במבצע, חלקן אישיות וחלקן משפחתיות. 72 תלמידי כיתה י' קנו ממספר הפיצות האישיות. 3.5 נתון כי מספר הפיצות המשפחתיות היה גדול פי שקלים סך הכול. 3651.2 תלמידי שכבה י' שילמו על הפיצות . א חשבו את המחיר המקורי של פיצה אישית ואת המחיר המקורי של פיצה משפחתית (המחירים שלפני ההנחה). . ב לאחר חודש הכריזו על מבצע אחר: מי שישלם את המחיר המקורי בעבור שתי פיצות אישיות יקבל פיצה אישית שלישית חינם. שקלים (כולל הפיצות שהתקבלו בחינם)? 1120 כמה פיצות אישיות אפשר לקנות במבצע הזה תמורת 9 . ק"מ, יצאו משאית ורוכב אופניים בו זמנית זה לקראת זה. 450 משני מקומות, שהמרחק ביניהם קמ"ש. 25 קמ"ש, ורוכב האופניים במהירות של 75 המשאית נסעה במהירות של המשאית הגיעה ליעדה, ומיד חזרה לנקודת המוצא. המשאית פגשה את רוכב האופניים פעמיים: פעם אחת בדרכה הלוך, ופעם אחת בדרכה חזור. . א כעבור כמה זמן פגשה המשאית את רוכב האופניים בדרכה הלוך? . ב כעבור כמה זמן מהפגישה הראשונה פגשה המשאית את רוכב האופניים בדרכה חזור? 1 0. .f(x) לפניכם גרף הפונקציה . א , שמתקבל מגרף g(x) סרטטו במערכת הצירים את גרף הפונקציה יחידות והזזה אנכית 1 על-ידי הזזה אופקית ימינה ב- f(x) הפונקציה יחידות. 3 למעלה ב- . ב .f(x) באמצעות הפונקציה g(x) רשמו את הייצוג המתאים של הפונקציה . ג על-ידי הזזה אופקית f(x) מתקבל מגרף הפונקציה h(x) גרף הפונקציה יחידות. 5 יחידות והזזה אנכית למטה ב- 3 שמאלה ב- .f(x) באמצעות הפונקציה h(x) רשמו את הייצוג המתאים של הפונקציה 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y x f(x) להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 161 1 1. .g(x) = |f(x)| , ונתונה הפונקציה f(x) נתון גרף הפונקציה . א .g(x) סרטטו במערכת הצירים את גרף הפונקציה . ב ?g(x) מהו הערך המינימלי של הפונקציה . ג ?g(x) מהן נקודות הקיצון של הפונקציה 1 2. . f (x) x = נתון גרף הפונקציה . א . g(x) x = +2 סרטטו במערכת הצירים את גרף הפונקציה . ב . h(x) x = −1 סרטטו במערכת הצירים את גרף הפונקציה . ג יחידות. 5 הוזז אופקית שמאלה ב- f(x) גרף הפונקציה מה הייצוג האלגברי של הפונקציה שהתקבלה? . ד יחידות. 6 הוזז אנכית כלפי מטה ב- f(x) גרף הפונקציה מה הייצוג האלגברי של הפונקציה שהתקבלה? גיאומטריה 1 3. הוא מקבילית. TKLM המרובע .∢TML חוצה את הזווית MA .∢KTM חוצה את הזווית TB . א הוא שווה-שוקיים. ∆TMA הוכיחו: המשולש . ב הוא מעוין. TABM הוכיחו: המרובע . ג הוא מקבילית. AKLB הוכיחו: המרובע . ד .3 : 4 הוא TK ל- TM היחס בין הצלעות ס"מ. 12 הוא TABM , אם ידוע שהיקף המרובע AKLB מצאו את היקף המרובע 1 4. .(∢BCD = 90° , AB ∥ DC) הוא טרפז ישר-זווית ABCD המרובע .AK ⊥ BD , כך שמתקיים BC על המשך הקטע K הנקודה .DC = BK נתון: . א .∢BDC = ∢K הוכיחו: . ב .∆DCB ≅ ∆KBA הוכיחו: .BC = 3 ∙ CK נתון גם: . ג .∆TCK ∼ ∆ABK הוכיחו: . ד . TC AB מצאו את היחס 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y x B L M A T K B A D C E T K להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 162 1 5. .(TK ∥ ML) טרפז TKLM .ML על הקטע C הנקודה .CB = BL , כך שמתקיים CL על הקטע B הנקודה .E עובר דרך הנקודה AB הקטע .∢L1 = ∢L2 , KC ⊥ TL נתון: . א .TE = EL הוכיחו: . ב .∆TKL ∼ ∆LBE הוכיחו: . ג .BE ∥ KL הוכיחו: . ד .S הוא ∆TKL נתון: שטח המשולש .∆LBE את שטח המשולש S הביעו באמצעות 1 6. .a , וזווית b ו - a נתונים שני קטעים, b ו - a סרטטו מקבילית, שצלעותיה .a והזווית ביניהן היא סטטיסטיקה, הסתברות ואוריינות 1 7. פתקים בצבעים צהוב, ירוק ואדום. 30 בקופסה יש מספר הפתקים הירוקים שווה למספר הפתקים האדומים. מוציאים באקראי פתק אחד, משאירים אותו בחוץ, ומוציאים פתק נוסף. . 22 145 פתקים אדומים היא 2 ההסתברות להוציא . א כמה פתקים מכל צבע יש בקופסה? . ב פתקים צהובים? 2 מה ההסתברות להוציא . ג מה ההסתברות להוציא פתק אחד צהוב ופתק אחר ירוק? 1 8. כדורים שחורים. x כדורים אדומים ו- 6 בארגז יש בוחרים באקראי כדור. אם הוא אדום, משאירים אותו בחוץ, ואם הוא שחור, מחזירים אותו לארגז. .0.64 בוחרים באקראי כדור נוסף. ההסתברות ששני הכדורים שחורים היא . א מצאו את מספר הכדורים השחורים בארגז. . ב מה ההסתברות להוציא כדור שחור בפעם השנייה, אם ידוע כי בפעם הראשונה הוצא כדור אדום? A T K B C M L E 1 2 a b a להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 163 1 9. קבוצת חברים מתכננת טיול. דיאגרמת העיגול שלפניכם מציגה את העדפות החברים לגבי מקום הטיול. . א מהו מקום הטיול השכיח בקרב החברים? . ב .12 ידוע כי מספר החברים שהעדיפו לטייל בירושלים הוא מה מספר החברים המתכננים לצאת לטיול? . ג הציגו את הנתונים, המתארים את מספר החברים בהתאם להעדפתם לגבי מקום הטיול, באופן הבא: ( 1) באמצעות טבלת שכיחויות. ( 2) באמצעות דיאגרמת עמודות. . ד לפניכם טבלה המתארת את מספר ימי הטיול שמעדיפים החברים. מספר הימים 1 2 3 4 מספר החברים 10 10 . השלימו את הטבלה. 2.5 ידוע כי החציון של מספר ימי הטיול המועדף הוא . ה ימים. 2 ימים, שינה את דעתו ל- 3 חבר אחד, שבהתחלה העדיף טיול של האם החציון של מספר ימי הטיול המועדף השתנה? אם כן, מהו החציון החדש? אם לא, נמקו. ו . המחיר לאדם ליום טיול למקומות השונים הוא: שקלים. 400 מחיר הטיול לירושלים הוא מהמחיר לירושלים. 30% מחיר הטיול לחיפה קטן ב- מהמחיר לירושלים. 20% מחיר הטיול לאילת גדול ב- מהמחיר לחיפה. 80% מחיר הטיול לגולן הוא ( 1) המקומות: ירושלים, חיפה, אילת והגולן. 4 חשבו את המחיר הממוצע לטיול ליום אחד ל- ( 2) ימים לחיפה? 3 מהי העלות הכוללת, לכל החברים בקבוצה, לטיול בן ( 3) ימים לגולן לעומת העלות 3 בכמה אחוזים קטנה העלות הכוללת, לכל החברים בקבוצה, לטיול בן לחיפה? ירושלים 40% אילת 30% חיפה 20% גולן להתרשמות גרסה
יח״ל - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים 4-5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מוכנות לכיתה י' - 164 10 תשובות - מבדק מספר 1 . ±2 ד) 8 ג) –6 ב) x ≠ 5 , x א) כל 2 . ±119 (3) 289 (2) 49 (1) 3 . x < –2 או x > 3 ב) x א) כל 4 . (–2.5 , –4) , (2 , 5) ב) (–5 , 2) א) 5 . 6 , –2 6 . (4) 7 . b ≠ 6 , –1 , − 5 3 ; ( )( ) ( )( ) 3 5 6 1 3 5 b b b b − + + + ג) x ≠ ±2 , ±a ; 3 x 2 − ב) x ≠ 0 , –2 ; x x x − + 2 ( 2) א) x ≠ 2 , –1 ; 10 1 2 2 ( ) ( ) + − x x ד) 8 . פיצות 60 ב) שקלים 84 שקלים, פיצה משפחתית - 28 א) פיצה אישית - 9 . שעות 4.5 שעות ב) 4.5 א) 1 0. g(x) = f(x – 2) + 3 ב) 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y x f(x) א) h(x) = f(x + 3) – 5 ג) 1 1. 0 ב) y x א) מינימום (0 , 0) מקסימום, (1 , 3) מינימום, (2 , 0) מקסימום, (3 , 3) מינימום, (4 , 0) ג) 1 2. y x = −6 ד) y x = +5 ג) 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y x ב) 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y x א) 1 3. ס"מ 8 ד) ג) הוכחה ב) הוכחה א) הוכחה 1 4. א) הוכחה ב) הוכחה ג) הוכחה ד) 1 5. s 4 א) הוכחה ב) הוכחה ג) הוכחה ד) 1 6. יש מספר דרכים לבנות את המקבילית, ונציין כאן אחת מהן. .D = a כך ש- a ) נעתיק את זווית 1( , ועל השוק השנייה DC = a ) נקצה על השוק האחת של הזווית את הקטע 2( .AD = b של הזווית נקצה את הקטע .b נחוג קשת של מעגל, שרדיוסו C ) מנקודה 3( .a נחוג קשת של מעגל, שרדיוסו A ) מנקודה 4( את נקודת החיתוך של שתי הקשתות. B ) נסמן ב - 5( .BC ו - AB ) נסרטט את הקטעים 6( הוא מקבילית, כי מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית. ABCD המרובע 1 7. 24 145 ג) 1 29 אדום ב) 12 ירוק, 12 צהוב, 6 א) 1 8. 24 29 כדורים ב) 24 א) 1 9. חברים 5 ימים - 3 חברים, 5 ימים - 2 דיאגרמה ד) (2) טבלה (1) חברים ג) 30 א) ירושלים ב) 20% ב- (3) שקלים 25,200 (2) 346 (1) ימים. ו) 2 ה) כן, החציון לאחר השינוי הוא 1 4 a D A B a b C להתרשמות גרסה
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=