אשכול התמצאות במישור ובמרחב יח״ל 3 רמת 4576 מספר אישור: 29.1.24 אושר בתאריך:
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2023 © 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-63 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-81-9 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול התמצאות במישור ובמרחב 4576 מספר אישור: 29.1.24 אושר בתאריך:
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה הספר "מתמטיקה לכיתה י' – חלק ב' – אשכול התמצאות במישור ובמרחב" מתאים לתכנית הלימודים החדשה יח"ל. 3 ברמת ספר זה הוא השני מתוך שלושה ספרים. השאלות באשכול זה ממחישות יישומיות רחבה של גיאומטריה בחיי היום יום. מה מיוחד בספר? • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • בסוף הספר יש שלושה נספחים בנושאים שנלמדו בחטיבת הביניים, והנדרשים לצורך לימוד הנושאים בספר זה. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו, רתם פרוידנברג ויעל רחבי, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. , יש להוריד לטלפון אפליקציה לקריאת הקוד. סריקת הקוד מקשרת QR שאלה, שבה מופיע קוד ליישומון, סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול.
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1........................................................................ אשכול התמצאות במישור ובמרחב – פתיח 2............................................................ יחידה ראשונה – היקפים של צורות גיאומטריות 3. ........................................................................................................................... היקף בחיי היום יום היקף משולשים . א 5 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� היקף משולשים . ב 7 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� משפט פיתגורס . ג 10 �������������������������������������������������������������������������������������� היקף משולשים - עם משפט פיתגורס 19. ................................................................................................................................. היקף מרובעים 33. ................................................................................................................................... היקף מעגלים 39. ................................................................................................ היקף של צורות גיאומטריות מורכבות השפעת השינוי בממדים על ההיקף . א 47 ��������������������������������������������������������������������������������������������� ) צורות מלבניות (כולל ריבועיות . ב 51 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� צורות מעגליות 55. ................................................................................................. היקף – השוואות ו/או קבלת החלטות 63. .......................................................................................................................................... תשובות 68. ...................................................................................................... יחידה שנייה – מסלולים אורכי מסלולים . א 69 ���������������������������������������������������������������������������������������������� שאלות ללא צורות גיאומטריות . ב 76 ����������������������������������������������������������������������������������������������� שאלות עם צורות גיאומטריות 85. ................................................................................................................................ תכנון מסלולים 90. ............................................................................................................................... בחירת מסלולים 102.......................................................................................................................................... תשובות 106......................................................... יחידה שלישית – שטחים של צורות גיאומטריות המחשת מושג השטח, יחידת שטח וחישוב שטח (כולל אומדן) . א 107 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� המחשת מושג השטח . ב 107 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� יחידת שטח וחישוב שטח . ג 109 ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� אומדן שטח 111................................................................................................................................ שטח משולשים 120................................................................................................................................. שטח מרובעים
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 133................................................................................................................................... שטח עיגולים 139................................................................................................. שטח של צורות גיאומטריות מורכבות השפעת השינוי בממדים על השטח . א 148 ������������������������������������������������������������������������������������������� ) צורות מלבניות (כולל ריבועיות . ב 153 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ צורות מעגליות 157.................................................................................................. שטח – השוואות ו/או קבלת החלטות 163.......................................................................................................................................... תשובות 168...................................................................................................... יחידה רביעית – ריצופים מצולעים . א 169 ������������������������������������������������������������������������������������������������ סכום הזוויות במצולע קמור . ב 172 ��������������������������������������������������������������������������������������� גודל זווית פנימית במצולע משוכלל . ג 174 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� שטח משושה משוכלל 176..................................................................................................................... ריצופים בחיי היום יום 178................................................................................... ריצוף של המישור באמצעות צורות גיאומטריות 181................................................................................................................... שילוב של ריצוף ואומנות 184.......................................................... חישוב שטחים ועלויות של ריצופים באמצעות צורות גיאומטריות 192............................................................................................................. קבלת החלטות לגבי ריצופים 198.......................................................................................................................................... תשובות 201........ יחידה חמישית – היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות בהקשר אורייני 201................................................................................................................ היקף ושטח בחיי היום יום 203....................................................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות בסיסיות 208....................................................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות מורכבות 217..................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות – הגדלה/הקטנה של מדדי הצורה 221......................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות – השוואה ו/או קבלת החלטות 227.......................................................................................................................................... תשובות נספחים 230........................................................................... נספח א' – הגדרות ותכונות של הצורות הגיאומטריות 233.......................................................................... נספח ב' – היקפים ושטחים של הצורות הגיאומטריות 235.................................................................................................................... נספח ג' – המרת יחידות 239.................................................................................................................. נספח ד' – מבחני מתכונת
1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול התמצאות במישור ובמרחב - פתיח • אשכול זה מתמקד באובייקטים של העולם האמיתי. בעיות שנפתרות באשכול זה ממחישות יישומיות רחבה של גיאומטריה בחיי האדם. • תכנים מתמטיים באשכול (כולל מושגים מתמטיים) ✔ היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות. ✔ המרת יחידות. ✔ אומדן. • תכנים אוריינים באשכול ✔ הדוגמאות המוצגות הן מחיי היום יום של התלמידים. ✔ מוצגים יישומים ספציפיים ביחידות נפרדות. • יחידות 5 אשכול התמצאות במישור ובמרחב מכיל ✔ יחידה ראשונה: היקפים של צורות גיאומטריות (משולשים, מרובעים, מעגלים, צורות המורכבות ממלבנים ו/או ממעגלים ו/או מחלקי מעגלים). ✔ יחידה שנייה: מסלולים כולל חישוב מהירות. ✔ יחידה שלישית: שטחים של צורות גיאומטריות (משולשים, מרובעים, מעגלים, צורות המורכבות ממלבנים ו/או ממעגלים ו/או מחלקי מעגלים). ✔ יחידה רביעית: ריצופים. ✔ יחידה חמישית: היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות. • בסוף הספר מופיעים נספחים בנושאים, שנלמדו בחטיבת הביניים ונדרשים ללימוד באשכול זה.
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה היקפים של צורות גיאומטריות ביחידה זו נעסוק בנושאים הבאים: • משפט פיתגורס. • תכונות של צורות גיאומטריות (משולש שווה-שוקיים, משולש שווה-צלעות, משולש ישר-זווית, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז). • היקף צורות שהשפה שלהן מורכבת מקטעים (כולל משולש, מקבילית, מלבן, מעוין וריבוע). • היקף מעגל. • היקף צורות שהשפה שלהן מורכבת מקטעים ומחלקי מעגל/מעגלים. • שימוש בהיקף צורות גיאומטריות בהקשר אורייני. • ההשפעה של שינוי של אחד או יותר מממדי הצורה (מלבן או מעגל) על ההיקף של הצורה – בהקשר אורייני. • הפעלת שיקולי כדאיות בסיטואציות אורייניות הדורשות השוואה, תוך חישוב של ההיקפים של צורות גיאומטריות ו/או חישוב העלויות הנדרשות. תזכורת שווה לסכום אורכי כל צלעותיו.היקף מצולע היקף = a + b + c + d משימת פתיחה לפניכם שתי בריכות שחייה. מיכאל התבקש לתת הצעת מחיר עבור גדר בטיחות מסביב לבריכות, ולשם כך הוא צריך לחשב את היקפן. א. חשבו את היקף הבריכה שבסרטוט א' (הנתונים במ'). ב. לאיזו בריכה יש היקף גדול יותר: לבריכה שבסרטוט א׳ או לבריכה שבסרטוט ב' (הנתונים במ')? נמקו את תשובתכם. .63 התשובה למשימת הפתיחה בעמ' a c d b 4 2 1 6 4 3 סרטוט א׳ 6 6 4 4 סרטוט ב׳
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © היקף בחיי היום יום בפרק זה נדגים בצורה מוחשית מצבים מחיי היום יום, שבהם נעשה שימוש בהיקף ונתייחס למשמעות ההיקף בקשר למצב המוצג. .63 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' דוגמה פתורה לפניכם טבלת מידות של צמידי נשים. . א ס"מ. 16.2 היקף מפרק כף ידה של תמר הוא איזו מידת צמיד מתאימה לה? . ב .L עינת קנתה צמיד במידה מה תוכלו לומר על ההיקף של מפרק כף ידה? .6 וטבעת במידה L בחנות התכשיטים מוצע מארז ובו צמיד במידה . ג ס"מ 16.6 היקף מפרק כף ידה של מעין הוא מ"מ. 52.4 והיקף האצבע שלה הוא האם הצמיד והטבעת שבמארז מתאימים למעין? נמקו. פתרון: . א ס"מ. 15.5-16.5 ס"מ, הנמצא בתחום 16.2 ההיקף של מפרק כף ידה של תמר הוא .M לכן מידת הצמיד המתאימה לה היא . ב ס"מ. 16.5-17.5 מתאימה להיקף מפרק כף היד שבתחום L מידת צמיד . ג מתאים לה. היקף האצבע של מעין הוא L ס״מ, ולכן צמיד במידה 16.6 היקף מפרק היד של מעין הוא מתאימה להיקף האצבע שלה. שני הפריטים במארז מתאימים 6 מ"מ, ולכן גם הטבעת שבמידה 52.4 למידותיה של מעין. . 1 תנו דוגמה מחיי היום יום למצבים שבהם נדרש חישוב ההיקף. היקף האצבע (מ"מ) מידת הטבעת 44.5 3 46.5 4 49.2 5 52.4 6 54 7 57.2 8 היקף מפרק כף היד (ס״מ) מידת הצמיד 14-14.5 XS 14.5-15.5 S 15.5-16.5 M 16.5-17.5 L 17.5-18.5 XL
4 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 2 לפניכם מידות של בגדי גברים עבור חולצות/סריגים/מעילים בחברת אופנה מסוימת. . א ס"מ. הוא מעוניין לקנות מעיל. 112 היקף החזה של אורי הוא איזו מידה עליו להזמין? . ב ס"מ, 106 יואב מעוניין לקנות סריג. היקף החזה שלו הוא ס"מ. איזו מידה עליו להזמין? 41 והיקף הצוואר שלו הוא . ג לביא מעוניין לקנות חולצה מכופתרת, אך התברר לו שנותרו .XXL ,XL ,M באתר חולצות מכופתרות רק במידות ס"מ. 97 ס"מ, והיקף החזה שלו הוא 39 היקף הצוואר שלו הוא האם יש חולצה במידה מתאימה עבורו? נמקו. . 3 כדור הארץ הוא כוכב לכת. . א באילו יחידות מדידה הגיוני למדוד את היקף כדור הארץ סביב קו המשווה? חפשו באינטרנט את המידע לשאלות הבאות: . ב מהו היקף כדור הארץ סביב קו המשווה? . ג מהו היקף כדור הארץ לאורך מעגל, העובר דרך הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי (מעגל כזה נקרא "קו אורך")? . 4 היקף הראש של תינוק הוא אחד מהממדים החשובים שנבדקים. היקף ראש שאינו תקין יכול לכוון להפרעה בהתפתחות התקינה של המוח. ס"מ. 37 ס"מ ומתחת ל- 32 היקף ראש תקין של תינוק זכר במהלך הלידה הוא מעל שבסוף השאלה, וחפשו מידע ביחס לעלייה תקינה בהיקף הראש של תינוק זכר QR סרקו את הקוד לפי העקומה הירוקה (האמצעית): . א בששת החודשים הראשונים לחייו. . ב מגיל שנה עד שנתיים. ) (מתוך אתר משרד הבריאות, עקומות גדילה, בנים - היקף הראש לפי גיל: מידה היקף החזה (ס"מ) היקף הצוואר (ס"מ) XS 88-92 36 S 93-98 38 M 99-104 40 L 105-110 42 XL 111-116 44 XXL 117-125 46 XXXL 126-132 48 הקוטב הצפוני הקוטב הדרומי קו המשווה
5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © היקף משולשים (ישר-זווית, שונה היקף משולשים והוא בבית הספר היסודי ובחטיבת הביניים,בפרק זה נחזור על נושא שנלמד שנלמד בחטיבת הביניים. משפט פיתגורסצלעות, שווה-שוקיים, שווה-צלעות) ועל נעסוק במצבים מחיי היום יום, שבהם נדרש לחשב היקף של משולשים. . שבנספח ג׳ ובהמרת יחידות אורךשבנספח א'בשאלות ייעשה שימוש בתכונות של המשולשים בספר אשכול שבנספח א׳בחלק מהתרגילים בפרק זה נשתמש בפתרון משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה מדעים וחברה. מה נלמד? ✔ היקף משולשים. ✔ משפט פיתגורס. ✔ היקף משולשים - עם משפט פיתגורס. .64-63 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א היקף משולשים תזכורת שווה לסכום אורכי כל צלעותיו: היקף משולש P = a + b + c ,Perimeter . מקורה במילה האנגלית ההיקף משמשת לסימון P האות שפירושה היקף. דוגמה היקפו של המשולש שבסרטוט (הנתונים בס"מ) הוא: P = 2 + 3 + 4 = ס"מ 9 . 5 מצאו את ההיקף של כל אחד מהמשולשים הבאים (הנתונים בס"מ). . א משולש שונה-צלעות 8 11 13 . ב משולש שווה-שוקיים 8 11 . ג משולש שווה-צלעות 5 a c b 2 3 4
6 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 6 מצאו את אורכי הצלעות החסרות במשולשים הבאים על-פי הנתונים (הנתונים בס"מ). . א היקף המשולש הוא ס"מ. 29 . ב היקף המשולש שווה- ס"מ. 31 השוקיים הוא . ג היקף המשולש שווה- ס"מ. 27 הצלעות הוא . 7 המאפה שבצילום הוא בצורת משולש. היעזרו בנתונים שבסרטוט ומצאו את היקף המאפה. . 8 התליון שבצילום הוא בצורת משולש שווה-שוקיים. ס"מ. 2.5 אורך בסיס המשולש הוא ס"מ מאורך הבסיס. 1 אורך השוק גדול ב- . א מצאו את אורך שוק התליון. . ב מצאו את היקף התליון. . 9 החלון שבצילום הוא בצורת משולש שווה-שוקיים. מ'. 1.5 אורך בסיס המשולש הוא ס"מ מאורך הבסיס. 30 אורך השוק קטן ב- . א מצאו את אורך השוק בס״מ. ס"מ) 100 = מ' 1 (הדרכה: . ב מצאו את היקף החלון. . 10 ס"מ. 30 הוא AB השעון שבצילום הוא בצורת משולש. אורך הצלע . א .AC . מצאו את אורך הצלע AB ס"מ מאורך הצלע 8 קטן ב- AC אורך הצלע . ב .BC . מצאו את אורך הצלע AB מאורך הצלע 1.5 גדול פי BC אורך הצלע . ג מצאו את היקף מסגרת השעון המשולשת. 10 13 7 ס״מ 5 ס״מ 6 ס״מ 7 ס״מ 2.5 מ׳ 1.5 B C A ס״מ 30
7 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 11 בקונדיטוריה יש עוגיות בצורת משולש שווה-צלעות. ס"מ. 18 היקף כל עוגייה הוא . א מהו אורך הצלע של העוגייה המשולשת? במרכז כל עוגייה יש משולש שווה-צלעות נוסף שאורך צלעו קטן מאורך צלע העוגייה. 3 פי . ב מהו אורך הצלע של המשולש הפנימי? (1) ( 2) מהו היקף המשולש הפנימי? .ב משפט פיתגורס תזכורת ורקע היסטורי תזכורת • . . מסומנת בסרטוט כך: 90° היא זווית בת זווית ישרה • .(∢C = 90°) הוא משולש שאחת מזוויותיו ישרה משולש ישר-זווית במשולש ישר-זווית הצלעות המאונכות זו לזו (הזווית ביניהן ישרה) .יתר, והצלע השלישית נקראת ניצביםנקראות .AB , והיתר הוא BC ו- AC בסרטוט הניצבים הם פיתגורס לפנה"ס בקירוב). 495 לפנה"ס בקירוב – 570 פיתגורס היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני שנולד באי סאמוס ( לפנה"ס התיישב בקרוטון שבדרום איטליה, והקים סביבו את האסכולה הפיתגוראית – קהילה 529 בשנת דתיתֿ-פילוסופית, שדגלה באורח-חיים של פשטות המוקדש לעיון ולהתבוננות. פיתגורס מוכר בעיקר בזכות המשפט הנקרא על שמו. משפט פיתגורס המשפט הבא נקרא על שם פיתגורס, ומייחסים לו את ההוכחה הכללית הראשונה של המשפט, אך אין ודאות לכך. המשפט עצמו ללא ההוכחה היה מוכר מאות שנים לפני פיתגורס, ויש על כך עדויות ,משולש ישר-זוויתבמצרים העתיקה, בבבל ובסין. המשפט מתאר את הקשר בין שלוש צלעותיו של על ידי שימוש בריבועים הבנויים על צלעותיו. .2 שטח הריבוע שווה לאורך צלע הריבוע בחזקת נזכיר: a c b A B C
8 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © המשפט הוא: סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר-זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר: a2 + b2 = c2 למשפט פיתגורס יש מאות הוכחות. בין כותבי ההוכחות נמנים של ארצות הברית) 20 לאונרדו דה וינצ'י, ג'יימס גארפילד (הנשיא ה- ואלברט איינשטיין (בנעוריו). משפט פיתגורס - ניסוח נוסף • בכל משולש ישר-זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר: a2 + b2 = c2 שימו לב! .a + b = c אינו גורר את השוויון: a2 + b2 = c2 השוויון: • יישומון להמחשת משפט פיתגורס: • סרטון המציג את משפט פיתגורס באופן ויזואלי (מתוך מוזיאון המדע ע״ש בלומפילד בירושלים): דוגמאות פתורות דוגמה א' ס"מ. 12 ס"מ ו- 9 אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם: מצאו את אורך היתר. פתרון: ס״מ את אורך היתר. x נסמן ב- , סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, ולכן:משפט פיתגורסלפי 92 + 122 = x2 81 + 144 = x2 225 = x2 x = ±15 a c b a2 b2 c2 יתר ניצב b c a ניצב 9 12 x
9 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הערה חשובה! .x = −15 או x = 15 יש שני פתרונות: x2 = 225 למשוואה .חיובי מייצג אורך של צלע, לכן אורכו חייב להיות x לכן מעתה נתייחס בגיאומטריה רק לתוצאה החיובית מבין שתי התוצאות שהתקבלו. ס"מ. 15 תשובה: אורך היתר הוא דוגמה ב' ס"מ. 8 ס"מ, ואורך היתר הוא 2 3 במשולש ישר-זווית אורך ניצב אחד הוא מצאו את האורך של הניצב השני. פתרון: מתקיים:משפט פיתגורס ס״מ את הניצב השני. לפי x נסמן ב- (2 3)2 + x2 = 82 4 ∙ 3 + x2 = 64 12 + x2 = 64 / −12 x2 = 52 (הפתרון השלילי נפסל) x = 7.21 ס"מ. 7.21 תשובה: אורך הניצב השני הוא . 12 במשולשים ישרי-הזווית הבאים (הנתונים בס"מ). x מצאו את . א 12 5 x . ב x 15 20 . ג 9 7 x . 13 במשולשים ישרי-הזווית הבאים (הנתונים בס"מ). x מצאו את . א 5 4 x . ב 12 10 x . ג x 17 22 2 3 8 x
10 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 14 במשולשים ישרי-הזווית הבאים (הנתונים בס"מ). x מצאו את . א x 58 3 . ב 3 x 91 . ג 12 x 6 5 הידעתם? נקראת שְלָשָה פיתגורית, אם המספרים מקיימים את a,b,c שְלָשָה של מספרים טבעיים (שלמים וחיוביים) .a2 + b2 = c2 השוויון המופיע במשפט פיתגורס: .32 + 42 = 52 הם שְלָשָה פיתגורית, כי הם מספרים טבעיים וגם מקיימים: 3,4,5 לדוגמה: המספרים ,)1 שְלָשָה פיתגורית יסודית היא שלשה, שאין לה מחלק משותף (מלבד .5,12,13 או 3,4,5 למשל: שְלָשָה פיתגורית לא יסודית היא שְלָשָה, שמתקבלת משְלָשָה פיתגורית יסודית, שהוכפלה באותו מספר טבעי. .3,4,5 של השְלָשָה היסודית 10 היא שְלָשָה פיתגורית לא יסודית, כי התקבלה מהכפלה ב- 30,40,50 למשל: . 15 קבוצת תלמידות טענה את הטענות הבאות. היעזרו בתכונות השְלָשָה הפיתגורית, ולגבי כל טענה ציינו אם היא נכונה. נמקו. . א הם שלשה פיתגורית. 1,2,3 תמר אמרה ששלושת המספרים: . ב הם שלשה פיתגורית יסודית. 8,15,17 מעין אמרה ששלושת המספרים: . ג הם שלשה פיתגורית. 6,8,10 הילה אמרה ששלושת המספרים: . ד הם שלשה פיתגורית. 1.5,2,2.5 נועה אמרה ששלושת המספרים: . ה נעמה אמרה שיש אינסוף שלשות פיתגוריות. .ג היקף משולשים - עם משפט פיתגורס דוגמה פתורה ס"מ. 8 הוא AB אורך הניצב (∢B = 90°) ∆ABC במשולש ישר-זווית .AB מאורך הניצב 25% קטן ב- BC אורך הניצב . א .BC מצאו את אורך הניצב . ב .AC מצאו את אורך היתר . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש 8 A B C
11 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון: . א ס"מ. 8 , שאורכו AB מאורך הניצב 25% קטן ב- BC הניצב .(100% – 25% = 75%) AB מאורכו של 75% מהווה BC כלומר אורכו של BC = 0.75 ∙ 8 = ס״מ 6 לכן: ס"מ. 6 הוא BC תשובה: אורך הניצב . ב מתקיים:משפט פיתגורסלפי 62 + 82 = AC2 36 + 64 = AC2 AC2 = 100 (הפתרון השלילי נפסל) AC = ס"מ 10 ס"מ. 10 הוא AC תשובה: אורך היתר . ג נמצא את היקף המשולש: P = 6 + 8 + 10 P = ס"מ 24 ס"מ. 24 תשובה: היקף המשולש הוא . 16 ס"מ. 4 במשולש ישר-זווית אורך הניצב הקצר הוא מאורך הניצב הקצר. 2 אורך היתר גדול פי . א מצאו את אורך הניצב הגדול. . ב מצאו את היקף המשולש. . 17 ס"מ. 10 הוא AB אורך הניצב (∢B = 90°) ∆ABC במשולש ישר-זווית .AB מאורך הניצב 20% גדול ב- AC אורך היתר . א .AC מצאו את אורך היתר . ב .BC מצאו את אורך הניצב . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש 4 10 A B C
63 תשובות כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות - היקפים של צורות גיאומטריות משימת פתיחה ) א נחשב את היקף הבריכה באמצעות חישוב סכום אורכי צלעותיה: היקף = 4 + 6 + 3 + 4 + 1 + 2 = מ' 2 0 מ'. 20 תשובה: היקף הבריכה שבסרטוט א' הוא ) ב היקף הבריכה שבסרטוט ב' הוא: היקף = 4 + 6 + 4 + 6 = מ' 2 0 השוויון בין ההיקפים מומחש בסרטוטים הבאים: 4 2 1 6 4 3 6 6 4 4 → → 4 2 1 6 4 3 4 1 תשובה: לשתי הבריכות יש אותו היקף. היקף בחיי היום יום . 1 למשל: חישוב אורך גדר שרוצים להניח מסביב לכיכר בצורת מעגל; חישוב אורך הפנלים הדרושים להנחה בחדר שצורתו מלבן או ריבוע; חישובים הקשורים לגוף האדם, כגון: היקף הראש, היקף המותניים; חישוב אורך הגבולות של מדינה. . 2 L ב) XL א) ס"מ, גדולים רק במעט 99-104 ס"מ וגם היקף חזה 40 מתאימה ללביא, כי היקף צוואר M ג) כן, מידה גדולות מדי עבורו. XXL ו- XL ס"מ). מידות 97 ס"מ) ומהיקף החזה שלו ( 39 מהיקף צווארו של לביא ( . 3 ק"מ 40,007.86 ג) ק"מ 40,075.016 ב) א) ק"מ . 4 ס״מ (בערך). 43.3 ס״מ ל- 34.5 א) בששת החודשים הראשונים לחיי תינוק זכר חלה עלייה בהיקף הראש מ- ס"מ (בערך). 48.2 ס"מ ל- 46.1 ב) בשנת החיים השנייה של תינוק זכר חלה עלייה בהיקף הראש מ- היקף משולשים . 5 ס"מ 15 ג) ס"מ 30 ס"מ ב) 32 א) . 6 ס"מ 9 ג) ס"מ 12 ב) ס"מ 6 א) . 7 מ׳ 3.9 = ס״מ 390 ס״מ ב) 120 א) .9 ס״מ 9.5 ב) ס״מ 3.5 א) .8 ס״מ 18 . 10 ס"מ 97 ג) ס"מ 45 ס"מ ב) 22 א) . 11 ס״מ 6 (2) ס״מ 2 (1) ב) ס"מ 6 א) . 12 13.96 ג) 6.63 ב) 3 א) .13 130 114 = . ג) 25 ב) 13 א) . 14 ס"מ 18 ג) ס"מ 10 ס"מ ב) 7 א) . 15 12 + 22 ≠ 32 א) לא נכונה, כי: ) ב ,)1 נכונה, כי הם שלושה מספרים טבעיים שאין להם מחלק משותף (מלבד .82 + 152 = 172 וגם מתקיים: ) ג .62 + 82 = 102 נכונה, כי הם שלושה מספרים טבעיים, המקיימים: ) ד לא נכונה. שלושת המספרים בשלשה פיתגורית (יסודית או לא) צריכים להיות מספרים טבעיים, גם אם הם מקיימים את משפט פיתגורס. 4 2 1 6 4 3 סרטוט א׳ 6 6 4 4 סרטוט ב׳
68 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה שנייה מסלולים ביחידה זו נעסוק בנושאים הבאים: • מסלולים המורכבים מרצף של קטעים ומעגלים או חלקי מעגלים: אורכי מסלולים, תכנון מסלולים ובחירת מסלולים. • נוסחה המקשרת בין דרך, מהירות, זמן: דרך = מהירות ∙ זמן • ייעשה שימוש בתכונות של הצורות הגיאומטריות (משולש שווה-שוקיים, משולש שווה-צלעות, משולש ישר-זווית, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז ומעגל) ובמשפט פיתגורס. יחידה זו היא יישום של שימוש בחישובי היקפים, ובמסגרתה יוצגו שאלות אינטגרטיביות, כגון: שילוב של אחוזים, שילוב של מהירות וכו'. .שבנספח ג'בחלק מהשאלות יידרש פתרון משוואה ממעלה ראשונה, ובחלק נדרשת המרת יחידות זמן משימת פתיחה לפניכם מפת שכונה מלבנית, שבה גרים אוהד ויאיר. .A שניהם גרים בבניין הסמוך לנקודה נמצא מכון הכושר שלהם. אוהד הולך למכון C בסמוך לנקודה .B על השביל המקיף את השכונה (מסומן בצהוב) ועובר דרך נקודה .D יאיר הולך למכון על השביל המקיף את השכונה ועובר דרך הנקודה יום אחד יצאו שניהם לאימון באותה השעה. . א אם הם הגיעו יחד, מה תוכלו לומר על מהירויותיהם? . ב אם אוהד הגיע לפני יאיר, מה תוכלו לומר על מהירותו לעומת מהירותו של יאיר? . ג ממהירותו של אוהד, 2 אם מהירותו של יאיר היתה גבוהה פי מה תוכלו לומר על הזמן שבו צעד כל אחד? .102 התשובה למשימת הפתיחה בעמ' A D B C
71 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 2 אלון יצא מחדרה לכיוון הרצליה. נדב יצא מהרצליה לקראת אלון. שניהם יצאו באותה השעה, ונפגשו בדיוק באמצע הדרך. מה ניתן לומר על מהירות הנסיעה של אלון: ( 1) שווה למהירות הנסיעה של נדב? ( 2) גדולה ממהירות הנסיעה של נדב? ( 3) קטנה ממהירות הנסיעה של נדב? נמקו את תשובתכם. . 3 נועה יצאה מחיפה לכיוון תל-אביב. שירה יצאה מתל-אביב ק"מ. 100 לקראת נועה. המרחק בין תל-אביב לחיפה הוא שתיהן יצאו באותה השעה, ונפגשו בנתניה הנמצאת ק"מ מתל-אביב. 30 במרחק של מה ניתן לומר על מהירות הנסיעה של נועה: ( 1) שווה למהירות הנסיעה של שירה? ( 2) גדולה ממהירות הנסיעה של שירה? ( 3) קטנה ממהירות הנסיעה של שירה? נמקו את תשובתכם. . 4 שניות. 336 מ' במשך 504 הילה הלכה מרחק של . א מהי מהירות הליכתה של הילה (במטרים לשנייה)? . ב שניות? 560 מה צריכה להיות המהירות של הילה על מנת שתעבור את המרחק ב- . 5 הוא הכביש הארוך ביותר בישראל. 90 כביש ק"מ. 480 הוא מחבר את אילת בדרום למטולה בצפון. אורכו הוא קמ״ש. 90 מכונית נסעה בכביש זה במהירות של . א מהו זמן הנסיעה של המכונית מאילת למטולה? . ב , באיזו שעה היא תגיע למטולה, אם לא תעצור בדרך? 8:00 אם המכונית יצאה מאילת בשעה . ג מאילת למטולה במשך שש שעות ללא הפסקה. מה היתה מהירותה של מעין? 90 מעין נסעה בכביש . 6 צליחת הכנרת היא אירוע השחייה העממי הגדול ביותר בישראל, והיא מתקיימת בדרך כלל בחודשי הסתיו. ק"מ. 4.2 בצליחת הכנרת יש מספר מסלולים. אורכו של אחד ממסלולי צליחת הכנרת הוא דקות. 6 אחד השחיינים סיים את המסלול הזה בשעתיים ו- . א דקות) 60 = שעה 1 (הדרכה: רשמו את זמן השחייה בשעות. . ב מה היתה מהירות השחיין? חדרה הרצליה תל אביב נתניה חיפה ק״מ 100 ק״מ 30 מ׳ 504 אילת מטולה ק״מ 480 ק״מ 4.2
81 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 27 מ' 20 גבי, עידן ואיתמר שהו בבית מלון. במלון בריכה בצורת עיגול שקוטרו ,B על היקף הבריכה, עידן נמצא בנקודה A (ראו צילום א'). גבי נמצא בנקודה (ראו סרטוט ב'). C ואיתמר נמצא בנקודה היא A הוא משולש ישר-זווית (זווית ∆ABC הוא קוטר הבריכה. משולש BC זווית ישרה). . א .C ל- A מ'. גבי שחה אל איתמר מנקודה 16 המרחק בין גבי לעידן הוא איזה מרחק שחה גבי? . ב שניות. מה היתה מהירותו? 10 במשך C ל- A גבי שחה מ- . ג . איזה מרחק עבר עידן? C אל הנקודה B עידן יצא מהבריכה והלך לאורך שפת הבריכה מנקודה . 28 מסלול ריצה מתוכנן מורכב משלוש צלעות של מלבן וחצי מעגל מ'. 250 מ' ו- 200 (ראו סרטוט). אורכי צלעות המלבן הם . א מהו אורך המסלול המתוכנן? . ב מ', 50 אם יגדילו את הצלע הארוכה של המלבן המקורי ב- בכמה מטרים יגדל אורך המסלול? . ג מ', בכמה מטרים יקטן אורך המסלול? 20 אם יקטינו את הצלע הקצרה של המלבן המקורי ב- . ד מאורכה, בכמה מטרים ובכמה אחוזים 10% אם יגדילו כל אחת מצלעות המלבן המקורי ב- יגדל אורך המסלול? . 29 מסלול ריצה מורכב משלוש צלעות של מלבן ומחצי מעגל (ראו סרטוט). מ'. 350 מ' ו- 300 אורכי צלעות המלבן הם . א מצאו את אורך מסלול הריצה. . ב .10% הקטינו את הצלע הקצרה של המלבן המקורי ב- בכמה מטרים יקטן היקף המגרש? . ג דקות. 42 פעמים במשך 3 דוד הקיף את המסלול המוקטן מה היתה מהירותו (ביחידות של מ' לשנייה)? (הדרכה: רשמו את הזמן בשניות.) . ד יואב מקיף את המסלול במהירות קבועה. הזמן, שבו הקיף פעם אחת את המסלול לפני הקטנתו, שניות מהזמן, שבו הקיף אותו לאחר שהוקטן. 47.6 ארוך ב- מ׳ לשנייה את מהירותו הקבועה של יואב. x סמנו ב- ( 1) שהוקטן. לפני את הזמן, שבו הקיף יואב פעם אחת את המסלול x הביעו באמצעות ( 2) שהוקטן. לאחר את הזמן, שבו הקיף יואב פעם אחת את המסלול x הביעו באמצעות ( 3) בנו משוואה מתאימה, ומצאו את מהירותו הקבועה של יואב. B C A ב׳ מ׳ 20 א׳ מ׳ 250 מ׳ 200 מ׳ 300 מ׳ 350
92 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 46 לפניכם סרטוט של אזור מגוריה של אביטל, המתגוררת בבית . ביתה גובל בבית ספר גדול ובפארק ציבורי סמוך. A הנמצא בנקודה בתכנון המקורי צורתם של בית הספר והפארק היו מלבנים חופפים, אך בסופו של דבר הם נבנו כך, שאחת מפינותיהם עוצבה כרבע מעגל משותף, כמתואר בסרטוט. אביטל יוצאת מדי יום מביתה לצעידה ובוחרת אם לצעוד: )A ← E ← D ← C ← B ← A מסביב לבית הספר ( .)A ← E ← T ← G ← H ← A או מסביב לפארק ( . א הסבירו מדוע שני המסלולים שווים באורכם. . ב קמ"ש. 5 המסלול מסביב לפארק נוח יותר לצעידה, לכן אביטל צועדת בו במהירות של קמ"ש. 4 המסלול מסביב לבית הספר אינו סלול, לכן היא צועדת בו במהירות של ? נמקו.בפחות זמןבאיזה מסלול היא תגיע ליעדה . 47 (צהוב) ABCD בספורטק יש שני מסלולי ריצה. מסלול מלבני M (אדום). הנקודה ∆AGD ומסלול שצורתו משולש ישר-זווית .GD היא אמצע הניצב C , והנקודה BC היא אמצע צלע המלבן . א היעזרו בנתונים שבסרטוט ומצאו את: ( 1) צלעות המלבן. ( 2) .ABCD אורך המסלול המלבני ( 3) (היעזרו במשפט פיתגורס). AG אורך הקטע ( 4) .∆AGD אורך מסלול המשולש . ב : המסלול הצהוב או המסלול האדום?אורך מסלול קצר יותראיזה . ג הוא מסלול עפר, וכל שאר הקטעים הם מסלולי אספלט. AG קטע קמ"ש. 10 קמ"ש, ובמסלול העפר במהירות של 8 עומר רץ במסלולי האספלט במהירות של : במסלול הצהוב או במסלול האדום?זמן הריצה קצר יותרבאיזה מסלול (הדרכה: רשמו את הדרך בק"מ.) . ד קלוריות לק"מ במסלול האספלט. 200 קלוריות לק"מ במסלול עפר ו- 150 בזמן הריצה שורף עומר במסלול הצהוב או במסלול האדום?יותר קלוריות:באיזה מסלול ישרוף עומר A B C D בית ספר פארק ציבורי H G T E B C G M A D עפר מ׳ 600 מ׳ 1600 עפר
106 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה שלישית שטחים של צורות גיאומטריות ביחידה זו נעסוק בנושאים הבאים: • משפט פיתגורס. • תכונות של צורות גיאומטריות (משולש שווה-שוקיים, משולש שווה-צלעות, משולש ישר-זווית, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז). • שטח של משולש, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז ועיגול. • שטח צורה מורכבת המתפרקת למלבנים (סכום או הפרש של מלבנים). • שטח צורה מורכבת המתפרקת למשולשים ולמלבנים. • שטח צורה מורכבת המתפרקת לעיגולים ולחלקי עיגולים, למלבנים ולמשולשים. • שימוש בשטח צורות גיאומטריות בהקשר אורייני. • ההשפעה של שינוי של אחד או יותר מממדי הצורה (מלבן או עיגול) על השטח של הצורה – בהקשר אורייני. • הפעלת שיקולי כדאיות בסיטואציות אורייניות הדורשות השוואה, תוך חישוב של השטחים של צורות גיאומטריות ו/או חישוב העלויות הנדרשות. משימת פתיחה הילה רוצה להזמין פיצה. צורות: 3 בפיצרייה מוצעות פיצות ב- ריבוע, עיגול ומלבן. מחירה של כל פיצה שקלים, וניתן להזמין כל אחת מהן 50 הוא עם אותן התוספות. הסבירו מדוע תוספת המידע לגבי השטח של כל אחת מהפיצות תסייע לה להחליט באיזו פיצה לבחור. .163 התשובה למשימת הפתיחה בעמ'
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=