״מתמטיקה לכיתה ט׳ - סדרת מעוף״,חוברת זו, בשילוב הספר יח״ל. 4 יאפשרו להגדיל את מספר התלמידים המיועדים ללמוד ברמת החוברת ניתנת לשילוב בכל ספר לימוד לכיתה ט׳. אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ יח״ל 4 לתלמידים המיועדים ללמוד ברמת
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2024 © 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-68 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-86-4 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
״מתמטיקה לכיתה ט׳ - סדרת מעוף״,חוברת זו, בשילוב הספר יח״ל. 4 יאפשרו להגדיל את מספר התלמידים המיועדים ללמוד ברמת החוברת ניתנת לשילוב בכל ספר לימוד לכיתה ט׳. אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ יח״ל 4 לתלמידים המיועדים ללמוד ברמת
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה יח"ל. לפיכך הכנו חוברת 4 משרד החינוך שם לו למטרה להגדיל את מספר התלמידים שילמדו מתמטיקה ברמת זו כדי לסייע ביישום המטרה. חוברת זו, בשילוב הספר "מתמטיקה לכיתה ט' – סדרת מעוף", מאגדים את כל החומר הנדרש בכיתה ט' עבור יח"ל - בעקבות השינויים בתוכנית הלימודים בחטיבת הביניים ובחטיבה 4 התלמידים המיועדים ללמוד ברמת העליונה. יח"ל, ולאפשר גם לתלמידים 4 החוברת הוכנה במטרה להגדיל את מספר התלמידים המיועדים ללמוד ברמת יח"ל. 4 יח"ל להשתלב ברמת 3 החזקים ברמת הלימוד באמצעות הספר "מתמטיקה לכיתה ט' – סדרת מעוף", בשילוב חוברת זו, מאפשר לימוד מדורג יח"ל. 4 וידידותי, שיוביל תלמידים רבים להצלחה בלימודי המתמטיקה ברמת בלימוד הגיאומטריה התמקדנו בתרגילים בסיסיים עם מספר שלבים מועט ובתרגילים במערכת צירים, בהתאם לדרישות משרד החינוך. אנו ממליצים ללמד כל נושא בחוברת בהמשך ללימוד הנושא המקביל לו המופיע בספר "מתמטיקה לכיתה ט' – סדרת מעוף". תודתנו נתונה לטלי רואש וניצה פיינרו, שהשתתפו בהכנת חומרי הלמידה שבחוברת. תקוותנו שחוברת זו תסייע למורים בעבודתם ותוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים טכניקה אלגברית – נוסחאות הכפל 1. .................................................................................................................................. נוסחאות הכפל 2. .................................................................................................................................. פירוק לגורמים 4. ............................................................................................. צמצום, כפל וחילוק של שברים אלגבריים 5. ................................................................................................................... משוואות עם נעלם במכנה 7. ............................................................................................................................................ תשובות הפונקציה הריבועית 9................................................................ ) (הזזות אופקיות a ≠ 0 כאשר y = a(x − p)2 פונקציה מהצורה 13............................................................ ) (ייצוג קדקודי a ≠ 0 כאשר y = a(x − p)2 + k פונקציה מהצורה 16................................................................ פונקציה ריבועית בייצוגים שונים: קדקודי, סטנדרטי ומכפלה 20............................................................................................................................................ תשובות משוואות, מערכות משוואות ואי – שוויונות ריבועיים 24............................................................................................................................ משוואות ריבועיות 25 ......................................................................................................... מערכות משוואות ממעלה שנייה 26...................................................................................................................... אי – שוויונות ריבועיים 28............................................................................................................................................ תשובות 29............................................................................................................. מגרף לתכונות ובחזרה 48............................................................................................................................................ תשובות
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © גיאומטריה – תרגילי הוכחה בסיסיים ותרגילים במערכת צירים 56....................................................................................... משולש שווה - שוקיים ומשולש - שווה צלעות 64.............................................................................................................................................. דלתון 69................................................................................................................................ ישרים מקבילים 73............................................................................................................................................... טרפז 79.......................................................................................................................................... מקבילית 84................................................................................................................................................ מלבן 89............................................................................................................................................... מעוין 94............................................................................................................................................... ריבוע משולש ישר - זווית 98.................................................................................................. תיכון ליתר במשולש ישר - זווית 100......................................................................................... 30° משולש ישר - זווית שבו זווית בת משולשים 104............................................................................................................. זווית חיצונית למשולש 106.............................................................................................. הקשר בין צלעות לזוויות במשולש 108......................................................................................................... הקשר בין צלעות במשולש 110.............................................................................................................. משפט החפיפה הרביעי 114..................................................................................................................... קטע אמצעים במשולש 118........................................................................................................................ קטע אמצעים בטרפז 121................................................................................................................. ארגז הכלים בגיאומטריה
1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © טכניקה אלגברית - נוסחאות הכפל - ט׳ מעוף חלק א׳) 117 ׳ (המשך עמ .א נוסחאות הכפל • נוסחאות הכפל (a – b)(a + b) = a2 – b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 דוגמאות א. (x – 6)(x + 6) = x2 – 62 = x2 – 36 ב. (x + 4)2 = x2 + 2 · x · 4 + 42 = x2 + 8x + 16 ג. (x – 6)2 = x2 – 2 · x · 6 + 62 = x2 – 12x + 36 . 1 פתחו סוגריים וכנסו איברים דומים. . א (x + 5)2 + (2x – 1)(x + 3) . ב (a – 3)(a + 3) + 2a(a – 5) . ג 3a(a – 2) + (a + 1)2 . ד (y + 4)2 + (y – 4)(4 + y) . ה (x + 5)(x – 2) + (x – 3)2 ו . (5x – 1)(5x + 1) + 3(x2 – 5x) . ז 5x(2x – 1) + (x – 1)2 . ח 2(x + 4)2 + (3x – 1)(x + 3) . ט (4x – 1)(4x + 1) – (x – 2)2 י . 4(x – 1 2)2 – 5x(2 – x) .א י (3x + 2)2 – (4x – 1)(1 + 4x) .ב י 3(4 – 5x)2 – (2x – 1)(3x – 5) . 2 פתרו את המשוואות הבאות. . א (2x + 5)(2x – 5) – 4(x – 2)2 = 3(2x – 5) . ב (2x+ 5)2 – 4(x – 1)2 = 3(4x – 1) . ג (4x – 3)(3 + 4x) – 7(5x – 2) = (4x – 5)2 . ד (x + 4)(x – 4) = (x – 1)2 + 7 . ה (2x – 3)(2x + 3) = 4x(x – 1) – 1 ו . (x + 3)2 + (x – 5)(1 – x) = 9x + 10 . ז (4 – 2x)2 = 2(3 – 8x) + 9 . ח 2(x – 4)2 – 2x(x + 1) = (x + 1)(x – 1) – 18x + 29 . ט 3(x + 2)(x – 2) + 4(x – 1) = 2(x + 1)2 – 2 י . (2x – 1)2 + 3(x + 2) – 1 = 4(x + 3)(x – 1) .א י (2 – 5x)2 + (3x – 1)(2 – 5x) = 2(5x + 1)(x – 3) + 3x .ב י (4x – 1)2 – (5x – 3)(5x + 3) = 4(1 – 2x) – 3
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 3 .x · y = 20 , x2 + y2 = 70 נתון: חשבו את ערך הביטויים הבאים: y ו - x בלי למצוא את 1) ( (x + y)2 2) ( (x – y)2 . 4 .a – b = 7 , ab = 18 נתון: חשבו את ערך הביטויים הבאים: b ו - a בלי למצוא את 1) ( (a + b)2 2) ( a + b 3) ( a2 – b2 .ב פירוק לגורמים • הוצאת גורם משותף דוגמאות א. 7x + 7y = 7(x+y) ב. 6a + 18ab + 30ab2 = 6a(1 + 3b + 5b2) • (כלומר: הצגת הביטוי הנתון בצורת מכפלה). לשם כך מתחילים פירוק לגורמים בעזרת נוסחאות הכפל מהביטויים המוצגים כסכום ו/או הפרש, ומגיעים להצגתם כמכפלה. a –b = (a–b)(a+b) 2 2 הביטוי רשום הביטוי שצריך כמכפלת גורמים לפרק לגורמים a +2ab+b = (a+b) 2 2 2 הביטוי רשום הביטוי שצריך כמכפלת גורמים לפרק לגורמים a –2ab+b = (a–b) 2 2 2 הביטוי רשום הביטוי שצריך כמכפלת גורמים לפרק לגורמים דוגמאות ג. x2 – 25 = x2 – 52 = (x – 5) (x + 5) ד. x2 + 10x + 25 = x2 + 10x + 52 = (x + 5)2 ה. x2 – 6x + 9 = x2 – 6x + 32 = (x – 3)2 • .x2 + bx + c פירוק לגורמים של הטרינום .c כסכום של שני מספרים שלמים, שמכפלתם שווה ל- b נרשום את המקדם דוגמאות ו. x2 + 8x + 15 = x2 + 3x + 5x + 15 = x(x + 3) + 5(x + 3) = (x + 3)(x + 5) 8x ז. x2 – 6x – 40 = x2 – 10x + 4x – 40 = x(x – 10) + 4(x – 10) = (x – 10)(x + 4) –6x ח. x2 – 5x – 6 = x2 – 6x + x – 6 = x(x – 6) + 1(x – 6) = (x – 6)(x + 1) –5x * *
7 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות תשובות - טכניקה אלגברית נוסחאות כפל . 1 4a2 – 4a + 1 ג) 3a2 – 10a – 9 ב) 3x2 + 15x + 22 א) 28x2 – 15x – 1 ו) 2x2 – 3x – 1 ה) 2y2 + 8y ד) 15x2 + 4x – 5 ט) 5x2 + 24x + 29 ח) 11x2 – 7x + 1 ז) 69x2 – 107x + 43 יב) −7x2 + 12x + 5 יא) 9x2 – 14x + 1 י) . 2 ±1 יב) −0.5 יא) 2 י) ±4 ט) ±2 ז) אין פתרון ח) 2 ו) 2 ה) 12 ד) 4 ג) −1.5 ב) 2.6 א) . 3 30 (2) 110 (1) . 4 ±77 (3) ±11 (2) 121 (1) פירוק לגורמים . 5 3(1 – 2y2 – 4y) ג) 4(2 – 3y) ב) 6(x – y)א) 2x(6x2 – 4x – 1) ו) 5x2 (x + 3) ה) x(x – 6) ד) . 6 (1 – x)2 ו) (4 + y)2 ה) (1 – a)(1 + a) ד) (y – 3)2 ג) (x + 5)2 ב) (x + 3)(x – 3) א) x(x – 4)(x + 4) יא) (3a – 5y)2 י) (6a – 11)(6a + 11) ט) (x + 5a)2 ח) (5y – 7) (5y + 7) ז) 2(2 – 5a)(2 + 5a) טו) 5x(x – 2)2 יד) a(x + 6)2 יג) 2(x – 5)2 יב) . 7 (a + 4)(a – 2) ה) (y – 2)(y – 3) ד) (a + 1)(a + 3) ג) (x – 6)(x – 3) ב) (x + 3)(x + 5) א) (y – 2)(y – 5) י) (x – 6)(x + 3) ט) (y + 5) (y – 4) ח) (x – 3) (x + 2) ז) (y – 5)(y + 1) ו) x(x – 15)(x + 2) טו) 3(y – 4)(y + 2) יד) a(a – 2)(a – 10) יג) 5(a + 2)2 יב) 2(x + 5)(x + 4) יא) . 8 2(x – 4)(x + 4) ה) (5 + a)2 ד) (x + 4) (x + 3) ג) (x – 6)2 ב) (3 – x)(3 + x) א) (3x – 5)(3x + 5) י) (x + 1)(x – 8) ט) a(a – 3)(a + 1) ח) x(x – 7)2 ז) 3(x + 2)2 ו) 3a(a – 5)2 טו) 2(x – 3)(x + 2) יד) (2b – 7a)2 יג) 3a(2 – 3b)(2 + 3b) יב) (x – 12)(x + 2) יא) . 9 0 , ±3 י) 0 , ±2 ט) –7 ח) 0 , ±1 ז) 0 , 3 ו) ±3 ה) –5 ד) 2 ג) 0 , 4 ב) ±4 א) –6 , 4 טו) 4 , –2 יד) –8 , –2 יג) 1 יב) 5 , –3 יא) . 10 –5 י) 1 ח) אין פתרון ט) –2 , –1 ז) 8 , 1 ו) 13 , 0 ה) –4 , 2 ד) 1.5 ג) –1 ב) ±7 א) –5 , 3 יב) –4 , 0 יא) צמצום, כפל וחילוק של שברים אלגבריים . 11 a ≠ 5 ; a – 5 ה) x ≠ −6 ; 1 x 6+ ד) x ≠ −4 ; x – 4 ג) x ≠ 2 , 0 ; 3 x 2− ב) x ; כל x−3 4 א) x ≠ 2 , 7 ; 6 x 7− י) a ≠ 0 , 1 ; a a −1 ט) x ≠ −6 ; x−6 2 ח) y ≠ −4 , −5 ; 1 y 4+ ז) x ≠ 2 ; x − 6 ו) a ≠ −1 , −5 ; a a + + 5 1 טו) y ≠ 3 ; − − − y y 3 3 יד) x ≠ 4 ; x+ − 2 2 יג) x ≠ 2 ; x – 2 ; יב) y ≠ −7 ; 4 y 7+ יא) y ≠ 0 , 4 ; 5 y(y 4) − יט) x ≠ 1 , 2 ; x x x ( ) + − 2 1 יח) x ≠ 0 , −2 ; x+ − 2 2 יז) x ≠ 1 ; 2 1 1 (x ) x + − טז) x ≠ 0 , 4 ; − + 2(x 4) x כג) a ≠ ± 5 2 ; a a a ( ) 2 5 2 5 + − כב) a ≠ 1 3 ; 1 3 5 − a כא) x ≠ 1 , −8 ; x x + − 8 1 כ) x ≠ ±4 ; 2 1 3 4 x x x ( ) ( ) − + כד)
9 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הפונקציה הריבועית - ט׳ מעוף חלק ב׳) 41 ׳ (המשך עמ .א (הזזות אופקיות) a ≠ 0 כאשר y = a(x − p)2 פונקציה מהצורה משימה . א סרטטו במערכת צירים אחת את הגרפים של הפונקציות הבאות: .h(x) = 2(x – 3)2 , g(x) = (x – 3)2 , f(x) = 2x 2 לצורך בניית הגרפים של הפונקציות היעזרו בטבלאות הערכים החלקיות הבאות או בתוכנה גרפית. 1 2 3 0 x –3 –2 –1 f(x) =2x2 → f(x) 1 2 3 4 5 6 0 x g(x) = (x – 3)2 → g(x) 1 2 3 4 5 6 0 x h(x) = 2(x – 3)2 → h(x) 0 x –6–5–4–3–2–1 t(x) = 2(x + 3)2 → t(x) . ב .(4) - (1) על סמך התבוננות בייצוג האלגברי, בטבלאות ובגרפים של הפונקציות ענו על שאלות בחרו את האפשרויות המתאימות שבתחתית הסעיף. 1) ( ?f(x) = 2x2 מגרף הפונקציה h(x) = 2(x – 3)2 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה 2) ( ?g(x) = (x – 3)2 מגרף הפונקציה h(x) = 2(x – 3)2 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה 3) ( ?y = x2 מגרף הפונקציה h(x) = 2(x – 3)2 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה 4) ( ?y = x2 מגרף הפונקציה t(x) = 2(x + 3)2 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה / 3 ולאחריה הזזה ימינה ב- 2 / מתיחה אנכית פי 3 / הזזה ימינה ב- 2 האפשרויות הן: מתיחה אנכית פי .3 והזזה שמאלה ב- 2 מתיחה אנכית פי . ג ?h(x) = 2 (x – 3)2 מהו ציר הסימטריה, ומהם שיעורי הקדקוד של גרף הפונקציה . ד ?t(x) = 2 (x + 3)2 מהו ציר הסימטריה, ומהם שיעורי הקדקוד של גרף הפונקציה נסכם • ,(a ≠ 0) y = ax2 מתקבל מהזזה של גרף הפונקציה (a ≠ 0) y = a (x – p)2 גרף הפונקציה .פרבולהולכן גם הוא נקרא • (a ≠ 0) y = ax2 מתקבל על-ידי הזזה אופקית של גרף הפונקציה (a ≠ 0) y = a (x – p)2 גרף הפונקציה :p יחידות בהתאם לסימן של |p| ימינה או שמאלה ב- שלילי, הגרף מוזז שמאלה. p חיובי, הגרף מוזז ימינה; ואם p אם
17 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ✔ .x קדקוד = r+t 2 של הקדקוד הוא x שיעור ה - היתרון של הייצוג כמכפלה הוא שבאמצעותו ניתן לזהות את נקודות האפס ואת תחומי החיוביות והשליליות. • מעבר בין הייצוגים השונים של הפונקציה הריבועית. ייצוג קדקודי (a ≠ 0) y = a(x – p)2 + k ייצוג סטנדרטי (a ≠ 0) y = ax2 + bx + c ייצוג כמכפלה (a ≠ 0) y = a(x – t)(x – r) מציאת נקודות האפס (אם ניתן) אמצע הקטע בין נקודות האפס x קדקוד = (נציב למציאת )y שיעור ה- פירוק לגורמים (אם ניתן) פתיחת סוגריים וכינוס איברים פתיחת סוגריים וכינוס איברים x קדקוד = (נציב למציאת )y שיעור ה- x – b 2a . 14 רשמו כל אחת מהפונקציות שבייצוג הקדקודי באמצעות ייצוג סטנדרטי. (הדרכה: פתחו סוגריים וכנסו איברים.) . א y = (x – 9)2 – 81 . ב y = 5(x + 2)2 − 4 . ג y = –2(x – 4)2 + 4 . 15 רשמו כל אחת מהפונקציות שבייצוג כמכפלה באמצעות ייצוג סטנדרטי. (הדרכה: פתחו סוגריים וכנסו איברים.) . א y = (x + 5)(x – 3) . ב y = 3(x – 2)(x + 6) . ג y = –2(x – 1)(x – 5) . 16 רשמו כל אחת מהפונקציות שבייצוג כמכפלה באמצעות ייצוג קדקודי. דוגמה .y = –(x – 2)(x + 6) נתונה הפונקציה • .(–6 , 0) , (2 , 0) נקודות האפס הן: • x קדקוד = =− = − +6 2 2 2 p שיעורי הקדקוד הם: y קדקוד = –(–2 – 2)(–2 + 6) = 16 = k • a = –1 • y = a(x – p)2 + k = –1(x + 2)2 + 16 = –(x + 2)2 + 16 נציב בייצוג הקדקודי, ונקבל: . א y = (x – 5)(x – 1) . ב y = 2(x – 4)(x + 8) . ג y = –(x + 3)(x + 7)
24 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © משוואות, מערכות משוואות ואי-שוויוניות ריבועיים - ט׳ מעוף חלק ב׳) 89 ׳ (המשך עמ .א משוואות ריבועיות ,(a ≠ 0) ax2 + bx + c = 0 כדי לפתור משוואות ריבועיות, ניתן להביא אותן לצורה הסטנדרטית . = − ± − x b b 2 4ac 2a 1,2 ואז לפתור אותן באמצעות נוסחת השורשים: ✔ לצורך פישוט המשוואה והבאתה לצורה כללית זו יש להשתמש בכללי הפישוט ובכינוס איברים. ✔ אם המשוואה המקורית כוללת נעלם במכנה, יש לציין לפני פתרון המשוואה את תחום ההצבה; או לחלופין לפתור את המשוואה, ואז לוודא שהפתרונות נמצאים בתחום ההצבה. ✔ ניתן לפתור משוואות ריבועיות (במיוחד משוואות ריבועיות חסרות) בדרכים קצרות יותר, ללא שימוש בנוסחת השורשים. . 1 פתרו את המשוואות הבאות. . א (x+3)2=6+2x . ב 12–(2–x)2=5x+2 . ג (x+1)(x–3)–3= –9x+2x2 . ד (2x+3)2=3x2+6x+1 . ה (3x–1)2=4x2–6x–5 ו . (1+2x)2–7x=3x2–1 . ז (x–2)2–x(x–2)=0 . ח 8(x–4)2=2(x–4)(x+4) . ט (x–3)2+(x–1)(x+1)=8 י . (x+2)2+(x–5)2=37 .א י (3x+5)2–(x+5)2=x2+6x .ב י 2(x+3)2–3(x–2)2= – 46 . 2 פתרו את המשוואות הבאות. ודאו באמצעות הצבה שהפתרונות שקיבלתם נכונים. . א 3x–1 2 – 6 x–1 = 5x–6 9 . ב 1 1–x = 3 4 – 5 x . ג 5+2x x–1 – 27 2x–1 =0 . ד 1 x+7 + 5 12 = 1 7–x . ה x x x x 2 7 30 3 2 7 + − − = + ו . = + + + –x–1 0 3x 6x 3 3x 3 2 . ז 17 2(x+3) + 3 2(x–3) = 4x–7 x+3 . ח 3x–7 x+4 − 13 2(x+4) = 5 2(x–4) . ט 4 3x–3 – 4(x–2) x+1 =– 4 3x+3 י . – 13 2x+8 = 5 2x–8 – 3x–7 x+4 .א י .ב י = + + + – 1 4x 3 4x–1 x–4 4x 1 5x 16x –1 2 .ג י 5x+2 5x–3 + 2x 9–25x2 – x–5 5x+3 =1 .ד י 11x 2x2+x –1= 14 4x2–1 + 4 5(2x–1) .ו ט .ז ט 2x+1 x2+4x+4 + 18 5x+10 = 5 x2–4 .ז י 5 2 3 3 3 1 25 2 2 2 x x x x x x x x − − + + − = + .ח י = + + + –1 2x 3 2x–5 x–8 2x 5 3x 4x –25 2 * + + = + – 1 0 2 16x –1 1 20x–5 6 4x 1 2 * * + = + + + + + + + + 10 x x 3x 2 6 x x 5x 6 6 x 4x 3 2 2 2 *
25 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © .ב מערכות משוואות ממעלה שנייה למערכת משוואות, שאחת ממשוואותיה ריבועית והשנייה משוואה ליניארית או ששתי משוואותיה ריבועיות, ייתכנו: . 3 פתרו את מערכות המשוואות הבאות. . א { = + = y 2x –6x 1 y 2x–7 2 . ב { = = + y 6x–4 y –x 9x 2 . ג { = + + + = y –4x x 3 2x y 10 2 . ד y=1 y=−3x2 +8x−5 { . ה y-5x2 =7x–1 3x+y=–6 { ו . y–3=0 y–x2 –2x=0 { . ז y=2x2 –6x+9 y=x2 +2x–6 ⎧ ⎨ ⎩⎪ . ח y=x2 –10x+19 y=–x2 +8x+3 ⎧ ⎨ ⎩⎪ . ט y=–2x2 +6x+8 y=3x2 +4x+12 ⎧ ⎨ ⎩⎪ י . y=x2 +8 y=–x2 +2x+20 ⎧ ⎨ ⎩⎪ .א י y+x2 –4x=8 y=x2 –16x+58 ⎧ ⎨ ⎩⎪ .ב י y=6x2 –x+3 y+x2 =4x–12 ⎧ ⎨ ⎩⎪ .ג י x y x y + = + = 8 40 2 2 .ד י y–x=1 x2 +y2 =25 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ .ו ט y2 +x2 =50 y–2x=–5 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ .ז ט xy=–24 y–x=11 ⎧ ⎨ ⎩ .ז י xy=–6 y–2x=–8 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ .ח י 3x2 +5xy–4y2 =38 x–y=2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ .ט י 2x2 –3xy+5y2 =18 x–y=3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ . כ x+y=2 (x–4)(y+2)=–25 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ .א כ y–x=–1 (x+1)(y–7)=–18 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ .ב כ x–5y=10 (y–4)(x+3)=–40 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ .ג כ 4 x + 10 y =6 x–y=2 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ .ד כ y–x=–1 3 y =2– 4 x ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ✔ שני פתרונות. ✔ פתרון אחד. ✔ אין פתרון.
29 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מגרף לתכונות ובחזרה .א נקודות חיתוך עם הצירים • :y חיתוך עם ציר ה- , כי בפונקציה y לכל פונקציה רציפה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה- x = 0 . לכן עבור y מתאים ערך יחיד של x מתקיים שלכל ערך של .y יחיד, כלומר נקודת חיתוך אחת עם ציר ה- y יש .(0 , 3) בסרטוט: • :x חיתוך עם ציר ה- של הפונקציה. נקודות האפס נקראות גם x נקודות החיתוך עם ציר ה- .(5 , 0) , (2 , 0) , (−2 , 0) בסרטוט: .נקודות אפסהערה: פונקציה יכולה להיות חיובית תמיד או שלילית תמיד, ואז אין לה . 1 א. רשמו את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים של כל אחד מהגרפים הבאים. 1) ( ⟀ 4) ( ⟀ . ב סרטטו סקיצות של שני גרפים שונים של פונקציות, בהן נקודות החיתוך עם הצירים הן: (1) .(0 , 2) , (2 , 0) , (–2 , 0) 2) ( סרטטו סקיצות של שני גרפים שונים של פונקציות, בהן נקודות החיתוך עם הצירים הן: .(0 , 4) , (–6 , 0) , (2 , 0) , (5 , 0) 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x
30 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © .ב נקודות קיצון מתקיים: x עבור פונקציות שמוגדרות לכל • היא הנקודה הכי גבוהה בסביבתה נקודת מקסימום בסרטוט. A (נקודת מעבר מעלייה לירידה) - נקודה • היא הנקודה הכי נמוכה בסביבתה נקודת מינימום בסרטוט. B (נקודת מעבר מירידה לעלייה) - נקודה • הוא שם כולל לנקודות מקסימום ומינימום.נקודות קיצון מקסימום. (–1 , 4) מינימום, (–3 , 0) בסרטוט: . 2 לפניכם גרפים של פונקציות. . א רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של כל אחד מהגרפים הבאים, וציינו לגבי כל נקודה אם היא נקודת מקסימום או נקודת מינימום. . ב רשמו את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים של כל אחד מהגרפים. 1) ( ⟀ . ג נקודות קיצון: 3 סרטטו סקיצה של גרף פונקציה, שיש לה מינימום. (–3 , 1) מקסימום, (0 , 5) מינימום, (3 , 1) .ג תחומי עלייה ותחומי ירידה • תחום העלייה של הפונקציה: גדלים. x ערכי הפונקציה גדלים כאשר ערכי ה- f(x1) < f(x2) ⇐ x1 < x 2 .x > 3 או −4 < x < −2 בסרטוט: • תחום הירידה של הפונקציה: גדלים. x ערכי הפונקציה קטנים כאשר ערכי ה- f(x1) > f(x2) ⇐ x1 < x 2 .−2 < x < 3 בסרטוט: 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x A B 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x
31 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © • התחום שבו הפונקציה קבועה: .x ערכי הפונקציה קבועים עבור כל ערך של f(x1) = f(x2) ⇐ x1 < x 2 .x < −4 בסרטוט: . 3 א. רשמו את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים של כל אחד מהגרפים הבאים. . ב רשמו את תחומי העלייה ותחומי הירידה של כל אחת מהפונקציות הבאות. 1) ( ⟀ 4) ( ⟀ 7) ( ⟀ . ג .(–1 , 1) ) ונקודת מינימום 3 , 5 ידוע שלפונקציה רציפה יש נקודת מקסימום ( (1) מהם תחומי העלייה ותחומי הירידה של הפונקציה? 2) ( , האם תשובתכם לסעיף הקודם x אם ידוע שלפונקציה שבסעיף הקודם אין נקודות חיתוך עם ציר התשתנה? המחישו באמצעות סרטוט. 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x
43 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 23 . y= 1 x +1 א. סרטטו במערכת צירים את גרף הפונקציה . ב ? y= 1 x מגרף הפונקציה y= 1 x +3 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה . ג ? y= 1 x מגרף הפונקציה y= 1 x –2 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה . ד אמתו את תשובתכם לסעיפים קודמים באמצעות תוכנה גרפית. . 24 . y= 1 x+1 א. סרטטו במערכת צירים את גרף הפונקציה . ב ? y= 1 x מגרף הפונקציה y= 1 x+3 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה . ג ? y= 1 x מגרף הפונקציה y= 1 x–2 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה . ד אמתו את תשובתכם לסעיפים קודמים באמצעות תוכנה גרפית. .ג י גרף הפונקציה . 25 . y= 1 x2 נתונה הפונקציה . א מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? . ב . y= 1 x2 סרטטו במערכת צירים את הגרף של הפונקציה לצורך בניית הגרף היעזרו בטבלת הערכים הבאה. 1 2 3 0 0.5 –0.5 x –3 –2 –1 y= 1 x2 אמתו את תשובתכם באמצעות תוכנה גרפית. . ג האם לפונקציה יש נקודות אפס? הסבירו. . ד האם לפונקציה יש נקודות קיצון? הסבירו. . ה רשמו את תחומי העלייה ותחומי הירידה של הפונקציה. ו . רשמו את תחומי החיוביות ותחומי השליליות של הפונקציה. .ד י y = x3 גרף הפונקציה , כולל הזזות אנכיות והזזות אופקיות שלו. y = x3 בסעיף זה נכיר את גרף הפונקציה y= 1 x2 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 y x
56 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © משולש שווה-שוקיים ומשולש שווה-צלעות - ט׳ מעוף חלק א׳) 193 ׳ (המשך עמ .א משולש שווה-שוקיים • - משולש ששתיים מצלעותיו שוות: משולש שווה-שוקייםהגדרה: .AB = AC ✔ .AC ו- AB שוקיים - הצלעות השוות של המשולש: ✔ .BC בסיס - הצלע הנוספת: ✔ זוויות הבסיס - שתי הזוויות שליד הבסיס: .C ו- B ✔ .A זווית הראש - הזווית שבין השוקיים: משפטים המציגים תכונות של משולש שווה-שוקיים משפטים המאפשרים לזהות משולש שווה-שוקיים ✔ במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות. ✔ במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס, הגובה לבסיס וחוצה זווית הראש מתלכדים. ✔ אם במשולש שתי זוויות שוות, אזי המשולש שווה-שוקיים. ✔ אם במשולש התיכון והגובה מתלכדים, אזי המשולש שווה-שוקיים. ✔ אם במשולש חוצה הזווית והגובה מתלכדים, אזי המשולש שווה-שוקיים. ✔ אם במשולש התיכון וחוצה הזווית מתלכדים, אזי המשולש שווה-שוקיים. • שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו:שטח משולש שימו לב! כדי למצוא שטח משולש לא חשוב איזו צלע בוחרים; אך יש לחשב את מחצית מכפלת הצלע בגובה המורד אליה. • בכל משולש ישר-זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר: a2 + b2 = c2 בסיס זוויות הבסיס זווית הראש A B C שוק שוק
57 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 1 .)AB = CB( הוא שווה-שוקיים ∆ABC המשולש הם תיכונים לשוקיים. CE ו – AD הקטעים הוכיחו: . א .∆ADC ∆CEA . ב .BEC = BDA . 2 .)AB = CB( הוא שווה-שוקיים ∆ABC המשולש הם חוצי זוויות הבסיס. CD ו – AE הקטעים הוכיחו: . א .∆AEC ∆CDA . ב .DB = EB . 3 .)AB = AC( הוא שווה-שוקיים ∆ABC המשולש .∆ABC הוא תיכון לבסיס במשולש AD הקטע .AD מונחת על התיכון E הנקודה הוכיחו: . א הוא שווה-שוקיים. ∆BEC המשולש . ב .∆AEC ∆AEB . 4 .BD = BE . נתון: )BA = BC( הוא שווה-שוקיים ∆ABC המשולש .∆ADC ∆CEA הוכיחו: א. . ב .∆ADE ∆CED . 5 .)AB = AC( הוא שווה-שוקיים ∆ABC המשולש .ED ו– BC היא אמצעי הקטעים F הנקודה הוא משולש שווה-שוקיים. ∆AED הוכיחו: B A D E C B A E D C B A D E C A B C D E A B D C E F
59 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 11 - ראשית הצירים). O לפניכם משולש המסורטט במערכת צירים ( . א הוא שווה-שוקיים. DABC הסבירו מדוע המשולש . ב DPBC , כך שהמשולש P מצאו שיעורי נקודה .(PB = PC)יהיה שווה-שוקיים . ג יהיה שווה-שוקיים. DACL , כך שהמשולש L מצאו שיעורי נקודה . ד .DABC חשבו את היקפו ושטחו של המשולש . ה מצאו את הייצוג האלגברי של הישרים, שעליהם מונחות .DABC שוקי המשולש (הדרכה: מצאו משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות.) . 12 .T ו - M במערכת הצירים נתונות הנקודות . א .T ו - M רשמו את שיעורי הנקודות . ב DMTK ברביע השני, כך שהמשולש K רשמו שיעורי נקודה יהיה משולש שווה-שוקיים. . ג DMTA ברביע השלישי, כך שהמשולש A רשמו שיעורי נקודה יהיה משולש שווה-שוקיים. . ד DMTB ברביע הראשון, כך שהמשולש B רשמו שיעורי נקודה יהיה משולש שווה-שוקיים. . ה .MT רשמו את הייצוג האלגברי של הישר . 13 – ראשית הצירים). O) A(3 , 4) במערכת הצירים נתונה הנקודה . א (הייצוג האלגברי). AO מצאו את משוואת הישר . ב .AO מצאו את אורך הקטע (הדרכה: היעזרו במשפט פיתגורס.) ∆AOB , כך שהמשולש x על החלק החיובי של ציר ה- B סמנו נקודה יהיה משולש שווה-שוקיים. . ג ?B מהם שיעורי הנקודה . ד .AB מצאו את משוואת הישר B(–5,0) C(5,0) A (0,12) O y x x y M T 1 1 y x O A(3,4)
64 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דלתון - ט׳ מעוף חלק א׳) 214 ׳ (המשך עמ • :דלתוןהגדרה: מרובע בעל שני זוגות זרים של צלעות סמוכות, השוות זו לזו, נקרא דלתון ABCD⇐ AB=AD CB=CD ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ • הגדרות: מושגים הקשורים לדלתון. ✔ - נקודת חיתוך של שתי צלעות (סמוכות) השוות זו לזו.קדקוד ראש .C ו- A בכל דלתון יש שני קדקודי ראש. בסרטוט: קדקודים ✔ .BCD ו- BAD - הזווית בקדקוד הראש. בסרטוט: זווית ראש ✔ - הזוויות בשני הקדקודים האחרים. זווית הצד .ADC ו- ABC בסרטוט: ✔ - האלכסון המחבר את קדקודי הראש של הדלתון. אלכסון ראשי .AC בסרטוט: אלכסון ✔ .BD - האלכסון האחר. בסרטוט: אלכסון אלכסון משני משפטים המציגים תכונות של הדלתון משפטים המאפשרים לזהות דלתון ✔ בדלתון זוויות הצד שוות זו לזו. ✔ האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש. ✔ האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו. ✔ אם במרובע אלכסון חוצה את הזוויות הנגדיות, אזי הוא דלתון. ✔ אם במרובע אלכסון אחד חוצה את האלכסון השני ומאונך לו, אזי המרובע הוא דלתון. • , הוא: b ו- a , שאורכי צלעותיו הם היקף הדלתון P = 2a + 2b • שווה למחצית מכפלת אלכסוניו:שטח הדלתון S AC · BD 2 = . 1 .AC ⊥ BD , AO = OC נתון: הוא דלתון. ABCD הוכיחו: המרובע B A D C B A D C a b b a A B D C O
67 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 11 הם שיעורים של שני קדקודים סמוכים (3 , 0) ו- (0 , 2) א. של דלתון. מצאו את השיעורים של שתי נקודות נוספות, שיכולות להיות שני הקדקודים האחרים של הדלתון. . ב הם שיעורים של שני קדקודים נגדיים (2 , 0) ו- (0 , 2) של דלתון. מצאו את השיעורים של שתי נקודות נוספות, שיכולות להיות שני הקדקודים הנגדיים האחרים של הדלתון. . ג בחרו את אחד הדלתונים האפשריים מסעיפים א׳ ו- ב׳, וחשבו את שטחו והיקפו. . 12 .B(−3 , −4) ו- A(−3 , 4) נקודות: 2 במערכת הצירים נתונות . א יהיה דלתון. ACBE , כך שהמרובע E ו- C נקודות 2 ,x סמנו על ציר ה- . ב מצאו את שטח הדלתון שבסעיף א'. במערכת הצירים. M(−7 , 0) לביא סימן את הנקודה . ג ,x על החלק השלילי של ציר ה- T סמנו נקודה יהיה דלתון. AMBT כך שהמרובע . ד .BM ו- AM מצאו את משוואות הישרים . ה .ATBM מצאו את שטח הדלתון . 13 .y = 1.5x + 20 מונחת על הישר AM הצלע ∆AMT במשולש .T בנקודה y , וחותכת את ציר ה- y = −1.5x + 8 מונחת על הישר AT הצלע .x מקביל לציר ה- MT הישר . א .M ו- T, A מצאו את שיעורי הנקודות . ב .∆ATM מצאו את שטח המשולש הוא דלתון. ATBM , כך שהמרובע x על ציר ה- B סמנו נקודה . ג .B מצאו את שיעורי הנקודה . ד .BT מצאו את משוואת הישר . ה .ATBM מצאו את שטח הדלתון y x A B x y M T y x A
69 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ישרים מקבילים - ט׳ מעוף חלק א׳) 225 ׳ (המשך עמ • הגדרה: .ישרים מקביליםישרים הנמצאים באותו מישור ואינם נחתכים נקראים .a || b הוא: b המקביל לישר a הרישום המתמטי של ישר תכונות הזוויות שבין שני ישרים מקבילים משפט המאפשר לזהות ישרים מקבילים אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי: . א כל שתי זוויות מתחלפות שוות: 1 = 7 , 2 = 8 4 = 6 , 3 = 5 . ב כל שתי זוויות מתאימות שוות: 1 = 5 , 4 = 8 2 = 6 , 3 = 7 . ג הסכום של כל שתי זוויות חד-צדדיות שווה :180° ל- 3 + 6 = 180˚ , 2 + 7 = 180˚ 4 + 5 = 180˚ , 1 + 8 = 180˚ אם שני ישרים נחתכים על-ידי ישר שלישי וקיים: זוג אחד של זוויות מתחלפות שוות, או זוג אחד של זוויות מתאימות שוות, או ,180˚ זוג אחד של זוויות חד-צדדיות שסכומן אזי הישרים מקבילים. או γ = β או α = β לדוגמה: אם .a || b ⇐ α + δ = 180º • אם שני ישרים מקבילים לישר שלישי, משפט: אזי הם מקבילים זה לזה: . a || b , אזי b || c - ו a || c אם . 1 .(AB = AC) הוא שווה-שוקיים ∆ABC משולש .EF || AB נתון: הוא שווה-שוקיים. ∆EFC הוכיחו: משולש a b 8 7 2 1 6 5 3 4 δ c α a b γ β a b c C F E A B
71 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 8 במערכת הצירים יש שני ישרים: , y x = 1 2 היא OM משוואת הישר . y x = + 1 2 4 היא AB ומשוואת הישר .AOM חוצה את OB . א .A מצאו את שיעורי הנקודה . ב הוא שווה-שוקיים. ∆OAB הוכיחו: המשולש . ג .(4 , 0) בנקודה x , וחותך את ציר ה- AB סרטטו ישר המקביל לישר . ד מהי משוואת הישר שסרטטתם בסעיף ג'? (הדרכה: לישרים מקבילים יש אותו שיפוע.) 9 . .(BA = BC) ושווה-שוקיים (B = 90°) הוא ישר-זווית ∆ABC המשולש .y = −x + 6 היא AC משוואת הישר . א .C ו- B , A מצאו את שיעורי הנקודות בהתאמה. BC ו- BA הן אמצעי הצלעות E ו- M הנקודות . ב ? נמקו. ∆MBE מהו סוג המשולש . ג .ME AC הוכיחו: . ד . S S BME BAC מצאו את היחס: 10 . במערכת הצירים נתונים שני ישרים: .A(6 , 0) בנקודה x , ואת ציר ה- B(0 , 8) בנקודה y חותך את ציר ה- AB הישר .D(0 , −4) בנקודה y , ואת ציר ה- C(−3 , 0) בנקודה x חותך את ציר ה- CD הישר . א .CD ו- AB מצאו את משוואות הישרים . ב .∆BOA ~ ∆DOC הוכיחו: . ג מהו יחס הדמיון? . ד .∆BOA מצאו את שטח המשולש . ה . S S BOA DOC מצאו את היחס: y x A M O B y x C A M B E O y x C D A B O
79 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקבילית - ט׳ מעוף חלק א׳) 272 ׳ (המשך עמ :מקביליתהגדרה: מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות זו לזו נקרא BC || AD , AB || DC משפטים המציגים תכונות של מקבילית משפטים המאפשרים לזהות מקבילית ✔ במקבילית שני זוגות של צלעות נגדיות שוות זו לזו. ✔ במקבילית שני זוגות של זוויות נגדיות שוות זו לזו. ✔ במקבילית סכום כל שתי זוויות .180° סמוכות שווה ל- ✔ במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. ✔ מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות זו לזו הוא מקבילית (הגדרה). ✔ מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית. ✔ מרובע בעל שני זוגות של זוויות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית. ✔ מרובע בעל זוג אחד של צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית. ✔ מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית. • , הוא: b ו- a , שאורכי צלעותיה הם היקף מקבילית P = 2a + 2b • שווה למכפלת צלע בגובה לצלע זו:שטח מקבילית S = a · h הערה: כדי למצוא את שטח המקבילית לא חשוב איזו צלע בוחרים; אך יש לחשב את מכפלת הצלע בגובה המורד אליה. . 1 .BAD חוצה את הזווית AE הקטע ABCD במקבילית .CD = BE הוכיחו: A D B C a a b b a h A B E C D
82 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 14 הם: ABCD . הייצוגים האלגבריים של צלעות המרובע y נמצאת על ציר ה - A בסרטוט שלפניכם הנקודה BC: y x–4 AD: y x 4 4 3 4 3 = = + . א .BC || AD הסבירו מדוע . ב .C ו- A מצאו את שיעורי הנקודות . ג .x מקבילה לציר ה- AB הצלע מהו הייצוג האלגברי שלה? . ד הוא מקבילית. ABCD הסבירו מדוע המרובע . ה . ABCD ושטח המקבילית DC , אורך הקטע D חשבו את שיעורי הנקודה ו . .AD היעזרו במשפט פיתגורס וחשבו את אורך הצלע . ז ראשית הצירים). O( ABCO חשבו את היקף הטרפז . 15 יח״ר. 56 . שטח המקבילית הוא (0 , 7) ו- (–3 , 0) הם ABET של המקבילית B ו- A שיעורי הקדקודים . א - ראשית הצירים). O( BO מצאו את אורך הקטע . ב .AT מצאו את אורך הקטע . ג .T מצאו את שיעורי הנקודה . ד ?AB מהו הייצוג האלגברי של הישר שעליו מונחת הצלע . ה .E מצאו את שיעורי הנקודה ו . ?ET מהי משוואת הישר שעליו מונחת הצלע (תזכורת: לישרים מקבילים יש אותו שיפוע.) . ז .OBET חשבו את שטח הטרפז . 16 .E(−6 , 4) האלכסונים נחתכים בנקודה ABTK במקבילית .y – x = 6 מונחת על הישר BT הצלע .y מקביל לציר ה- AT האלכסון . א .T ו- B מצאו את שיעורי הנקודות . ב .A מצאו את שיעורי הנקודה ).AT (הדרכה: מצאו תחילה את אורך הקטע . ג .AB מצאו את שיפוע הישר . ד .KT מצאו את משוואת הישר . ה .AK מצאו את משוואת הישר ו . .K מצאו את שיעורי הנקודה O y B C A D x y x B A E T O A B T K E y x
87 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 14 הוא מלבן. ABCD המרובע .E נחתכים בנקודה BD ו- AC האלכסונים עובר דרך נקודת מפגש האלכסונים. TL הישר . א רשמו שלושה זוגות של משולשים חופפים. .DC = יח' 8 , TB AT =1 3 נתון: . ב .TB ו- AT מצאו את אורכי הקטעים .B(−1 , 4) נתון: . ג .E , D , L , C , T , A מצאו את שיעורי הנקודות . ד .∆DLE מצאו את שטח המשולש . ה .TL מצאו את משוואת הישר . 15 .H נפגשים בנקודה ABMK אלכסוני המלבן .M(−2 , 4) , A(6 , −2) נתון: . א .K ו- B מצאו את שיעורי הנקודות . ב מצאו את ההיקף והשטח של המלבן. . ג .BK מצאו את אורך האלכסון . ד .∆ABK מצאו את שטח המשולש . ה .AM מצאו את משוואת הישר ו . .H מצאו את שיעורי הנקודה . ז .∆AKH מצאו את שטח המשולש . 16 .y מונח על ציר ה- A הקדקוד ABCD במקבילית היא ראשית הצירים. C הנקודה .x - סרטטו אנכים לציר ה D - ו B מהנקודות .DCT = CBL נתון: . א .TDC = BCL הוכיחו: . ב דומים. ∆CTD ו- ∆BLC הוכיחו: המשולשים .∆BLC משטח המשולש 4 קטן פי ∆CTD נתון: שטח המשולש . ג .∆CTD ו- ∆BLC מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים .T(−6 , 0) , L(6 , 0) נתון: . ד .DT ו- BL מצאו את אורכי הקטעים . ה .D ו- B מצאו את שיעורי הנקודות ו . מלבן. ABCD הוכיחו: y x C A B D L T E y x M K A B H T y x A B C D T L
92 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 12 מונחים על הצירים. ABCD קדקודי המרובע בהתאמה. y x =− − 3 4 6 ו- y x =− + 3 4 6 מונחות על הישרים DC ו- AB צלעות המרובע היא ראשית הצירים. E הנקודה . א .D , C , B , A מצאו את שיעורי הנקודות . ב .∆AEB ∆CED הוכיחו: . ג .AD || BC , AB || DC הוכיחו: . ד ?ABCD מהו סוג המרובע . ה .ABCD מצאו את ההיקף והשטח של המרובע . 13 .x מונחת על ציר ה- ABTK אחת הצלעות של המעוין .E אלכסוני המעוין נחתכים בנקודה יח'. 40 היקף המעוין הוא . א .KT מצאו את אורך הצלע .E(−4 , 3) , T(−3 , 0) נתון: . ב .K מצאו את שיעורי הנקודה . ג .BK מצאו את משוואת הישר יח'. 6 , ואורכו C בנקודה x , חותך את ציר ה- y , המקביל לציר ה- BC סרטטו ישר B מנקודה . ד .B מצאו את שיעורי הנקודה . ה .∆BKT מצאו את שטח המשולש . 14 .E נחתכים בנקודה ABCD אלכסוני המעוין יח"ר. 64 שטח המעוין הוא . א .∆ABE מצאו את שטח המשולש .EC = 2 ∙ BE נתון: . ב .EC מצאו את אורך הקטע . ג מצאו את היקף המעוין. .−1 הוא AC , ושיפוע הישר E(−8 , 4) נתון: . ד .C , ואת שיעורי הנקודה AC מצאו את משוואת הישר . ה .∆ADE ∆CDE הוכיחו: y x C A B D E y x A T K B E C A B D E x y
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=